杂说几个与几何有关的字（3）切、割和法

在初中的平面几何课中，我们就知道，一条直线与圆相交，如果有两个交点，就像下面的图中，直线BC与圆O相交，有两个交点F和A，那么这条直线BC就称为圆O的一条割线。

我们又知道，如果直线与圆只有一个共同点，如图中的直线DE，与圆O有一个共同点A，那么直线DE就是圆O的一根切线。

我记得初中的平面几何大概就是如上面这样说的。不过，那时候我就有一个问题：切与割应该是差不多的意思，拿一把刀，一切或者一割，都是一刀下去，为什么切割到圆周里面就称割线，没有切割里头到而只是碰到了边就叫做切线？这“切”和“割”到底有什么差别？不知道各位朋友学到这里的时候有没有与我一样的想法。

切与割两个字都与刀有关。

割字的意思比较单一，就是用刀把某物截断。割下来了、断开来了，就是分开了，称分割，割裂。有时候也用来“断开”抽象的东西，如“割爱”，就是把自己喜欢的东西让给他人；又如，割断与某人的某种情分、某种关系等等。

所谓圆的割线，也就很简单，就是一根直线像一把刀似的，把圆周分割成了两个部分。

切，也是用刀把某物截断，我们各家各户过日子，总是要切菜、切肉等等。在这个意义上，切就是割。我国最早的字书《尔雅·释诂》中也说“切、割也”。现在我们还是常常说切割。但是，切字有很多引申的意思。

文字总是与人们的生活环境有关的，生活中遇到多的，用字的分类就多；生活中不大遇到的，所用的文字就少。像牛，现在我们的生活遇到的不多，但是与古人的时候关系较大。我们现在都用一个牛字，公牛、母牛、大牛、小牛、白牛、黑牛如此等等。古人就分得很细，用不同的字表示那天不同的牛，例如牡（公牛）、牝（母牛）、犊（小牛）、㸬（二岁牛）、犙（三岁牛）、牭（四岁牛）、荦（杂色牛）、㹊（白色牛）等等。

用刀一类的工具加工物体也是如此。《诗经·卫风·淇奥》有“如切如磋，如琢如磨”的诗句。据汉代学者的解释，切是加工骨头，磋是加工象牙、加工玉器称琢、加工石器称磨。骨头、象牙、玉石等物都很坚硬，加工起来不易，对于缺乏坚硬的金属工具的古人来说，更是如此。加工这些物件都要很细心的雕琢、一点一点地来回切、磋。后来，文人们就把切磋引申为探讨学问时相互观摩、取长补短。切也就引申为切磋的意思。古人说：“丁丁嘤嘤，相切直也”。丁丁（伐木声）和嘤嘤（鸟吗声）分别是《诗经》中的两首诗里的词汇，都可以用来比喻朋友间切磋学问和行为。旧时的少儿启蒙读物《千字文》中也有“交友投分、切磨箴规”的句子，意思是说交朋友要意气相投，互相切磋，彼此规劝。所以，对于古人来说，切字的这种引申义，是非常熟悉、随口可引的。

即使作为人的动作，切也容易由切磨、切摩而引申为摩檫、摩搓等义。摩，今人亦用作摸，中医望闻问切，四种诊断手段。切是切脉，就是摸脉。这里的切就是用手了，与刀没有一点关系了。

同样，切又引申为接近、迫近、贴近。迫也是接近，迫切，原义为接近、迫近。这样，切又引申为窘迫，又引申为急切如此等等。现在我们使用的绝大多数由切构成的词，如密切、亲切、切身、贴切、迫切、切近、急切、殷切、恳切、切实、激切、确切、痛切等等差不多都是从这个方向上引申出来而组成的。

切，又是我国古代文字拼音的重要方法，又称反切。我们现在汉语拼音，声母与韵母拼在一起，就“拼”出来这个字的读音。如东，dōng。古人没有现在这样的拼音字母，就用两个字，用前面一个字的声母，与后面一个字的韵母，“切”在一起。如，东，德红切。就是用德的声母与红的韵母（当然还有声调，平、上、去、入四声），切出来一个东的音。红字是平声，东就也是平声。

又如“切”字的读音，古人注为“千结切”，就是千字的声母加结字的韵母，结字是入声，切也是入声。当然，由于最近几百年间北方方言的字音受少数民族的影响很大，用古代字书上的反切去读，往往读不出现在的读音来。例如，切字，现在的北京方言把切这个入声字改读成了阴平声和去声，这大概是到了清代的事情了（北方方言中像山西方言较为封闭，切字仍然保留这个入声读音）。

看到了切字的上面这些意义，我们不难看出来，所谓“切线”的切，并不是一刀切下来的意思，而应当与“贴切”、“切近”、“切身”等词中的切字比较相似，有紧紧地贴着的意思。这与上面所说的绝大多数由切字为组分的词语属于同一类的引申方向。这些词语中的切的意思与割就都相去甚远了。

这样，我们看到了在“割线”与“切线”中，割与切字义的不同之处。

实际上，在数学家那里，切线与割线还是有密切的关系的。这虽然与切、割两个字的意义关系不大，但是了解一点总没有坏处。

我们还是看上面的图，割线BC与圆周相交，有两个交点：F和A。现在，我们假定BC是可以在纸面上运动的，而固定A点（假想用一个图钉摁在A点），让点F顺着圆周往A点方向慢慢移动，这样，直线BC就开始绕着A点在纸面上慢慢地转动起来，B端向上，C端向下。F点向A点靠得越近，直线BC就越来越靠向直线DE。随着F点无限地向A点逼近，直线BC也就无限地向直线DE逼近。它的“极限”位置，也就是BC与DE重合了。这就是圆周在A点处的切线。

这样的定义，不但可以适用于圆的切线，也可以适用于定义其他曲线的切线。

我们又知道，切线DE是垂直于过切点的半径OA的，当然也垂直于半径OA所在的直线ON。过切点A而与切线相垂直的直线OA，往往被称为圆周在A点处的法线。

我们从小就知道法是法律的意思，后来又知道法字是三点水，表示法律要像水一样的平。俗话说一碗水端平。法，在古代是刑法的意思。古人写为灋，三点水表示公平，廌是传说中的神兽，撞到争执双方的哪一方，哪一方就有罪（去），所以这个字由三点水、廌和去三个部分组成。法线是表示“垂直”的直线，它与“水平”、与法律有什么关系？

法线与法律当然没有什么关系。但是，法有引申义，那就是规范。法是人们行为必须遵守的规范。

法线这个词是从normal 或normal line翻译过来的。Normal是规范、标准的意思，我们的先人要用一个字的翻译，因而就用了“法”字，称法线。这里的法，就是规范的意思。