昨天见蒋老师举了一个最丑的数学公式，我觉得还不够丑，毕竟是逻辑导出且普适成立的，具备这样两个优点，就不会丑太远，至少心还是善的。真正的丑公式（没有丑数学），不在“纯”数学里，而在某些“应用”领域，其公式有一个博爱的美德，那就是想要什么结果都算得出来，既能满足用户的需求，也能达成领导的心愿。做过“应用”的同学都能举出很多例子，我就不妄议了。

纯数学家哈代说，美是检验数学的第一标准，丑数学尾巴长不了。（Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.）他认为数学无用也无害；而用的数学不是真数学，既丑且恶。他说的“无用”，不是暂时找不到用，而是根本的“无用”。数学的“无用”是珍贵的品质。最美的数学是“没用的”数学，那样的数学不会被滥用，不会给人类带来灾难。他极为反感数学的应用，特别是在工程和战争的应用。他在他的Apology里反复表达了一个意思：应用数学是丑的（ugly），平庸的（trivial），乏味的（dull）。我不学哈代的极端，但看到那些“应用”的数学，还是宁愿欣赏哈代的数学纯情。

虽然我们都只是借数学来用，但也该留点儿美才对得起主人家。数学美在哪儿呢？我这儿说三点：逻辑性、普适性和严肃性。前两性不用说了；严肃性是借哈代的词儿，意思是它能关联更深广的问题。方程求解公式不那么美，就因为它不够严肃，引不出更多更深的东西来。（相比之下，Galois同学的作业就美绝了，还是壮美。）那么，为应用的公式找点儿美味，就得看它是不是有逻辑，是不是普适（相对的），是不是能关联更深层的问题和理论。

前几天，一个同学得到一个统计关系，我问你的系数怎么变？指数怎么变？这只是从一组数据得到的结果，即使形式对了，也没理由说参数普适，你得看它们是不是会变，如何变，变多大，怎么用于其他情形。这几个天然问题回答了，关系才算经验。

幸运的话，可以为经验关系找一个理论，那就更美了。小朋友都能从滑面实验得到的位移-时间曲线，这是经验关系；若能重新发现或攀上牛顿定律，它就美了。Planck辐射公式本来也是实验的“经验关系”，但引出了量子论，也就美了。从实验和数据得到“数字的关系”，只是换一种方式表示原始数据，这不是数学，也不是模型，可很多同学只做这一步就了却心愿了。真正需要做的，是从它引出问题和理论，或者勾搭上一个被遗忘的理论，那才算在“用”数学。这样的用，应该也是美的，哈代不认，我认。但是反过来说，假如“三性皆空”，十三不靠，那就真的既丑且恶了。