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为什么我不建议高一学导数? 精选

已有 8460 次阅读 2023-2-16 08:11 |个人分类:数学|系统分类:教学心得

    从目前的高中教材编写来看,高一必修第一册学习函数的单调性,但是到高二(有的学校安排在高二上,有的学校在高二下)才学习导数。我认为这个安排是合理的。我不建议给高一学生讲导数。虽然高一讲了导数,学生判断函数的单调性就会非常容易,解题的目的能立刻实现,但我认为弊大于利,其理由如下:

1. 学生完全不理解导数方法成立的原因。

    我一贯是反对学生在完全不理解一种方法成立原因的条件下,强行记忆一种方法解题的。高一的学生对直线的斜率概念尚不熟悉,怎么可能理解导数的几何意义?高二用导数符号判断函数单调性,没有给出严格证明,是借助导数的几何意义给出解释的。这虽然不够严格,但对于学生理解还是大有帮助的,学生能够接受导数判断单调性的方法。高一学生则基础知识和思维能力均不够。事实上,人教版教材恰恰是在给出函数单调性定义之后,顺带给出了直线斜率和函数平均变化率的定义。这正是在为后面做铺垫。

2. 必要的代数变形训练不可或缺。

    虽然用函数单调性定义直接判断函数的单调性,会比导数方法繁琐很多,对代数变形的能力要求很高。但我恰恰认为,对于刚刚升入高中的学生来说,必要的代数变形训练是不可或缺的。高中对学生代数变形能力的要求远远高于初中,高一一开始正是一个适应阶段,学生应该借助这个梯子爬上来。而且教材上所选例题和习题,只是要求用定义证明一次函数,二次函数,反比例函数的单调性,最高要求到y=根号x的单调性。这些证明只需要几种常见代数式的基本变形方法,谈不上什么技巧,并不是给学生增加负担。

3. 一些重要的一般性结论需要依赖单调性定义得到证明。

    举个简单的例子:如果函数f(x), g(x)都在区间I上单调递增,那么函数f(x)+g(x)也在区间I上单调递增。这条结论非常常用,用定义证明也很简单。但是如果非要用导数,那就出问题了。首先,f(x), g(x)一定可导吗?其次,即使假设f(x), g(x)都可导,由f(x), g(x)都在区间I上单调递增,那么x属于I时,f'(x)>=0, g'(x)>=0, 所以f'(x)+g'(x)>=0,但是由此不能得到f(x)+g(x)在I上单调递增啊!

    确切地说,假设f(x)在区间I上可导,那么f(x)在I上递增的一个必要条件是f'(x)>=0,一个充分条件是f'(x)>0,但是充分必要条件是什么,高中阶段没有学。当然大学阶段会学充分必要条件。如果这个例子需要给出严格证明,都就要用到充分必要条件。证明过程显然比直接用定义啰嗦。

4. 导数只能用于判断函数在区间上的单调性。

    如果f(x)在区间I上可导,且f'(x)>0,那么f(x)在I上递增。其中“区间”二字是不能去掉的。(根源是因为拉格朗日中值定理要求在区间上均有定义且可导)但是在实际问题中我们需要关注f(x)在更一般集合中的单调性。高中教学有一个难点:反比例函数y=1/x在(-无穷大,0)和(0,+无穷大)上是减函数。但是说y=1/x在(-无穷大,0)并(0,+无穷大)上就是错的。可是为什么是错的?首先我们必须强调函数的单调性未必是函数在一个区间上单调,可以说函数在更一般的集合上单调。因此反驳y=1/x在(-无穷大,0)并(0,+无穷大)上是减函数才有定义作为依据。(否则这句话本身都没有意义)而反驳这个命题,必须依赖单调性定义,而不是导数。



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