作者：蒋迅

在我发表“最丑的数学公式”的时候，我就预感到会有很多吐槽。果不其然，多数的评论是负面的，尽管还是客气的。说实话，我知道我的结论有些唐突。我应该在“最丑”两字上加上引号，因为只有更丑，没有最丑。其实我在那篇文章里也暗示过，我所谓丑的意思并不是真的丑。只是为了对应于“最美数学公式”而用了一个丑字。但话又说回来，四次多项式的通解已经超乎想像地烦长，有谁会记住它，用到它呢？它的意义仅在于结论：四次方程和二次方程一样有公式解。

感谢李泳老师写了一篇回应：“哪儿有丑数学?”。这篇文章写的特别好，有思想，有深度。李老师写到：

“纯数学家哈代说，美是检验数学的第一标准，丑数学尾巴长不了。（Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.）他认为数学无用也无害；而用的数学不是真数学，既丑且恶。他说的‘无用’，不是暂时找不到用，而是根本的‘无用’。数学的‘无用’是珍贵的品质。最美的数学是‘没用的’数学，那样的数学不会被滥用，不会给人类带来灾难。他极为反感数学的应用，特别是在工程和战争的应用。他在他的Apology里反复表达了一个意思：应用数学是丑的（ugly），平庸的（trivial），乏味的（dull）。我不学哈代的极端，但看到那些‘应用’的数学，还是宁愿欣赏哈代的数学纯情。”

四次多项式的通解已经超乎想像地烦长，似乎预示着哈代的话：丑数学尾巴长不了。果然到五次时就再也走不下去了。我在做事情的时候有时会这样，当我的处理越来越复杂的时候，可能就预示着应该有更好的办法。而事实往往如此。

李老师还写到：

“数学美在哪儿呢？我这儿说三点：逻辑性、普适性和严肃性。前两性不用说了；严肃性是借哈代的词儿，意思是它能关联更深广的问题。方程求解公式不那么美，就因为它不够严肃，引不出更多更深的东西来。（相比之下，Galois同学的作业就美绝了，还是壮美。）那么，为应用的公式找点儿美味，就得看它是不是有逻辑，是不是普适（相对的），是不是能关联更深层的问题和理论。”

我特地到互联网上去Google了一下，发现早就有人谈过“最丑数学公式”了。比如，在“知乎”上就有一个“数学史上你认为最丑陋的公式是什么？”的讨论。在《《数学人文》杂志上有一篇“扫描数学家的脑──看到数学之美”。阿蒂亚 (M. Atiyah) 爵士提供了60个包含许多领域的数学公式让16位数学家来评比。最美的当然是欧拉公式。最低分的丑公式则是拉马努金（Ramanujan）的1/π公式：

这个由拉马努金发现的公式确实比四次方程的通解要丑多了。但其实，它有一个更一般的形式（拉马努金-佐藤级数）：

其中，s(k) 是一些满足一定递回关系的可以用二项式系数表达的已知数列，A, B, C 则需用高阶模形式来表达。这方面的结果一直到近些年都还有新的进展。这样看来，拉马努金（Ramanujan）的1/π公式还是很美的。

还是李老师说的对：“要把数学内部的美丑问题推波助澜到‘应用’领域，那儿常常没有美丑意识。”正所谓“不管白猫黑猫，能捉到老鼠就是好猫。”让我们也举一个例子：“开普勒方程” (Kepler's equation)：

M = E - esinE

其中M 是 平近点角（mean Anomaly），其中E 是 偏近点角（eccentric Anomaly）。我们要说的是“逆开普勒方程”（ inverse Kepler equation）

我不能说这个公式是最丑的。但工程数学里的几乎所有公式都是像它一样看上去复杂无序。“开普勒方程”在轨道力学里扮演重要角色。

没有最丑，只有更丑。但只要它有用，那么它就丑得其所。它因此也就成了一种美。

附：刘进平老师发的：找几个最漂亮的数学公式和最丑陋的数学公式