SU(N)对称性费米子的自旋交换

在超冷原子研究中，Spinor BEC是一个广泛研究的课题。其中关键的物理因子就是原子的自旋交换作用。比如Rb原子处在F=1,m_F=0态，当磁场很小，能量守恒定律允许情况下，原子会由于碰撞布局到其他的m_F=1，-1态，这就是自旋交换碰撞。自旋交换的速率由碰撞的能量差决定。也就是说各个不同自旋态之间的散射长度之差决定做自旋交换的速度。如果各个态之间的散射长度相等，那么就不会有自旋交换了。

SU(N)对称性Fermi子正是具有这样的性质。特别地，对于Sr⁸⁷和Yb¹⁷³，他们总电子角动量J=0，这样原子核自由度和电子就不再耦合了，使得许多原子的性质和原子核自由度无关。换句话说，对不同的核自旋态，原子的某些性质是对称的，散射长度就是其中之一。

这样一个有趣的问题就出来了，既然SU(N)对称性原子散射长度一样，如果你将其布局到不同自旋态上，他们之间应该没有自旋交换碰撞，原子应该保持在原子的自旋态上。Innsbruck的Florian Schreck做了这个实验（PRA 84 043611（2011））。实验结果如下图1，首先将Sr⁸⁷原子布局在所有的自旋态上，然后用激光消除5/2态原子。然后等10秒，让不同自旋态原子相互碰撞，实验发现原子在5/2态上一直没有布局。自旋交换碰撞在这种情况下完全被抑制住了。

图1：由于SU(N)对称性，自旋交换被抑制。m_F=5/2态一直没有原子出现。

上述实验只涉及到一个自由度：自旋。如果我们增加一个自由度，比如原子的不同电子能级，会有什么样的有趣现象。A. V. Gorshkov在nature physics上发表过一篇文章，给出这样情况的一个理论框架（Nat. phys. 6 289 (2010)），称之为双轨道（two-orbital）SU(N)对称性。其中一个影响就是自旋交换的出现。

在双轨道情况下，（特别地，增加了电子能级自由度|g>，|e>），由于不同电子能级的碰撞性质不同，这时候散射长度只在一个轨道内是相等的，和不同轨道间的散射长度不一样了。这样一个后果就是，对于不同电子能级的原子的碰撞，碰撞能量是不同的，自旋是可以交换的。换句话说，由于额外自由度的加入，使得不同轨道间的散射长度不同，导致了自旋交换的发生。

双轨SU(N)有很多有趣的问题可以研究。最近实验上先后有一篇Science（JILA，arxiv 1403.2964），一篇Nature physics（Munchen，arxiv：1403.4761），一篇PRL（Italy，arxiv 1406.664）被接收。

在JILA的文章中，用的是Sr原子，对比了不同自旋态布局情况下导致的碰撞频移。一个重要的结果是，在不同的自旋布局下，碰撞频移相对于激发几率的斜率是一致的，这是SU(N)对称性决定的。

图2：SrSU(N)对称研究。碰撞频移的斜率与自旋无关，这是SU(N)对称性决定的。

德国马普的研究则是选择Yb作为研究对象。将原子装载到光晶格中，然后用激光激发原子。如图2，第一种情况，单原子跃迁，自旋不发生变化，这时候就是一般的钟跃迁。在双原子情况下，激发原子，改变了原子的能级状态，对应的轨道间的碰撞能级改变，因此会导致碰撞频移。

图3：双轨SU(N)模型。自旋交换和磁场的关系是因为失谐引起的。

通过测量不同磁场下的碰撞频移，可以获得不同轨道间的散射长度数据。

图4：不同磁场下的碰撞频率移动。中间几个态是双轨碰撞频移导致的移动。

知道了散射长度，就可以知道双轨间的自旋交换频率。他们在实验上观测到了双轨道情况下的自旋交换碰撞。原来-5/2态上的原子数很少，经过碰撞后，布局数发生变化。他们测量了时间依赖关系，看到了原子布局数随时间变化，最后趋于一个平衡态。

图5：双轨道SU(N)自旋交换。

理论上，自旋交换相互作用会导致自旋布局的振荡。上面结果没有看到这个振荡，一个原因是他们在测量自旋交换作用时，用的是一维光晶格，在每一层中有很多原子，平均下来就把振荡给抹去了。

意大利小组更进一步，将Yb原子囚禁在三维光晶格中。让中心附近晶格有两个原子。然后让他们布局在不同电子能级中，并且具有不同的核自旋。然后测量布局的变化。他们看到非常漂亮的布局数振荡。当然，他们还测量了磁场，光晶格深度依赖关系等，和理论符合很好。实验的成功观测到振荡依赖于三维光晶格，不像一维光晶格中那样被平均掉。

图6：自旋交换振荡。

对于光晶格的依赖关系，可以理解为光晶格强度越大，原子在晶格内波包越小，密度越大，这样碰撞能量越大，交换频率越高。对于磁场依赖关系，可以理解为，当磁场存在时，自旋交换是非共振交换，失谐越大，自旋交换频率越高，同时，自旋交换的振幅应该越小。

图7：自旋交换频率和光晶格、磁场的关系。

这几个实验各有特色。如果仔细一点，会发现他们频移尺度非常不同。JILA实验中频移是Hz量级，德国和意大利实验频移是kHz量级。JILA的实验是在冷原子中做的，温度比较高，因此可以研究s波，p波频移等，也因此密度很低。而JILA具有世界最先进的光钟，可以探测10^-18量级的频移。德国和意大利也是利用钟跃迁，有宰带宽激光器，但是他们不是专门做钟的，窄线宽激光器带宽在几十Hz量级。他们的原子是简并气体，温度低，可以只考虑s波。在三维光晶格的强囚禁中，密度大，频移很大，在kHz量级，因此他们也可以探测到频移。