薛定谔猫和珠峰高程值

武汉大学 叶晓明

      薛定谔曾用一个假想的猫实验来嘲讽哥本哈根学派，其意图是说明微观领域里的测量原理和宏观领域里应该是一样的。那么，问题的根子究竟出在哪里呢？我今天就用宏观领域里的珠峰高程测量例子来做一个对比。

2005年，珠峰高程的测量结果（计量术语叫测得值，后同）为x=8844.43m，其精度为σ(x)=±0.21m。这是测量学家们熟视无睹的数学表达式，从来没有人认为这其中有什么问题。

但是！ 8844.43显然是个常量。又因为x=8844.43m，所以，x也是常量，这样一来，σ(x)=±0.21m所表达的数学含义实际就是σ(8844.43m)=±0.21m！——一个简单的等量代换而已，测量误差理论总不至于连“=”的含义也不承认吧。

一个常数8844.43的方差居然不是0！——这简直不可思议。

由于受测量结果的发散性概念所洗脑，测量学家们通常难以接受测量结果8844.43是常数的论断，并且通常反驳说所有可能测量结果值构成一个随机分布，未来重新测量时测量结果会随机变化，测量结果就未必是8844.43了，或许是8844.44、8844.45……。

但不幸的是，这个反驳不仅不能解释等式σ(8844.43m)=±0.21m，而且又扯出了等式σ(8844.44m)=±0.21m、σ(8844.45m)=±0.21m……。

相信这时您已经注意到了传统测量理论中的一个最大的败笔：那就是在“测量结果”这个字眼上实际玩了一个文字游戏——在所有可能的测量结果和当前确定的测量结果之间来回地偷换概念。在等式σ(x)=±0.21中，测量结果x是个数值不确定的随机变量，±0.21是所有可能的测量结果的发散性，针对的是所有可能的测量结果；但在等式x=8844.43中，测量结果x又是个具有确定数值的常量，x实际只代表当前一个数值确定的常数8844.43，而常数8844.43在数轴上就是一个点，没有发散域可言（常量的数学期望是其自身，常量的方差是0）。因为采用了同一个数学符号x，测量结果x实际就成了一个既确定又不确定的概念怪胎，而测量学家们则更多地是因为根本就没有意识到等式x=8844.43所表达的常量含义。

薛定谔用一个假想的猫实验来嘲讽哥本哈根学派实际也是针对偷换基本测量概念问题。所谓的原子衰变概率本来是大量已衰变的原子的数目与总原子数目的比例统计值，却被偷换成了一个原子客观上处于衰变与未衰变的叠加态；本来应该解释成大量的死猫数目和猫的总数目的比例统计值，却被偷换成了一个薛定谔猫客观上处于既死又活的叠加态。这显然和珠峰高程案例完全一样，把所有可能测量结果的相互发散偷换成一个测量结果客观上处于随机变化的状态，于是认为当前一个确定的测量结果是个随机变量，常数8844.43也就偷换成了一个随机变量。

一个另外的概念逻辑问题是，姑且就算8844.43是一个“随机变量”，那么，“随机变量”8844.43的数学期望值又是多少呢？——学过概率论的人都知道随机变量需要数学期望和方差两个参数来表示，二者缺一不可！在没有数学期望的情况下，一个孤立的标准偏差σ(8844.43)=±0.21能表达出什么数学意义？但如果承认8844.43的数学期望就是8844.43，那又必然要出现σ(8844.43)=0！

实际上，传统测量误差理论中的概念缺失状态如表1.

表1. 现有测量误差理论中的概念缺失问题

而正确的测量概念解释[1]是：测量结果是常量，误差和真值才是随机变量。如表2。随机变量是指其数值存在于一定概率区间内的未知量，或者说其数值虽然未知，但其所有可能取值构成了一个随机分布。随机变量的数学期望和方差分别是随机变量的所有可能取值的平均值和发散性，是随机变量所存在的概率区间的评价参数。

表2. 新概念理论中的测量概念解释

请注意，虽然测量结果x₀是所有可能测量结果中的一个样本，但因为测量结果x₀代表一个具有确定数值的常量，它不需要用所有可能测量结果的发散性来描述它的“概率”，就如同你的性别、你的年龄、你的工资、你的考试成绩等一样，都是常量，你的这些信息也都同样可以被人拿去当作统计样本用。只有未知量——误差和真值才需要对其概率区间进行描述。

再请注意，误差Δ的数学期望必须是0，是指未知偏差Δ的所有可能取值的平均值是0，不是0的成分必须归入测量结果x₀之中。

这样，珠峰高程案例的正确数学表达式是：测量结果x₀=8844.43m，其误差值的不确定性为σ(Δ)=±0.21m。

对于薛定谔猫而言，如果是以原子衰变的概率来间接测量猫的死活，假定原子衰变的概率为80%，那么就可以给出测量结果为该猫死了，测量错误的可能性为20%；如果是打开箱子直接观察，那就得到了猫死活的真值了，当然直接以其真值作为测量结果，出错的概率为0%。

测量结果是所有可能测量结果之中的一个样本（薛定谔猫的所有可能测量结果只有2个：死和活），它是一个常量（样本本来都是常量）；一个测量中测量结果的数值既然已经给出，就意味着其数值已经确定，确定了的数值就不能再说不确定了。而真正的测量不确定性是指误差值的不能确定，或者真值不能确定。误差的不确定是因为误差的机理没有被掌握，微观领域也同样是这个道理。——这就是问题的答案：测量结果的发散性是一个错误的测量概念，测量不确定性是指误差值的不能确定。

曾经与某大佬交流过这个问题，但他一听说测量结果是常量就立马打断了我的话，说我善于绕数学概念，说我一定是把期刊社的编辑和审稿人都绕晕了才发表了论文[1]。测量学家们几乎都是这样，把自己的学问看得很高，根本就听不进你讲基础概念逻辑。40年前我以96分的数学成绩进考入武汉测绘学院电子仪器专业，我真不相信他的分数还能比我高出多少，包括他入校后的成绩，但我不能这样跟他说。

1就是1，永远只代表1；2就是2，永远只代表2；8844.43永远只代表它8844.43，这就是常量的含义，谁也不能用8844.44、8844.45等去证明8844.43不是常量。因为8844.43是常量，测量结果又是8844.43，所以测量结果就是常量。——这还需要绕吗？是真的不懂？还是不愿承认？还要继续跟学生说谎吗？

测量结果是常量，误差和真值是随机变量，测量误差理论的论述方法就全变了。因为在基本概念方面与传统测量理论之间存在着尖锐的学术思想对立，与传统流派之间的学术纠纷已经发生，所以已经向武汉大学学术委员会提出了裁决请求。理论的完整表述见上一篇帖子：《测量误差及其不确定性的普适理论》（共享版）。

                                                                                       2020 1 26于武汉大学

[1] 叶晓明, 丁士俊. Comparison of variance concepts interpreted by two measurement theories. Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Volume 20, Number 7, 2019, Pages 1307-1316.

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