数学美与数学学习方法

                                                                                           单治超

                                                                                           北京大学附属中学

序言：

         本文仅代表个人观点，并不具有权威性，也不具有学术性，但的确是我多年来关于数学和数学学习的阅读，感悟，思考后产生的想法。我相信本文还是能够对读者有所帮助。

         本文撰写的主要受众是高中学生。

一、数学美

         以前一位老师对我说：他曾经问学生数学是什么？有一位学生回答道：数学就是老师用来刁难学生给学生制造痛苦的工具。这个回答令人深感遗憾。的确有人喜欢数学，有人讨厌数学，有人既谈不上喜欢也谈不上讨厌而只是把它当成换取功利的工具。每个人都有喜欢或不喜欢甚至讨厌数学的自由。但是作为数学老师，发自内心的说还是希望学生能够喜欢数学，体验到数学之美。

         关于数学之美，很多名家早已发表过种种高见。我无意摘录名言警句，更愿意谈谈个人的感悟。

1. 数学的真理性

         任何学科都以追求真理作为目的之一。没听说哪个学科是追求谬误的。但是数学的真理性相对其他学科还是有自己的特点。其他学科的知识可能随着人类认识的逐渐深入而推翻已有的结论。（当然旧的结论也不是完全错误，只是可以解释的现象具有局限性）而数学在发展过程中，没有过去正确的结论在后来被推翻，被改进的说法。（当然如果过去本来就错误的结论，被推翻则是正常的）即使非欧几何在广义相对论中的应用，也只能说明欧氏几何在解释物理现象时具有局限性，而不是欧氏几何本身有问题。希尔伯特写《几何基础》，实数理论实现公理化，也都是让旧的结论建立在更稳固大厦的基础上，并没有改变旧的结论。物理学家建立各种理论，需要用实验来支撑，当实验结果与理论发生冲突时，他们会考虑实验是不是没做好，理论是不是不完善，但是绝不会质疑所使用数学工具的正确性。数学真理具有永恒性。人类探索数学真理的过程，是在旧的数学大厦中一层层向上堆砌，（也有少量工作是稳固，这个工作已经完成了）而无需“装修”。

2. 数学的严谨性

         任何学科都有严谨性的要求。没有哪个学科可以容忍胡说八道，或者随意罗列结论。逻辑适用于所有学科。但是数学对严谨性的要求高于其他所有学科。数学的公理是明确的。解决数学问题最后的呈现形式必须严格遵守演绎推理的推理准则。数学的严谨性确保我们在检查结果是否正确时有统一的标准，而且能够准确的找到出错的时候到底错在哪，不同人之间进行交流时也可以很快达成共识，无需过多的口舌之争。

3. 数学的抽象性

         数学是高度抽象的。即使初中所学相对直观的平面几何，其实抽象程度也已经不低。我们永远不可能做到完整画出一条直线，直线的概念已经具有抽象性。高中数学对代数变形的要求很高，抽象性进一步增强。未来大家到大学继续深入学习，所学数学会越来越抽象。抽象无疑给数学学习增加了难度，可能也会成为一部分人不喜欢数学的原因。但是我仍把抽象性归结为数学美的重要组成部分，因为抽象性可以换取普遍性。函数的单调性概念是抽象的，但是现实中很多实际问题可以归结为函数的单调性：例如气温随时间的变化是上升还是下降，某个物体随时间的变化是离我们越远还是越近，我们沿着一条路行走是越来越高还是越来越低。研究这些问题时我们可以统统抛弃物理意义，完全基于数学推导。大家已经接触过的不少物理，化学题就是在考查单调性，而其中函数的解析式比较简单（一次函数，反比例函数），所以基于解析式直接就得到结论了。解析式的来源当然要基于物理和化学的公式，但是最后得到单调性这一步，不依赖于前面的步骤，是完全数学化的。

4. 数学应用的广泛性

         上一段的讨论中已经涉及这个问题。不仅传统的物理，化学，生物，计算机等理工科学科需要用到数学。甚至传统的社会科学和人文学科都开始广泛运用数学。即使历史学这种非常“文科”的学问，在去假存真，辨伪去妄的过程中也开始运用数学。

         正如华罗庚先生所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用到数学。”

         华罗庚先生已故多年。如果他仍健在，我想这段话还可以变长许多。

5. 数学的自由性

         数学的自由性与前文所述数学的抽象性密不可分。实验科学建立的理论也可以很抽象，但理论再抽象，也必须接受实验的检验。而数学是可以脱离现实世界而独立存在的。数学只接受逻辑的检验。这就意味着在研究数学问题的过程中，可以任意引入新概念，任意引入新方法，这些新概念和新方法可以在现实中完全没有对应物。世界知名数学家陶哲轩曾在他的著作《实分析》中写道：数学的结论常常是有实际意义的，但是中间推导过程常常是没有实际意义的。数学的自由性，使得人类的创造力可以得到最大程度的发挥。在人类所有学科当中，数学能够走得最为深入，与此密切相关。

6. 数学能够帮助我们洞察现象背后的本质

         在牛顿力学创立之前，人类在物体的运动，天体的运行方面已经积累了很多实验数据，也已经建立了相当深刻的理论（例如开普勒三大定律）。但是牛顿三大定律和万有引力定律比开普勒三大定律更为本质，因为基于牛顿三大定律和万有引力定律进行数学推导可以得到开普勒三大定律。后来电磁学的发展也是如此：基于麦克斯韦方程进行数学推导可以得出已有的全部电磁学结果，也预言了电磁波的存在。光学当中泊松基于菲涅尔定律预测了泊松亮斑的存在性（尽管他的初衷是想驳斥菲涅尔定律）。

         数学让我们能够整合已有的对宇宙的认知，让我们看到现象背后更为本质性的东西，这对人类文明的贡献不可限量。

二、数学学习方法

         随着我们数学学习的越发深入，遇到的困难自然会越来越多。（这是很正常的事情，如果越学越简单还有什么意思？）过去奏效的学习方法，可能以后就不那么奏效了。为了让大家的数学学习更为顺利，我提出几条数学学习的建议。

1. 要理清数学知识的来龙去脉

         前文所说，数学是讲逻辑的，而且逻辑是高度严谨的。所以数学概念，数学定理之间具有紧密的联系。我在数学教学过程中一直高度重视定理本身的证明，希望学生“不仅知其然，而且知其所以然”。我以高中立体几何部分的学习作为实例：立体几何中关于平行和垂直有很多判定定理和性质定理，这些定理都是基于平面的三条基本事实基础上展开的，而且彼此之间也有密切的联系。在学完立体几何这一章之后，你能独立完成所有定理的证明吗？如果能，我相信你在立体几何考试中至少可以得90分。

         理清数学知识的来龙去脉，一个好的方法就是过电影。在你坐地铁或者坐公交的时候，想一想今天数学课学了哪些概念和定理？每条定理是怎么证的？不借助纸笔而能够把这些问题想清，对你的要求更高，但是帮助也更大。

2. 要注意书写的规范性

         有的同学做数学题，只是随便写几个式子，基本见不到几个汉字，这是绝对不行的。一来高考需要你写完整的步骤，不写步骤必然扣分。二来步骤写不好，通常并不是你不愿意写好，而是你根本没有能力写好。你没有能力写好步骤，就说明你脑子里没有把问题想清楚，不知道哪些步骤是关键性的必须写的，哪些步骤是细枝末节可以简写甚至省略。数学的书写有很强的交际功能，写好步骤也便于他人理解你的思想。不好好写步骤的学生，不会受到老师的青睐。

3. 要打好基础，不要幻想一步登天

         数学问题有难易之分，但是对基础题绝不能予以轻视。基础题，中档题，难题各有各自的功能。基础题是让你熟悉学过的知识和方法，中档题让你综合运用学过的知识和方法，难题则需要一点奇思妙想。这就像台阶一样，你需要一步一步的爬，最后才能爬得更高。幻想一步登天的结果就是爬不上去，摔得稀碎。有的同学瞧不起基础题，只做难题，难题做不出来就去看答案，把答案的逻辑梳理一遍，把方法背下来，自以为有所长进。这种方法很不可取。背是最没本事的做法。一步步稳扎稳打，你能解决的难题才会越来越多，而且即使真的做不出，也不至于毫无想法，而是有一点点地方没打通，这时再去看答案，会有一种顿悟的感觉，也根本不用刻意去背答案了。

4. 要重视国家教材

       国家教材是由国内最顶尖专家学者苦心孤诣编纂而成，其权威性不言而喻。每个概念和定理的表述，每道例题，练习题，习题的选取，A组，B组，C组习题的划分，都蕴含着编书人的心血。各类教学辅导书，校本教材，质量是无法与国家教材比肩的。所以教学习题应该全刷。（也许某些基础题对于很多同学来说可能就是秒杀，但是教材通过基础题的选取揭示了什么是最基础最底层的东西）

         把国家教材甩在一边，而把教学辅导书，校本教材奉为圭臬，是舍本逐末的做法。

5. 要重视改错

         作业和考试中做错题，说明自己的理解还有不到位的地方。改错的重要性甚至不亚于第一遍做。但是很多同学对改错的重视程度不够，抄袭老师提供的答案，以为每一步的逻辑捋清了就算学会了。我再次重申：捋清答案的逻辑绝不意味着你学会了。对待改错，你应该在看完答案后，自己独立再做一遍。如果发现独立做不出来，那就再看一遍答案，再独立做。总之，最后一定要能够独立做出，才算把这道题目学会了。

6. 要养成把问题一般化的习惯

         把问题一般化，例如把某个条件去掉，或者把某个常数替换为变量，此时考虑旧的方法还适不适用。如果适用，那说明被去掉的条件或者被替换的常数不是本质的，其他条件是本质的；如果不适用，说明被去掉的条件或者被替换的常数是本质的。不管是以上哪种情况，都有助于你发现问题的本质。

7. 要提高计算的准确度，学会检查

         计算能力是数学所要训练的一项重要能力。而算错数是每个人都难以避免的。这时检查就显得非常重要。检查的方法很多，常见的有以下几种：（1）算两次：例如算两个两位数的乘法，正着算一次，再把两个数交换顺序算一次，如果得数相同，就有极大概率是算对了；（2）特殊值检查：涉及式的变形，用特殊值代入，如果代入几个特殊值等式都成立，这个变形很可能就做对了；（3）利用等价条件检查：例如检查一元二次方程是不是解对了，可以用韦达定理，如果两根满足韦达定理，那么就一定解对了。

         以上就是我个人对于数学美和数学学习方法的一点看法。希望能够对读者，特别是高中学生有所帮助。也欢迎读者批评指正，提出修改或补充的建议。