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【数学应知道】陶哲轩:封闭的单字映射

已有 2967 次阅读 2019-2-11 09:02 |个人分类:传数学|系统分类:科研笔记| 数学, 数学都知道, 数学应知道, 群论, 陶哲轩


作者:蒋迅

来源:单字 (群论)和Terance Tao: Word maps close to the identity

根据维基百科,在群论中,单字是群的任何元素和它们的逆元写成的乘积。例如,如果 x, yz 是群 G 的元素,则 xy, z-1xzzy-1zxx-1yz-1 都是集合 {x, y, z} 形成的单字。字在自由群和展示理论中扮演重要角色,并是组合群论的中心研究对象。

下面的内容来自陶哲轩的博客:

当我与一位UCLA的博士后(March Boedihardjo)聊数学的时候,我们聊到了下述问题。我们已经解决了它,但是我们的证明很漂亮,并且找到这个解的过程也很有意思。所以我想在这里写出这个问题,算作是一个迷题,以后再给出解答。

这个问题涉及到矩阵群上的单字映射。为了本文的讨论,我们将假定这个群是一个实3X3矩阵的特殊正交群 SO(3) (这是包含自由组的最小矩阵群之一,顺便提一下,这是巴拿赫-塔斯基分球怪论的关键观察点)。给定一个抽象单字,它具有两个生成元x, y和它们的逆(即自由群 F2),我们可以简单地定义单字映射 w: SO(3) X SO(3) → SO(3),就是把一对儿矩阵代如这些生成元中。比如,如果有一个单字 w = xyx-2y2x,那么相应的单字映射 w: SO(3) X SO(3) → SO(3) 由下式定义:对於任意的 A, BSO(3),

w(A, B) := ABA-2B2A

因为 SO(3) 包含了自由群,所以我们看到当且仅当单词本身是非平凡的时候,单词映射是非平凡的(不是恒等)。

  好了,下面就是这个问题:

  问题。是否存在一个非平凡单词映射序列 w1, w2, ...: SO(3) → SO(3) 是一致收敛到恒等式的?

换一句话说,给定任何一个 ε > 0,是否存在一个非平凡的单词 w,使得对於任意的A, BSO(3),有 ||w(A, B) - 1|| ≤ ε?这里 |||| 是算子的模,1 是 SO(3) 的恒等矩阵。

正如我所说,我不想破坏解决这个问题的乐趣,所以我会把它作为一个挑战。 欢迎读者在下面的评论中分享他们的想法,部分解决方案或完整的解决方案。





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