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球面引力波

已有 324 次阅读 2026-8-23 11:53 |系统分类:科研笔记

现在我们考察满足光速不变的球面引力波。在球对称的静态情况下，满足光速不变要求的时空线元为

${ds}^{2}=-(1-.frac {2GM} {l}){dt}^{2}+(1-.frac {2GM} {l}){dr}^{2}+{l}^{2}({d.theta }^{2}+{sin}^{2}.theta {d.phi }^{2}).,$ $（1）$

$其中., l., =l(r)., 由隐函数., r=l+2GMln(l-2GM)., +C., 决定，C是一积分常数$

$由l在天体表面处的连续性决定，弱场近似下C=.frac {7GM} {6}-2GMln{r}_{0},., ., {r}_{0}是天体半径$

$利用., x.to .infty ., 时.frac {lnx} {x}=0，.frac {C} {x}=0,., 可知无限远处l=r,., ., 弱场近似下l.approx r$

$（1）是., t,., r,., .theta ,., .phi ., 坐标系满足真空场方程{R}_{.mu .nu }=0., 的解，详细求解过程参考本人的论文$

$这里的., t,., r,., .theta ,.phi ., 就是通常的球坐标。为了决定球面波解，我们引进坐标变换$

坐标变换之所以适应用于广义相对论，是因为变换后的度规仍是场方程的解，为此引入

$r=r'+GMsin(kt'-kr'),., ., t=t'-GMsin(kt'-kr')., ,., ., 代入（1）得$

${ds}^{2}=-(1-{.frac {2GM} {l}})[(1-2GMkcos(kt'-kr')]{dt'}^{2}+(1-.frac {2GM} {l})[1-2GMkcos(kt'-kr')]{dr'}^{2}$

$+{l}^{2}({d.theta }^{2}+{sin}^{2}.theta {d.phi }^{2})$ $(2)$

$这时., r'+GMsin(kt'-kr')=l+2GM(l-2GM)., +C,., 由此解出., l$

$弱场近似下l=r'+GMsin(kt'-kr')-2GMln[r'-2GM+GMsin(kt'-kr')]-C$

$(2)显然是., t',., r'., ,.theta ,., .phi 坐标系满足真空场方程{R}_{.mu .nu }=0., 的解.$

$现在我们把t',., r'., ,., .theta ,., .phi ., 当作独立的坐标，并把撇号去掉，那么就得到., t,., r,., .theta ,.phi$

坐标系异于（1）的解，这个解代表震荡源的引力波，即

${ds}^{2}=-(1-.frac {2GM} {l})[1-2GMkcos(kt-kr)]{dt}^{2}+(1-.frac {2GM} {l})[1-2GMkcos(kt-kr)]{dr}^{2}$

${l}^{2}({d.theta }^{2}+{sin}^{2}.theta {d.phi }^{2})$ $(3)$

$其中l=l(r,t)由r+GMsin(kt-kr)=l+2GMln(l-2GM)+C决定$

$弱场近似下l=r+GMsin(kr-kr)-2GMln[r+GMsin(kr-kr)-2GM]-C$

$C=.frac {7GM} {6}-2GMln{r}_{0}',., ., ., {r}_{0}'., 是天体半径的平均值$ $k=0时（3）回到静态解（1）。由（3）决定的$

$沿径向运动的测地方程., .frac {{d}^{2}r} {{dt}^{2}}+{.Gamma }^{1}_{.mu .nu }.frac {{dx}^{.mu }} {dt}.frac {{dx}^{.nu }} {dt}-{.Gamma }^{0}_{.mu .nu }.frac {dr} {dt}.frac {{dx}^{.mu }} {dt}.frac {{dx}^{.nu }} {dt}=0,., ., 代入数据得$

$.frac {{d}^{2}r} {{dt}^{2}}+.frac {1} {2}{g}^{11}.frac {.partial {g}_{11}} {.partial r}-.frac {1} {2}{g}^{11}.frac {{.partial g}_{11}} {.partial r}{v}^{2}+.frac {1} {2}{g}^{11}.frac {{.partial g}_{11}} {.partial t}v-.frac {1} {2}{g}^{11}.frac {{.partial g}_{11}} {.partial t}{v}^{3}=0$

$其中，{g}_{00}=-{g}_{11}=-(1-.frac {2GM} {l})[1-2GMkcos(kt-kr)]，., {g}^{11}=.frac {1} {{g}_{11}}，{g}^{00}=.frac {1} {{g}_{00}}$

$当v=.pm 1时，加速度为零，代表光速是极限速度，对于普通粒子向外与向内$

$运动的加速度有所不同$

值得说明的是按照别克霍夫（Birkhoff）定理不能预言球面引力波，该定理是在设定l=r 的情况出现的，认为全部质量如同集中球心一样，度规只能是静态的，具有一定的片面性。本文给出震荡源的球面引力波解。

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