众所周知，数学学科采用公理化方法。而且公理化方法对人类文明的其他领域也产生了重大影响。本文试图说明以下两个问题：1. 公理化方法为什么重要？2. 过度强调公理化又有哪些弊端？

    首先要强调，数学并不天然地与公理化相联系。除了自古希腊传承下来的数学以外，其他文明体所拥有的数学都没有出现证明，更没有出现公理化。公理化方法本就与古希腊文明用理性的态度追求纯粹理论直接相关。

    公理化思想最早由亚里士多德提出。他认为：“我们不仅主张知识是可能的，而且认为还存在着一种知识的本原。我们借助它去认识终极真理。”亚里士多德总结了古代积累起来的逻辑知识，把完全三段论作为公理推导出其他19种格式的三段论法，形成历史上第一个成文的公理系统。

    欧几里得总结了古代流传下来的大量几何材料和该时代所产生的几何知识，使之系统化而成为一个严密完整的逻辑系统，体现在他的《几何原本》中。它奠定了数学必须按照逻辑要求论述其规律的基础，开始了数学延续几千年的文化传统。

    《几何原本》中存在没有明确表述而偷偷使用的公理。到19世纪末20世纪初，数学公理化运动蓬勃发展。数学家希尔伯特被誉为现代数学中公理化方法的奠基人。到20世纪初，数学公理化运动最终完成。

1. 公理化方法为什么重要？

    很多人可能认为公理化是为了严谨。当然公理化确实保证了严谨。但在我看来，这并不是公理化的最主要价值。我认为公理化的最主要价值是系统化。实现公理化之后，知识就不再以零散的形式出现。知识与知识是有联系的，这种联系通过严格证明的形式得以直白地显现。知识与知识的地位也不尽相同，有的更为本源，有的则相对细枝末节。通过公理化，人类不仅知道自己知道了什么，还对自己知道的东西有了更深入的理解，知道的程度大大加深。没有出现公理化的文明体虽然也产生了数学，也会在生产生活中有意识地运用数学，但是深度不够，后劲不足。

2. 过度强调公理化的弊端。

    虽然数学是要公理化的，但是学的时候不能从头学起，而总是从半截学起。或者说，把某些定理作为公理，从学习角度看是适当的。

    例如：实数集的有上界子集必有上确界。学习微积分的时候，对此都不加证明地予以接受。因为这条结论几何意义高度直观，学习者直接接受它作为基本事实也没什么困难，不大会提出质疑。在此基础上再证明单调有界数列必有极限，建立极限理论。而单调有界数列必有极限这条结论相对就没那么直观，如果不证明直接接受的话，会让人不太舒服。

    即使是数学类专业的学生，学数学分析也都是先承认实数集的有上界子集必有上确界，到大二的时候再学实数理论把它给证了。如果大一一上来就搞什么实数理论，虽然根基严谨，但是把数学分析的主题给冲淡了，学生可能也就没什么兴趣去学数学分析了。

    再如，对三角函数建立微积分理论，都是先从中学学的正弦和余弦的几何意义出发，先证基本不等式：x是锐角时，sinx<x<tanx，然后推重要极限，再推导数公式。万事俱备之后，才推导sinx和cosx的幂级数展开。整个推导过程的基础是正弦和余弦的几何意义，依赖于平面几何的公理体系。当然较真的人会说现代数学不能依赖于平面几何的公理体系，说正弦和余弦的严格定义需要借助幂级数。这么说倒也没错。但是只需要学完之后再提一句：正弦和余弦可以借助幂级数定义，可以以此为基础对三角函数建立微积分理论，可以不依赖于平面几何的公理体系。提这么一句就足够了。如果真的上来就把幂级数作为正弦和余弦的定义，以此为基础建立三角函数的微积分理论，那学习者可就相当难受了！