一般泛函分析教材通常是在介绍了线性距离空间后便介绍这些空间上的算子，然后再定义内积与内积空间，继而研究内积空间上的算子。我觉得将线性距离空间与内积空间放在同一章处理或许更自然一些。

有人说泛函分析是有限维线性空间及其线性变换在无限维空间的推广，从空间与变换的定义角度讲，此言不无道理。不过话说回头，任何抽象概念都非空中楼阁，就说这抽象代数，你要说“群运算”是小学生学过的加法运算的推广又有何不可？问题是两者可以相提并论吗？回到线性距离空间与线性赋范空间，线性空间（也称向量空间）是有限维向量空间的推广，然而两者有质的不同，其主要差别表现在两个方面，一是两者适用的对象不可同日而语，无限维线性赋范空间涵盖了非常广泛的各类数学与物理问题，微分方程、积分方程、傅里叶分析等均可纳入到泛函分析中。二是无限维空间中出现了许多与有限维空间不同的现象，例如欧氏空间中重要的聚点原理、有限覆盖原理等在无限维线性距离（赋范）空间中不再成立了。我们知道这些原理在函数及方程研究中起着举足轻重的作用，离开了它们，很多问题寸步难行，为了解决这些问题，不得不引入一些新的概念：“列紧集、紧集”等。

有了向量的范数与向量间的距离，可以像欧氏空间那样定义点列的收敛性、开集、闭集等概念（这些将在后面作介绍），但仅仅依靠距离或范数来研究几何是很艰难的。事实上，Banach空间（完备的线性赋范空间）几何理论迄今为止也远没有完善，很多基本问题悬而未决。这些空间上的几何之所以困难，一个很重要的原因是不像在有限维空间中可以借助基底（相当于几何上的坐标系）来研究。我们知道，解析几何之所以成功，得益于笛卡尔坐标系，而笛卡尔坐标系的出现得益于“角”的概念，正是在平面或空间中两个向量有夹角的概念，才可以定义直角坐标系。有了夹角概念，就可以定义向量间的许多运算：“内积、叉积、混合积”等。然而，将这些概念推广到高维欧氏空间却是反过来做的，因为在高维空间中没有角的概念，但我们从内积的定义可以看出，这个运算与两个向量的角度有关系，即：

cosα=<x, y>/||x||||y||。

其中α表示向量x与y的夹角，<x, y>是x与y的内积，||x||，||y||分别是x与y的“长度”（模或范数）。虽然在高维空间中没有角度概念，但可以定义内积与向量的“长度”，从而利用上面的关系式来定义两个向量的“夹角”，可以看到x与y垂直（夹角为π/2）的充要条件是它们的内积等于0。利用施密特正交化过程可以将任意一组基底变成正交基（直角坐标系），通过这个正交基，空间中的几何问题可以代数化，这正是解析几何的基本思想。现在很多教材将解析几何与线性代数合二而一并不是什么创新，它们本来就是血脉相承的。

有了从平面与三维空间中角度概念到高维空间的推广就不难理解为什么要在更一般的向量空间中定义内积了。就内积定义本身而言，没有什么令人费解之处，我们只要将有限维空间中内积的概念抽象出来便可以得到一般空间中的内积概念，换句话说，完全可以通过公理化的方法来定义内积：

定义：假设X是复数域（或实数域）上的线性空间，<. , .>是X×X到复数域C的映射，如果它满足：

（1）<x, x>≥0，且<x, x>=0当且仅当x=0；

（2）<x+y，z>=<x，z>+<y，z>，x, y, z∈X；

（3）<αx, y>=α<x, y>，α∈C，x，y∈X；

（4）<x，y>=bar{<y，x>}，x, y∈X；

则称<. , .>为X上的内积，（X，<. , .>）称为复数域上的内积空间。

    有了内积的概念，自然知道如何定义两个向量的直交与正交概念，不过事情远没有解决，内积空间是否完备？如何完备化？内积空间与赋范空间有什么关系？如何定义空间的正交基？是否每个内积空间中都能找到正交基？欲知答案如何，且听下回分解。