我们在第一节，哈密顿量（1-4）中，介绍了研究一个量子系统，首先就是写出它的能量，也就是哈密顿量。物理学的研究就是给出各种系统的哈密顿量，不管是经典的系统，还是量子的系统，都是一样的。然后就是把这个哈密顿量量子化，也就是把哈密顿量变成算符，作用在一个函数上。如果这个系统是一个孤立的系统，比如原子核，那么得到的结果就只能给出相同的函数，并且乘上一个数E。这个函数就是描述量子系统波动性的函数，而这个E就是此时波动的能量。这样算出来的E的可能值，就不是连续的，而是离散的。

    这个过程原则上非常简单。客观的世界，满足的规律，至今只发现了两类。一个是牛顿的经典力学，一个是海森堡、狄拉克、薛定谔和费曼的量子力学。麦克斯韦发现的经典电磁学和爱因斯坦发现的广义相对论都是经典理论。基本的规律都很简单，比如牛顿三定律。但是应用到具体的问题是，由于所讨论的问题非常复杂，所以计算量极其巨大。比如发射探测器到月球上，应用的就是牛顿力学，但是涉及大量的细节。

    量子力学也是如此。一是写出哈密顿量很难，需要大量的实验和猜测，二是求解哈密顿量也很难，很多时候都做不到。比如广义相对论，我们是有哈密顿量的，但是无法量子化，这是公认的难题。一个无法量子化的哈密顿量，一般认为是不完备的。但是进一步推广广义相对论非常困难，不管是在微观，还是宇宙的尺度上，我们都缺少足够的实验（由于暗能量的发现，有些研究者认为应该修正引力理论）。虽然有一些理论的研究，但是不是很让人信服。描述强相互作用的量子色动力学，我们也知道怎么写下哈密顿量，但是在低能（包括核结构的问题）下，我们不知道如何求解。有一些现象，比如高温超导，实验结果非常复杂，我们至今还没有找到准确的哈密顿量。

    理论物理实际上就做这两件事。（1）找到描述物理现象的哈密顿量，（2）进行求解，解释实验。此时一维简谐振子的本征方程为

我们这本书不考虑如何计算，只给出结果，关键是理解这些概念。如果会计算，就会发现，满足这个关系的φ(x)和E会很多，可以按照能量的从低到高排序，这样一来加上这个排序的符号n，就可以写成

    这个就是在量子力学中经常使用的形式，n被称为量子数，因为能量是量子化的，是离散可数的。求解这个方程，对于复杂的系统会非常复杂，在一些复杂的问题中，可能只能计算能量最低的情况，我们叫做基态。

    一个哈密顿量的基态非常重要，因为它往往具有很多奇特的性质。上面方程的解往往会很多，而且这些解的性质会非常不一样，代表着不同的物理现象，认识到这一点是很重要的。

    比如上边一维简谐振子的情况，计算的结果是

这里的n的取值为0,1,2，...，所以能量最小的情况是n=0的结果。我们立刻就会发现，这个结果不是0。经典的简谐振子，能量最低的情况自然是不动的情况。在量子化后，最低的情况不是0，也就是一维简谐振子始终都会动（这个问题到现在依然很让人困惑，有些简谐振子的基态的的能量是必须的，有些可能不需要）。

    再比如氢原子，只有一个电子和处于中心的质子，一个两体问题，可以求解(求解过程也很麻烦，薛定谔首先算的就是这个情况)。它的哈密顿量是一个动能，加上库伦势能，写出来都很容易。动能的最小值是0，但是库伦势能是负的，所以能量的最小值对应负的无穷大。但是量子化以后，就会发现，此时的能量的最小值虽然是负的，但是有一个最小值。这个情况已经在高三物理说到了。

    量子系统的物理性质，储存在哈密顿量的函数中。比如发现超导以后，很多年都不知道这个现象如何理解。直到巴丁意识到可能需要考虑电子和晶格的相互作用，但是这不能解决问题。巴丁找到了博士后一起来讨论问题，叫库伯，他意识到电子会配对，而这种配对是由电子和晶格的相互作用产生的。这里边的新物理，就是电子配对。哈密顿量可以写出来，但是由于求解复杂，所以不知道这里的基态究竟是什么样子的，你得去猜。物理的部分让库伯猜到了，那么这个基态的波函数呢？这就是巴丁的学生施里弗给出来的。

    这就是物理学的迷人之处，虽然我们知道要写一个哈密顿量，然后计算，但是实际的情况太复杂了，写不出来也算不了。施里弗猜出来一个基态的函数，然后计算的结果很好。巴丁、库伯和施里弗因为这个理论获得了诺贝尔物理学奖。

    因为猜这个基态的函数，拿下诺贝尔物理学奖的还有研究分数量子霍尔现象的劳夫林，他首先给出了这个奇异系统的基态的函数。

    所以基态是系统的一个非常重要的方面，一个复杂的量子系统的基态并不容易求解。当然，算出来的函数越多越好，才能更好的理解这个系统。