这学期讲授“泛函分析”课程，顺便整理一下讲课笔记，不过我的笔记与标准的备课笔记有所不同。标准的备课笔记比标准的教材多了些“讲课内容、目的要求、难点重点、练习”等的罗列，如果有人想看我的备课笔记，一定会觉得我的备课笔记很不地道，有一次我对当时的教务处长说：“我的备课笔记都在脑袋里”。后来想想，还是多少记点下来吧，万一哪天突发老年痴呆，记不住了咋办？只是假如要进行备课笔记大检查的话，我大概需要重新写一个才成。我还有个习惯，教学过程中有时未必完全按备课笔记进行，根据学生的实际情况甚至有即兴发挥的时候。例如，如果学生对于曾经学过的某部分内容掌握得不好，我可能会借题发挥，围绕着本节课的主题作适当的扩展。当然，这么做的代价是可能完不成本节课预定的教学内容，只好在后续课堂上做调整。

言归正传，回到泛函分析，泛函分析不仅应该是大学数学专业必修的专业课，也是很多工科研究生的必修课，这里说应该是因为有些学校数学专业并未开设泛函分析，甚至连实变函数都未列入课程设置中，这是有点不可思议的。当然有些学校只讲泛函分析不讲实变函数，在我看来，这种做法好比用钢筋混凝土将房子的框架搭起来了，却没有屋顶与围墙，成了烂尾楼，无异于一副没血没肉的骨架。没有具体的空间与算子，泛泛的介绍抽象的泛函分析很难让学生掌握其本质并学会应用。

在进入具体的内容前，老师照例应该让学生了解泛函分析的前世今生，特别是它与傅里叶分析、实变函数、微分方程、控制论乃至量子力学的关系，虽说泛函分析与量子力学关系的发现多少有点偶然，但这是数学与自然科学殊途同归的一个绝好的例子，讲授者如何能放弃？

绝大多数泛函分析教材的第一章都是介绍线性距离空间（或者度量空间），定义虽然是抽象的，但由于有有限维空间的先例，通过类比的方法，学生对这个空间定义的理解并没有多少困难，距离三公理是很直观、自然的。但是在距离空间中有两类问题是要特别注意的，第一类问题是需要熟悉一些具体的空间，因为这些具体空间是真正有意义而且会经常涉及的。一般说来，在介绍了距离空间的定义后，紧接着会列举如下一些常见的函数空间：

1、连续函数空间C([a,b])；

2、序列空间l^p、l^∞；

3、本性有界函数空间L^∞及p-方Lebesgue可积函数空间L^p；

4、有界变差函数空间V([a, b])。

其中本性有界函数空间及p-方Lebesgue可积函数空间在很多实变函数教材中就已经有所介绍，这里可以视情况决定做简单介绍还是详细讲解。特别是这些空间中序列的收敛性与微积分或实变函数中通常的收敛性之间的关系等问题是个相对复杂的问题。

第二类重要问题是抽象的距离空间中，许多在有限维空间中所熟悉的性质可能不复存在了，例如空间的完备性问题，大家在实数情形所熟悉的Cauchy原理在一般的空间中可能不再成立了。最好的例子莫过于在C([a,b])中引入两种距离，一种是d₁(f,g)=max|f(x)-g(x)|，另一种是d₂(f,g)=∫a^b|f(x)-g(x)|dx，然后考察一下在这两种距离下空间的完备性，马上会发现，按前者，空间是完备的，按后者则不然。通过这两个距离，学生可以体会到空间完备性的重要（关于空间的完备性可以先从有理数与实数域的比较开始），事实上，在诸如利用逼近方法求解方程的时候大多要求空间具有完备性，否则，精确解可能不存在。

既然空间的完备性如此重要，空间的完备化自然就成了一个重要问题，这里出现了一个在距离空间中第一个难度较大的定理：空间的完备化定理。我们可以从有理数的扩充开始，假定我们尚处于小学生水平，不知道实数是何物，只会玩分数，可我们在用圆规直尺时碰到了欧几里德时代的数学家们碰到的同样的问题：“正方形对角线的长度”。一个办法是利用数学分析中的确界理论来定义这些数，不过这一方法无法扩展到一般的距离空间，所以需要寻求新的方法。这里顺便提及，某些《数学分析》教材中在介绍实数理论时犯了一个不大不小的错误，书中证明经过分割所得到的数是个无限不循环小数，所以是无理数，请问什么叫无限不循环小数？它的严格定义是什么？中学阶段可以用这种直观的方法介绍，可既然讲到严格的实数理论，岂能如此不严谨？所谓完备性就是让Cauchy列都有极限，如果Cauchy列都有极限，而我们又不知道这个极限为何物，不妨把所有的由有理数构成的Cauchy列放在一起，构成一个集合，如果按通项对应作加法运算，不难看到这个集合构成一个线性空间，关键问题是如何在这个集合中定义距离，以及搞清楚原来的空间与这个空间之间的关系。把这些问题弄清楚了后，你会发现这个由Cauchy列构成的空间正是有理数的完备化空间。直观地讲，其实就是将有理数构成的每一个Cauchy列与一个实数相对应，换句话说，每个Cauchy列代表了一个实数，反之，每个实数可以对应一个有理数构成的Cauchy列，不过有个细节性的问题需要注意，不同的Cauchy列可能对应同一个实数，想一想，如何解决这个问题？

将抽象距离空间的完备化方法运用到有理数的扩充比直接介绍一般空间的完备化要直观得多，当然，这里存在一个逻辑上的问题，两个Cauchy列之间的“距离”可能是个无理数，但是这不妨碍对思想方法的领悟。主讲者不妨试试这个方法，也许你的学生会觉得完备化的思想方法原来并没有想象的那么困难。