杂说几个与几何有关的字（2）弧和弦

一条直线与圆相交，圆内的线段把圆分成了两个部分，每一个部分都称为一个弓形。弓形的边缘，原来圆周的部分称为弧，这条线段就是弦。

我们可以想象，最早的弓就是把树枝一弯，利用树木的弹性进行射击。被拉弯的树枝就是弧，将木拉成弧而自己被绷直的绳子，就是弓上的弦。当然，用弓射出的就是箭矢。这样，弧与弦从一开始就应当是天生的一对。这是我们从几何图形出发而产生出来的想象。

然而，我们在古代的文章中，却较少找到由弧及弦在一起的文字或语汇。这在我们现代人看来似乎有些奇怪。

原来，在古代汉语中，弧的本义就是“木弓”。这样，弧也就通常作为弓的通称，很多情况下，弧就是弓。换句话说，古代在弓这个意义上的弧字，往往把“弧”和弦两个意思都包含在一起了。

正如《易·系辞》所说：“弦木为弧，剡木为矢，弧矢之利，以威天下”。弓在古人的生活中，具有非常重要的作用。古代风俗，家中生男孩，则于门左挂弓一张，后因称生男孩为“悬弧”。语见《礼记•内则》：“子生，男子设弧于门左”。另外，贵族男儿出生时，要以桑木为弧弓，用蓬草作箭，射向天地四方，象征男儿应有志于四方。后把“桑弧”或“桑弧蓬矢”用作勉励男儿应有远大志向的祝辞。晋代陆云有诗句：“桑弧蓬矢，丈夫之志。经营四方，古人所叹”。

古人还用桃木做弓，棘枝做箭，认为可以辟邪。《左传·昭公四年》：“桃弧棘矢，以除其灾。”后世娶妻的过程中要朝着新娘轿门虚射三箭（侯宝林先生在他的相声《婚姻与迷信》中，说过这种陋习），就是这种桃弧棘矢的遗迹。

后来，用弧来表示弓的情况逐渐减少，弧这个字才专门用来表示现在我们了解到弧形（原来是一身而兼二任）。借助英语来说明，原来的弧字与bow接近，既表示弯形又表示弓，后来则接近与arc，只是表示弧线与弧形了。这样，因一些弧形的东西就构成了新的词语，如括弧，就是弧状的计算或标点符号；电弧，就是相离的电极之间发出的有弧形光亮的放电现象。

弓上的弦绷紧了，一弹，自有铮铮之声。不同长短、不同粗细的弦，就能够弹出来不同频率的声音。所以，自古以来，弦乐器便是最重要的乐器。

在古人那里，音乐是起到教化作用的。孔子教学生的“六艺”之中就有一门乐。弦歌就是依据琴瑟的音调而歌咏。司马迁在《史记·孔子世家》中说：“三百五篇，孔子皆弦歌之。”他又说，孔子带着众多学生周游列国，在陈、蔡之间，被两国的当政者包围在野地里，没有饭吃，学生们饿得起不来了，但是，孔子仍然“讲诵弦歌不衰”（“陈、蔡大夫……乃相与发徒役围孔子于野。不得行，绝粮。从者病，莫能兴。孔子讲诵弦歌不衰。”）。

孔子教学生“弦歌”当然不是弹琴唱歌玩耍，而是要用以作为教化人民、治理国家的手段。《论语》中有这样一个故事，孔子的学生子游（就是我们在上一篇中说到的发现澹台灭明“行不由径”的子游）在武城做地方长官，孔子带着学生到那里去考察子游，听到“弦歌之歌”，就莞尔一笑说，治理武城这样的小地方还用得着“弦歌”吗？真是杀鸡用牛刀。但是孔子被子游反驳。于是，孔子连忙向学生们说，子游所说是对的，我刚才是故意跟他说着玩的。（“子之武城，闻弦歌之声，夫子莞尔而笑曰：‘割鸡焉用牛刀。’ 子游 对曰：‘昔者偃也闻诸夫子曰：‘君子学道则爱人，小人学道则易使也。’ 子曰：‘二三子，偃之言是也，前言戏之耳。’”《论语·阳货》）孔子到底是失言还是戏言当然各人可以有各人的看法，但是，他教学生以弦歌来教化人民是没有问题的。

所以，在古代文献中，说到“弦歌”，差不多就是说到了孔子和他的学说。

用以“弦歌”的乐器是瑟。琴与瑟相似，据说只是弦的数目不同。用的弦不对，琴瑟弹出来的调子也就不对，董仲舒用这个来比喻国家的政策出了问题，就要改变政策。他说：“琴或瑟的音调严重不对，就要把琴弦拿下来，重新换上新弦，才能够再弹（琴瑟不调，甚者必解而更张之，乃可鼓也）”。这就是成语“改弦更张”的出处。

《诗经》的开卷第一篇就有“窈窕淑女，琴瑟友之”的句子。所以，古人也常常以琴瑟比喻成夫妻，琴瑟和谐就是夫妻恩爱，失和就是吵架了，是和谐还是失和，都在弦上。所以，妻子死亡，男人再娶一位太太，称为续弦。过去妇女的死亡率极高，续弦的事情也就很多。

在我国古代的数学中，直角三角形的斜边被称为弦，于是有勾三股四弦五的说法以及勾股定理。这里的直角三角形是作为一张弓来看待的，所以斜边才称弦。有人要问，这里的弓为什么没有圆弧？以为弓一定由圆弧和弦构成，那实际上是如今学习数学后得到的先入为主的概念。因为在现在的几何图形中，所谓弓形确实是圆弧与直线段（弦）所构成的。这是我们现在从小得到的启蒙知识，其印象当然是最深刻的。但是实际上，弓并不一定有圆弧，只要那一面的弯的即可，甲骨文、金文中的弓字与后来的篆字、正楷一样，一面都是弯曲的而不是圆弧形的。在传统武术中，所谓弓步也就是一腿弯曲一腿伸直，差不多就是两腿与地面之间形成直角三角形。

在数学中，正弦和余弦是两个最重要的三角函数。三角函数是西方人发明的，重要一点的有如下8个：sine、cosine、tangent、cotangent、secant、cosecant、versine、coversine。分别翻译成正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢和余矢。我们的先人为什么把sine和cosine翻译成正弦和余弦呢？在下面的单位圆（以坐标原点为圆心，半径为1的圆）中，正弦、余弦等三角函数汉语译名的来历可以比较清楚地显示出来。

在直角ΔAOC中，θ角的正弦sinθ是AC/AO，由于是单位圆，AO是1，所以线段AC的长度就是sinθ。显然，这是弓形ABD中弦AB的一半。正，有直、正对等义。因此，在中国的第一部编译的三角学著作，明代的《大测》中，作者（邓玉函、汤若望、徐光启）将sine翻译为“正半弦”，简称“正弦”。cosine就是这个角的余角的正弦，所以称余弦。我们还可以看到，现在不大用的正矢函数，versin(θ）= 1 – cos(θ)，其数值等于上面图中线段CD的长度。先人把versine 翻译成正矢。在上面的图中，CD正好是这张弓（弓形ABD）上的箭矢。由此可见，我们的前人在翻译西方科学名词时正是费尽了心思。这种精神，正值得我们现在翻译新名词的时候认真学习。

十分遗憾的是，在我学习的教科书中，一般不告诉我们这些翻译名词的来历。其实，把这些汉语名词的来龙去脉简要地告诉学生，可以让学生更深刻的理解这些概念。