作者：蒋迅

来源：单字 (群论)和Terance Tao: Word maps close to the identity。

根据维基百科，在群论中，单字是群的任何元素和它们的逆元写成的乘积。例如，如果 x, y 和 z 是群 G 的元素，则 xy, z^-1xzz 和 y^-1zxx^-1yz^-1 都是集合 {x, y, z} 形成的单字。字在自由群和展示理论中扮演重要角色，并是组合群论的中心研究对象。

下面的内容来自陶哲轩的博客：

当我与一位UCLA的博士后（March Boedihardjo）聊数学的时候，我们聊到了下述问题。我们已经解决了它，但是我们的证明很漂亮，并且找到这个解的过程也很有意思。所以我想在这里写出这个问题，算作是一个迷题，以后再给出解答。

这个问题涉及到矩阵群上的单字映射。为了本文的讨论，我们将假定这个群是一个实3X3矩阵的特殊正交群 SO(3) (这是包含自由组的最小矩阵群之一，顺便提一下，这是巴拿赫-塔斯基分球怪论的关键观察点)。给定一个抽象单字，它具有两个生成元x, y和它们的逆（即自由群 F₂），我们可以简单地定义单字映射 w: SO(3) X SO(3) → SO(3)，就是把一对儿矩阵代如这些生成元中。比如，如果有一个单字 w = xyx^-2y²x，那么相应的单字映射 w: SO(3) X SO(3) → SO(3) 由下式定义：对於任意的 A, B ∈ SO(3)，

w(A, B) := ABA^-2B²A

因为 SO(3) 包含了自由群，所以我们看到当且仅当单词本身是非平凡的时候，单词映射是非平凡的（不是恒等）。

　　好了，下面就是这个问题：

　　问题。是否存在一个非平凡单词映射序列 w₁, w₂, ...: SO(3) → SO(3) 是一致收敛到恒等式的？

换一句话说，给定任何一个 ε > 0，是否存在一个非平凡的单词 w，使得对於任意的A, B ∈ SO(3)，有 ||w(A, B) - 1|| ≤ ε？这里 |||| 是算子的模，1 是 SO(3) 的恒等矩阵。

正如我所说，我不想破坏解决这个问题的乐趣，所以我会把它作为一个挑战。 欢迎读者在下面的评论中分享他们的想法，部分解决方案或完整的解决方案。