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世界上最完美的砝码组合---神秘的“3”重现江湖! 精选

已有 23958 次阅读 2008-12-19 16:59 |个人分类:科学探索|系统分类:科普集锦| 哥德巴赫猜想, 发明狂, 阿罗不可能定理

 

 

世界上最完美的砝码组合

.

--- 神秘的“3重现江湖!

...

 

[前言]:最近,科学网上一神人“发明狂”(昵称:发发)终于发狂了!竟然请到科学网上好几个大侠如数学家曹广福、教育家吴喻、画家老祖、哲学家杨玲等为其做画并代其发表文章...尤其过份的是,他竟敢找到天狼星特使二傻的家门口,自称是天狼星隔壁家天狗星来的亲戚,要俺也为其摇旗呐喊!...如果不是因为发发是数学系的毕业生,而且他的这个砝码问题(“史上100个最有趣的初等数学问题”之一)其实有着深刻而神秘的内涵,俺也就不在这忽悠了。

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请诸位看官先耐心看完发发的下列文章:

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========================

 

世界上最完美的砝码组合

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发明狂

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某天正当发发由于和老祖共同研发的狂币发行受挫,沮丧之极而狂喝闷酒的时候,“叮呤呤”,提起话筒一听,原来是二傻从X星上的国际空间站回来了,并带来了一个令人不安的消息,他说X星上的国际空间站由于出了意外,所有的砝码均被毁坏,站长派他火速回地球带一组新砝码去,具体要求是:

 

(1)    能称量从13280的所有整数克,但砝码的总质量不能超过3280

(2)    砝码的数量尽量要少,国际空间站站长德·梅齐里亚克要求不超过8个砝码。

 

二傻已经跑遍了全地球上所有的衡器厂,都没人敢接下这个定单,算他幸运的是,竟然还记得我这个来自天狗星(二傻不让俺去天狼星,所以只好住到天狼星的隔壁天狗星上)的发明大狂----发发。我安慰他说,“傻兄,您放心,这对于我们天狗星的人来说,那是小菜一碟,连三岁的小孩子都办得到,您明天一早来取货就行了”,约定好取货时间后,他还不断的叮嘱“记住,砝码的总数量不能超过8个!总质量也绝对不能超过3280!就是超过一微克都是犯罪!!”。我说:“这个我知道,根据老爱的公式:E=mc^2,在接近光速飞行时,就算是微不足道的一微克质量也需要消耗掉难以想象的能量,不过您放心去睡吧,谁叫咱俩是好朋友呢,我不替您分忧,谁替您分忧?”。听我这么说他才肯走,但走时的眼光连白痴都看得出充满了不信任。。。

 

我可不想浪费时间去研究他的目光,赶紧拨通老祖的电话,向他定做了下面这一组砝码:

 

11

23

39

427

581

6243

7729

82187

 

一共8种,每种定做一个。

老祖是何等高手!转眼就给弄出8只绝美的金刚砝码如下:

 

 

 



看着这些美丽无比而魅力无穷的堪称世界上最完美的天狗星砝码组合,发发突然想起,大多数地球人的智商还不如咱天狗星的三岁小孩,如果不仔细说明其中来龙去脉,恐怕地球人不相信也不会正确使用这些砝码。想到这,赶紧提笔写下了世界上最完美的砝码组合的数学原理及使用手册。

 

一、数学原理:

 

用天平称量物体实际上是把物体放在一个托盘上,然后在两个托盘上分别加上适当的砝码,使得天平保持平衡,这时物体的质量就等于这两个托盘上砝码各自质量之和的差值。这样一来,世界上最完美砝码组合问题就转变成纯数学的整数最优拆分问题了:

 

如何将3280分解成一些较小的数(正整数,下同),取出一部分这些数(每一个数在一次运算中只能使用一次,即满足砝码的唯一性)进行或加或减的运算就能得到一个新的数。而且用这种方法得到的数集里必须包含了从13280的所有正整数。

 

(1)  首先让我们来看理论上能不能做到。假设这样的一组数存在,我们设为n个,从小到大分别为:A1,A2,…,An即:A1<A2<…<Ann为正整数)现在我们来看这一组数是如何组成一个新的数的。

 

K1A1+ K2A2+….+KnAn  (其中k1,k2,….,kn的取值只能是-10+1这三个数,n是正整数)

 

根据要求,我们知道A1,A2,…,An这一组数必须满足下面这些条件:

 

A1+A2+…+An=3280           …………………

 

K1A1+ K2A2+….+KnAn  k1kn取完所有的可能值时,至少能产生3280个数字 ,而这些数字里还必须有13280的所有正整数。  .................

 

式子②所能产生的数字个数问题实际上又是排列组合问题,K1,K2,…,Kn每个都有三种取值的可能,所以所能组成的数字的总个数P=3^n。这些数字中有0,有正整数,也有负整数,由于对称性,正整数和负整数的个数是一样多的。所以实际产生的正整数的总个数应该是:T=P-1/2=3^n-1/2.

 

T=3280,(如果此式能成立,则刚好能产生13280的所有正整数)

 

即:T=P-1/2=3^n-1/2.=3280   

解之得:         n=8

 

这就从理论上证明了3280能分成8个较少的数字,并且从这8个数字中取出m(m<=8的正整数)个进行或加或减所生成的所有正整数刚好就是13280的所有自然正整数。

 

2  既然理论上是可以做到的,那我们就实际来做一做。

  

显然:    A1=1 因为1是自然数的始祖,少了它肯定不行。

 

那么A2是多少呢? A21可以组成的数字:A2-1A2A2+1,显然A2-1=2,解之得:  A2=3

 

有了13这两个数字我们就能产生数字:1234

 

增加A3后,我们又能增加这些数:

A3-4A3-3A3-2A3-1A3A3+1A3+2 A3+3A3+4

同理A3-4=5,解之得:论艺  8   (自然数,下同),通过这些数(每一个数在一次计A3=9

。。。。。。

 

同理我们可以得到A4=27A5=81A6=243A7=729X8=2187

   

现在让我们验证方程①是否成立,

A1+A2+…+An=1+3+9+27+81+243+729+2187=3280

    方程①成立。

 

到此我们不但在理论上而且在实际上也找到了这8个数字了,它们分别是

 

1  3  9  27  81  243  729  2187

   

 

二、使用手册

    

砝码的使用问题归根结底是数学问题,所以我们在这里就说数学问题吧。也就是说如何用1  3  9  27  81  243  729  21878个原始数字表示13280的某一个具体的数字,先让我们来做几道简单的算术题:

 

1

1+3=4

1+3+9=13

1+3+9+27= 40

1+3+9+27+81=121

1+3+9+27+81+243=364

1+3+9+27+81+243+729=1093

1+3+9+27+81+243+729+2187=3280

 

我们把13280的所有正整数分在7个区间里,它们分别是:

Q1= [1  4]                       1Q13Q1

Q2=4  13]                     9Q2

Q3=13  40]                    27Q3

Q4=40  121]                   81Q4

Q5=121  364]                  243Q5

Q6=364  1093]                 729Q6

Q7=1093  3280]                2187Q7

其中“(”表示开区间,“]”表示闭区间。

.

显然,给我们任何一个数A1<=A<=3280),我们先看A属于哪个区间,在哪个区间就取也同在那个区间的那个原始数字来做减数与A相减,比如数字A与原始数字B1在同一区间,则A可以表示成

        A=B1+K1   A=B1-K1     …….

 

现在再看K1在哪个区间,如果K1和原始数字B2在同一区间,则K1可表示成

        K1=B2+K2  K1=B2-K2    ………

 

依此类推,只到所有的数字都变成原始数字为止。即

        ……………………………………………….

        Kn-1=Bn+Kn  Kn-1=Bn-Kn ……….(n)

 

(其中ABKn都是正整数)

 

这时将式(n)代入式(n-1, 式(n-1)代入式(n-2……代入式

这样全部用原始数字表示的数字A就完成了。下面用具体的数字为例加以说明。

 

例(1)用天平称取2008物品。即A=2008

解:

2008Q7 2187Q7,所以

           2008=2187-179

 

179Q5 243Q5,并且179= 243-64

所以

          2008=2187-243+64

64Q4   81Q4,并且64=81-17

所以

         2008=2187-243+81-17

17Q3 27Q3,并且17=27-10

所以

         2008=2187-243+81-27+10

10Q2 9Q2 并且10=9+1

所以

 

2008=2187-243+81-27+9+1

    

又因为1是原始数字,所以到这里就可以OK了。

       

在使用天平称取2008物品时,24327的砝码和物品放在同一边托盘上,21878191的砝码放在另一边托盘上即可,当天平平衡时,这时物品的质量就是2008

 

   例(2)用天平称取1997克物品,即A=1997
   解
      1997
Q7 2187Q7

       所以      1997=2187-190


      190Q5243Q5,并且 190=243-53
    所以   1997=2187-243+53

      

       53Q481Q4,并且 53=81-28
    所以   1997=2187-243+81-28

       28Q327Q3,并且28=27+1
    所以   1997=2178-243+81-27-1

     

       8Q29Q2,并且 8=9-1
    所以   1997=2178-243+81-27-1

在使用天平称取1997克物品时,物品和质量为243克,27克,1克的砝码放在一个托盘上,2178克,81克的砝码放在另一托盘上,当天平平衡时,此时物品的质量即为1997克。

 

习题:

1,世界上最完美的砝码组合第9颗砝码应该是多少克?

2,世界上最完美的砝码组合的第n颗砝码应该是多少克?

3,德·梅齐里亚克的法码问题:

一个商人有一个40的砝码,由于跌落在地而碎成4块。后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从140磅之间的任意整数磅的重物。问这4块砝码片各重多少?

 

参考资料:

      Problèmes plaisants et délectabled qui se font par les nombres

      Quarterly Journal of Mathematics, vol. XXI, 1886

 

(发发的文章转载完毕)

 

 

[后记]

.

应该说,发发大侠对几百年前的德·梅齐里亚克的法码问题的理解是十分透彻的!而且发发的科学普及的热情很高,且逻辑清晰、文笔流畅,文章的可阅读性很强。特别是,他将有限的理论知识转变为无限的现实生产力的积极态度则尤为可贵!发发自编的使用手册还真是很实用,以后也许真的可以让全世界实验室的砝码如是优化?至少可以节约许多制造砝码的成本---尤其在当今世界危机之时,能省一块是一块啊!(好象有某个国家已经要将他们国家的硬币缩小尺寸以节约金属消耗量了.)

 

为了推广利用德·梅齐里亚克的法码问题所带来的整数最优拆分法,发发竟然请到科学网上好几个大侠如数学家曹广福、教育家吴喻、画家老祖、哲学家杨玲等为其做画并代其发表文章...尤其过份的是,他竟敢找到天狼星特使二傻的家门口,要俺也为其摇旗呐喊!

 

哈哈!如果不是因为在这个问题中又出现了神秘的“3”,俺才不理天狗星人呢!...眼睛好的人可能早就发现,这些完美的德·梅齐里亚克法码组合其实就是以下序列:

 

133*33*3*33*3*3*3……

 

全是数字“3”的各次幂神奇而又神秘的3”再次出现 

 

让人情不自禁地又一次想起“三生万物”!

.

 

说句老实话,有多少人在研究老子道德经,就是无法对老子的这句话彻底理解明白:

 

“道生一,一生二,二生三,三生万物”

 

记得二傻当初在中国科大参加“全国非线性科学高级研讨会”(1994)时,本来是去学习的,并没有准备任何学术论文...不料在开会期间,会议组织者听说俺是俺师傅的徒弟,那一定是很厉害的非线性高手喽!于是非要俺来一个30分钟大会报告...恭敬不如从命,那就拽吧...但由于二傻对现代浑沌理论理解不深,只学了其开山大作“三便意味着浑沌”(指一个非线性系统,如果只出现2分叉,不一定能进入混沌状态;而如果一旦出现3分叉,系统一定能出现无穷多分叉---即进入混沌状态!),于是,连夜赶写了个30分钟报告,题目就叫:“老子的道德经与现代浑沌理论”。。。嘿嘿!

 

猜猜报告完毕时的听众反应?

 

主持人是个70多岁的老教授(好象是搞生命科学的),比较开明,说:你小子有点意思!还当众推荐了几本欧美物理学哲学大作让俺回去仔细学习...但是,年龄低于50岁的学者个个目瞪口呆!有几个心善的,会后还专门劝告俺:以后别再讲这类东东了,如果不是因为你师傅厉害,人家早把你当疯子赶出会场了!

 

唉!没办法...俺不就是想用浑沌理论来理解老子的那句真言嘛?有何不可?难道你们已经理解了吗?那为何不告诉二傻?SHIT

 

今天,冥冥之中,发发又将德·梅齐里亚克的法码问题摆在俺面前,又一次勾起俺对“3”的神秘直觉...事实上,德·梅齐里亚克的法码问题告诉我们:只要用13,就可以构造一切整数! 于是也就可以构造一切“有理数”(一切有理数都是整数与整数之比)!...啊哈!果然是“三生万物”!

 

别急!有人说,实数/超越数怎么办?其实俺早心中有数:不过是存在所谓的无穷小量。。。世界上最小的无穷小是多少?您知道吗?俺知道:

.

世界上最小的无穷小 = 1 – 3 * 1/3

.

因为:1/3=0.333333333……

所以: 3 * 1/3 = 0.99999999……

于是: 1-3*1/3 = 1-0.9999999… = 0.0000000…001

.

(请参阅二傻博文:"科学中的鬼--无穷大和无穷小问题")

 

如果任何整数和最小的无穷小都可以用 “1”“3”构造出来,是不是所有实数都可以由 “3”构造出来?

 

还不止这些呢! 知道哥德巴赫猜想?数学王冠上的明珠吔!

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哥德巴赫猜想大致可以分为两个猜想:

1.每个不小于6偶数都是两个素数之和(欧拉猜想)

2.每个不小于9奇数都是三个素数之和(哥德巴赫猜想)

其实哥德巴赫猜想只是欧拉猜想的自然推论:

因为任何奇数都可以表示为: 3 + 2(N-1),如果偶数2(N-1)可以总表示为两个素数之和,则任何奇数都可以表示为三个素数之和.

只要3就够了!多了无用……这里又出现神秘的“3”了吧?

.........

最后,让我们做一个小结,关于伟大光荣正确的 “3”:

@“三生万物!(老子语)

@“意味着浑沌!(浑沌理论开山文章的题目)

@ 13可以构造出任何自然数!

@“1/3”最小无穷小的起源!

@ 费马大定理就指出""是人类数字能力的极限

@ 而伽莫夫更直接说:“是人类知道的最大数!(“三级无穷大人类至今无法理解其意义!)

@ 牛顿即便发明了微积分,""体引力问题还是一筹莫展!

@ 自然界有三原色”,人类也有自己的三原色”,基本可以乱真, 可重建/虚拟世界上所有色彩!

@ 更妙的是:只要有三个以上候选人,完美的民主选举就可能无法实现!(请参阅二傻子的博客文章有感于人类的自欺欺人-2中关于1970年诺贝尔奖获得者肯尼斯-阿罗阿罗不可能定理的说明)

.

对了!

肯尼斯-阿罗的外甥劳伦斯.萨默斯[Lawrence Summers]最近被罗马俱乐部推荐为美国新一届奥巴马政府的国家经济委员会主任!...美国新财政部长盖特纳如是说: “我发现与萨默斯交谈5分钟往往比跟别人交谈一个多小时更有价值.”

。。。。。。

师傅说: 真想弄清楚“3”的含义, 三星堆寻找黄金分割!

嘿嘿...

.

 

      
 

https://blog.sciencenet.cn/blog-5190-51860.html

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