5.关于麦克斯韦方程组的建立.doc

麦克斯韦电磁场理论是十九世纪物理学中最伟大的成就之一，是继牛顿力学之后物理学史上又一次划时代的伟大贡献。麦克斯韦全面总结了电磁学研究的成果。并在此基础上提出了“涡旋电场”和“位移电流”的假说，建立了完整的电磁理论体系，不仅科学地预言了电磁波的存在。而且揭示了光、电、磁现象的内在联系及统一性，完成了物理学的又一次大综合。他的理论成果为现代无线电电子工业奠定了理论基础，麦克斯韦方程组不仅揭示了电磁场的运动规律。更揭示了电磁场可以独立于电荷之外单独存在，这样就加深了我们对电磁场物质性的认识。

麦克斯韦首先从论述力线着手，初步建立起电与磁之间的数学关系。1855年，他发表了第一篇电磁学论文《论法拉第的力线》。在这篇论文中，用数学语言表述了法拉第的电紧张态和力线概念，引进了感生电场概念，推导出了感生电场与变化磁场的关系。

1862年他发表了第二篇论文《论物理力线》，不但进一步发展了法拉第的思想，扩充到磁场变化产生电场，而且得到了新的结果：电场变化产生磁场。由此预言了电磁波的存在，并证明了这种波的速度等于光速，揭示了光的电磁本质。这篇文章包括了麦克斯韦电磁理论研究的主要成果。

1864年他的第三篇论文《磁场的动力学理》，从几个基本实验事实出发，运用场论的观点，引进了位移电流概念，按照电磁学的基本原理(高斯定理、电荷守恒定律)推导出全电流定理，最后建立起电磁场的基本方程。

麦克斯韦在总结库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等前人的一系列发现和实验成果的基础上。结合自己提出的涡旋电场和位移电流的概念，建立了第一个完整的电磁理论体系。这个重要的研究结果以论文的形式发表在1865年的英国皇家学会的会报上。论文中列出了最初形式的方程组，由20个等式和20个变量组成，包括麦克斯韦方程组的分量形式。

一个闭合回路固定在变化的磁场中，则穿过闭合回路的磁通量就要发生变化。根据法拉第电磁感应定律，闭合回路中要产生感应电动势。因而在闭合回路中，必定存在一种非静电性电场。

麦克斯韦对这种情况的电磁感应现象作出如下假设：任何变化的磁场在它周围空间里都要产生一种非静电性的电场，叫做感生电场，感生电场的场强用符号表示。感生电场与静电场有相同处也有不同处。它们相同处就是对场中的电荷都施以力的作用。而不同处是：（1） 激发的原因不同，静电场是由静电荷激发的，而感生电场则是由变化磁场所激发：（2）静电场的电场线起源于正电荷，终止于负电荷，静电场是势场，而感生电场的电场线则是闭合的，其方向与变化磁场的关系满足左旋法则，因此感生电场不是势场而是涡旋场。正是由于涡旋电场的存在，才在闭合回路中产生感生电动势，其大小等于把单位正电荷沿任意闭合回路移动一周时，感生电场所作的功，表示为：

                  式(3-1)

应当指出：法拉第建立的电磁感应定律，只适用于由导体构成的回路，而根据麦克斯韦关于感生电场的假设，电磁感应定律有更深刻的意义，即不管有无导体构成闭合回路，也不管回路是在真空中还是在介质中，式(1)都是适用的。如果有闭合的导体回路放人该感生电场中，感生电场就迫使导体中自由电荷作宏观运动，从而显示出感生电流；如果导体回路不存在，只不过没有感生电流而已，但感生电场还是存在的。从式(3-1)还可看出：感生电场的环流一般不为零，所以感生电场是涡旋场(又叫涡旋电场)。

位移电流概念是麦克斯韦在建立电磁场理论过程中提出的重要假设。它表明，磁砀不仅可以由电流产生，变化的电场也可以产生磁场。位移电流和有旋电场的概念从两个方面深刻而完整地揭示了电场和磁场之间的内在联系和相互依存，即电磁场是统一的不可分割的整体。

传导电流和位移电流都能产生磁场，两种磁场都能对其中的电流或运动电荷施加磁力，两种磁场的性质也相同，即都是有旋无源的。但是，两种磁场也有区别，除了产生原因不同外，由于位移电流(确切地说是位移电流中由电场变化引起的真空位移电流部分)并不表示电荷在空间的运动，所以它与传导电流不同，没有热效应和化学效应，只有磁效应。空间的总磁场是传导电流和位移电流产生的磁场之和，是无源有旋的矢量场，其磁力线闭合。

位移电流假设的提出，消除了把安培环路定理从恒定情形推广到变化情形时遇到的矛盾和困难，使麦克斯韦得以建立完备的电磁场方程组。麦克斯韦方程组关于电磁波等理论预言实验的证实，不仅具有深刻的理论意义和巨大的应用价值，也证明了位移电流假设的正确性。

   ⑴. 麦克斯韦方程组的积分形式

    在电磁学中我们知道，一个点电荷发出的电通量总是正比于，与附近有没有其他电荷存在无关。由库仑定律可以推出关于电通量的高斯定理：

                                             式(3-2)

   因静电场的电场线分布没有旋涡状结构，因而可推导静电场是无旋的。

   1831年法拉第发现当磁场发生变化时，附近闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比，可表示为：

                         式(3-3)

感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此电磁应定律可写为：

                     式(3-4)

若回路是空间中的一条固定回路，则式(3-4)中对的全微分可代为偏微分：

                     式(3-5)

下面研究电流和磁场的相互作用。

实验指出，一个电流元 在磁场中所受的力可以表为：

                             式(3-6)

恒定电流激发磁场的规律由毕奥一萨伐尔定律给出。设为源点上的电流密度，为由到场点的距离，则场点上的磁感应强度为：

                式(3-7)

式（3-7）中为真空磁导率，积分遍及电流分布区域。细导线上恒定电流激发磁场的毕奥一萨伐尔定律写为：

                                     式(3-8)

根据安培环路定律，对于连续电流分布，在计算磁场沿回路的环量时，只需考虑通过以为边界的曲面的电流，在以外流过的电流没有贡献。因此，环路定律表为：

                式(3-9)

上面研究了变化磁场激发电场，由麦克斯韦位移电流假设的结论变化电场激发磁场可推广得：

           式(3-10)

由电磁学的知识，我们知道由电流激发的磁感应线总是闭和曲线，因此，磁感应强度是无源场，表示无源性的积分形式是对任何闭和曲面的总通量为零，即利用磁场高斯定理得：

                            式(3-11)

由上得出麦克斯韦方程组的积分形式：

              式(3-12)

     由麦克斯韦方程组的积分形式和数学公式：

                              式(3-13)

      推导出微分形式如下：

                                      式(3-14)

    值得注意的是，在使用积分形式时，当有介质时需要补充三个描述介质性质的方程式，对于各向同性介质来说，有：

                                                  式(3-15)

 式（3-15） 中 、和分别是介质的相对介电常数，相对磁导率和电导率

是欧姆定律的微分形式。

       在本文前面，已经详尽的介绍了麦克斯韦建立的电磁场方程组的历史过程。在麦克斯韦之后，有些物理学家着手研究从别的途径建立麦克斯韦方程组的可能性。他们所取得的成果，揭示了有关基本物理规律之间的深刻内在联系，同时也有利于加深对麦克斯韦方程组的理解。

     下面讨论建立麦克斯韦方程组的另外两种方法。它们是：⑴ 根据能量原理和近距作用原理建立麦克斯韦方程组；⑵ 根据库伦定律和洛仑兹变换建立麦克斯韦方程组；这两种建立麦克斯韦方程组的方法虽然并未揭示新的关系，而且推演较为复杂，但是，通过有关的讨论，可以使我们对麦克斯韦方程组与能源、近距作用原理、相对论的洛仑兹变换等基本物理规律之间的深刻内在联系和相互制约关系有具体的了解，这是大有好处的。

       能量守恒原理是自然界普遍遵循的一条基本原理。通常在电动力学中，根据麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式，可以推导出电磁场的能量密度和能流密度的具体表达式，从而说明电磁现象也同样遵从能量守恒原理。然而，也可以从近距作用原理出发，认为电磁场本身具有能量和能流，进而根据能量原理建立麦克斯韦方程组。

   由于试验电荷所受的电场力还与试验电荷的电量有关，因此，要确定电场强度的大小还需要作进一步的规定。与通常规定试验电荷具有单位电量（正电荷）的办法不同，我们可以根据电场具有一定的能量来确定电场强度的大小。由于电场对置于其中的电荷有作用力，能够使电荷运动，根据近距作用原理，电荷运动获得的能量必定来自电场，这也就说明电场具有一定的能量。单位体积内的电场能量叫做电能密度，表示为。显然，当电场为零时，电能密度应为零；另外，电能密度应该总是正的。于是，我们可以把电能密度和与之相关的电场强度的大小 联系起来，用前者来定义后者，规定两者的关系即电能密度的表示式为：

                                              式(4-1)

式中是电场强度的大小，为比例系数，的数值取决于空间介质的性质以及测量单位的选择。

磁场与电场有类似之处，但性质不同，产生的原因也不同，磁场是由磁铁、电流或其他产生的。现在我们根据磁场具有能量来确定磁场强度的大小。把单位体积内的磁场能量叫做磁能密度，表示为。显然，当磁场为零时磁能密度应为零，另外，磁能密度也应该总是正的。于是，我们可以把磁能密度和与之相关的磁场强度的大小联系起来，用前者来定义后者，规定两者的关系即磁能密度的表示式为：

                                            式(4-2)

式中为磁场强度的大小， 为比例系数， 的数值取决于空间介质的性质以及测量单位的选择。

在通常的情况下，空间同时存在着电场和磁场，空间任意一点的电磁场用

和描述，电磁场的能量密度由电能密度和磁能密度之和来确定。全部电磁过程无非就是在电磁场中发生的变化。考虑空间某一区域内电磁场变化，电磁场的变化会引起相应的电磁能量的变化。根据能量原理，这部分电磁能的变化只可能有两种途径，其一是该区域与外界有能量交换，其二是在该区域内部电磁能转化为其他形式的能量。

先考虑空间某一个区域与外界交换的电磁能。根据近距作用原理，与外界交换的电磁能量不可能是超距的，它只能通过包围该区域的界面流入该区域内或从该区域流出。为此可以定义电磁场的能流。在时间内通过面元的能量应与成正比，表为，其中为能流密度在法线方向的分量。是一个矢量，称为能流密度矢量。不难设想，电磁场的能流密度矢量 与电场强度和磁场强度有关，期间的关系应由实验得出，它是根据能量原理和近距离作用原理建立电磁场方程组的实验基础。毫无疑问，试图由一般的普遍原理得出某一领域适用的规律，必须结合描述该领域基本特征的实验规律。对于电磁场，这个实验规律就是描述与、关系的Poynting定律，它可表述为电磁场的能流密度矢量与和的矢量积成正比，令比例系数为，得

                                           式(4-3)

应该指出，在教科书中 (4-3) 式是麦克斯韦方程组从理论上导出的结果，现在则作为由能量原理和近距作用原理建立麦克斯韦方程组的实验规律和依据。

 至此，对于电磁场中的每一点，引入了三个与能量有关的量，即电能密度   、磁能密度和电磁场能流密度。这三个量的物理意义是明确的，且都与电场强度和磁场强度有关，如(4-1)式、(4-2)式、(4-3)式所示。在三个公式中涉及三个比例系数、、。对于、和这三个量，从力学测量来看，其意义是明确的，从电磁学测量来看，则还不能直接测量，因此和的测量单位尚待确定。为此，可以任意选定两个比例系数，然后根据(4-1)、(4-2)、(4-3)式把、和第三个比例系数确定下来。对于不同的单位制可以有不同的选择，在国际单位制（SI制）中。对于真空，选定，真空磁导率，第三个比例系数即真空的介电常量则需根据测量确定。

再考虑电磁场能量与其他形式能量之间转化的问题。对此，电场和磁场在性质上的差别表现出来了。电场对其中的电荷有作用力并作功，电场的能量可以转化为运动电荷的动能或运动电荷在导电介质中产生上的焦耳热。磁场有所不同，磁场对运动电荷有作用力但不作功，因此不存在类似的能量转化。于是，在时间内，在体积内，电磁场能量转化为其他形式的能量可以写为：

其中k为比例系数。为单位时间内转化为其他形式的能量密度，对于导电介质情形，与功率密度的形式相同，相当于电流密度，k相当于电导率。

以上分别考虑了电场能量、磁场能量、电磁场的能流以及转化为其他形式的能量，现在，我们可以根据能量守恒原理写出方程式了。显然，在空间任意体积内，在单位时间内电磁能量的减小，应等于通过包围体积的闭合曲面流出去的能量与在内转化为其他形式能量的总和，既有

                       式(4-4)

式中的面积分可化为体积分，又因体积是任取的，可以将能量守恒的上述积分形式化为微分形式，再将(4-1)、(4-2)、(4-3)式代入(4-4)，得：

       式(4-5)

利用矢量分析公式

把 (4-5) 式化为

由于此处讨论的是一般情况下的问题，未对电磁场作任何限制，因此，上式适用于电磁场及场源的任何情形。显然，对于或这两种情形，上式均应成立，由此得出

 引入

即可得出麦克斯韦方程组的一对旋度方程，为

                                                 式(4-6)

                                                式(4-7)

(4-6)式表明，随时间变化的磁场产生涡旋电场。(4-7)式表明，电流和随时间变化的电场产生涡旋的磁场，(4-7)式中的就是位移电流。

为了导出麦克斯韦方程组的一对散度方程，还需要用到两个基本实验事实。第一，存在着激发电场的电荷单体，即产生电场的正、负电荷可以单独存在，电荷遵从电荷守恒定律，可表为

                                               式(4-8)

式中为电荷密度, 为电流密度；第二，不存在与电荷相应的所谓磁荷单体，即不存在带单极性磁荷的粒子——磁单极子。

对(4-7)式两边取散度，因任意矢量场旋度的散度恒为零，得

把(4-8)式代入，得

积分，得

                                                   式(4-9)

式中为积分常量。可以看出，具有电荷密度的量纲。由于我们讨论的是一般情况下的问题，并未涉及某种具体的电荷分布和电场分布，因此积分常量与具体的电荷分布和电场分布无关。这样。我们可以考虑一种具体的分布，用以确定积分常量的值。设在考虑的整个空间电荷处处为零，即，则空间电场应处处为零，从而，代入（4-9）式，得出。于是，（4-9）式化为

                                                     式(4-10)

上式就是电荷激发的电场所遵从的规律，即电场的高斯定律。

对（4-6）式两边取散度，的

积分，的

                                                    式(4-11)

把(4-11)式与（4-10）式相比较，可以看出，积分常量的地位与电荷密度相当，由于不存在与电荷相对应的磁荷单体，因此，于是(4-11)式化为

                                                          式(4-12)

（4-6）、（4-7）、（4-11）、（4-12）式就是孰知的麦克斯韦电磁场方程组。

以上我们根据能量原理和近距作用原理建立了麦克斯韦方程组。在建立过程中，虽然不需要库仑定律、安培定律和法拉第电磁感应定律，但是仍然需要关于能流的Poynting定律、电荷守恒定律以及不存在磁荷单体（即磁单极子）的实验事实。在这种建立麦克斯韦方程组的方法中，场的观点即近距作用的观点从一开始就作为基本要求提出。并贯切始终，表现得更为彻底，因而更有利于加深对近距作用观点的认识和理解，

    麦克斯韦电磁场理论把全部电磁现象概括在一组方程之中，然而，应该说狭义相对论才真正完成了电与磁的统一。从狭义相对论看来。运动电荷的电磁效应是静止电荷的电效应经时空坐标变换的结果，所以，电磁现象可以从静电现象通过洛伦斯变换得到。这样，可以预料，根据静止电荷的库仑定律和洛伦斯变换，应该可以得出麦克斯韦方程组。

设点电荷固定的放在系的坐标原点。在系中，静止点电荷产生的场是静电场。根据库仑定律，在系中，与相距为处的电场强度为：

                                         式(4-13)

  根据库仑定律，容易得出静电场的高斯定律和环路定律为

                                                式(4-14)

                                                       式(4-15)

式中为电荷密度，劈形算符（即Hamilton算符）是一个矢量微分算符，定义为

设 系相对于系运动的速度为

则在系中看来，点电荷以的速度运动，除了产生电场外，还产生磁场。现在，根据洛伦斯变换导出系中的电磁场所遵循的规律。

系和系之间的洛伦斯变换为

                                           式(4-16)

式中

                                                   式(4-17)

由于洛伦斯收缩，系中的体积元与系中相应的体积元满足的关系为

由于带电体的电量与运动速度无关，即电量无相对论效应，所以电荷在系和系中是一个不变量。于是，在系和系中的电荷密度和满足的变换关系为

                                                    式(4-18)

现在讨论（4-14）式的变换。根据洛伦斯变换，有

因此，

式中

把它代入（4-14）式之中，并利用

和

得

                                式(4-19)

然而，由于在系中是静止电荷产生静电场的情形，与时间无关，因此，根据洛伦斯变换（4-16）可得，利用它并利用电荷密度的变换，容易证明(4-19)式左边的第一个方括号刚好等于，于是，可把(4-19)式分为如下两个公式：

          式(4-20)

  式(4-21)

其中用到

根据（4-20）式引入,根据（4-21）式引入,如下

                         式(4-22)

                          式(4-23)

于是，（4-20）式和（4-21）式可以写成

                                                  式(4-24)

                               式(4-25)

式中为电流密度的分量。对于由（4-22）和（4-23）式引入的和，容易证明：

                               式(4-26)

                               式(4-27)

（4-25）式、（4-26）式、（4-27）式合并为

或

                                           式(4-28)

(4-24)式和（4-28）式就是麦克斯韦方程组中的(4-10）式和（4-7）式在真空情形的结果。

再考虑的变换，分别计算旋度的三个分量，变换后得

                                   式(4-29)

                       式(4-30)

                        式(4-31)

利用由（4-22）式和（4-23）式引入和，可将（4-29）式、（4-30）式、（4-31）式合并为

                                              式(4-32)

                                                   式(4-33)

（4-32）式和（4-33）式就是麦克斯韦方程组中的（4-6）式和（4-12）式。

     以上，根据库仑定律和洛伦斯变换建立了麦克斯韦方程组。这种方法的特点是，从一开始就强调电场与磁场是紧密联系、不可分割的统一体，通过洛伦斯变换把系中的静止电场变换为相对于前者运动的系中的电场和磁场。这种方法有助于加深电磁场是统一整体的认识。

由麦克斯韦方程组可逐一说明如下，在电磁场中任一点处：

⑴ 电场强度的旋度等于该点处磁感强度变化率的负值;

⑵ 磁场强度的旋度等于该点处传到电流密度与位移电流密度的矢量和;

⑶ 电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度；

⑷ 磁场强度的散度处处等于零。

麦克斯韦方程组是一个完整的方程组，这就是说，只要给定源分布（即给定电荷的分布及其运动状态）以及初始条件和边界条件，在理论上，麦克斯韦方程组就可以唯一的确定电磁场在以后任何时刻的状态。所以麦克斯韦方程组在电磁现象中的地位就如同牛顿定律在经典力学中的地位一样.

     根据以上的讨论，麦克斯韦方程组是由在3个基本电磁实验定律（库伦定律、比奥-萨伐尔定律、法拉第电磁感应定律）的基础上及引入涡旋电场和位于电流的2个假说，而推出的。这个方程组在整个物理学中非常完整的方程.它在电磁学科学中站在很重要的地位，而且整个电磁学的核心.

⑴ 由麦克斯韦方程组可导出电荷守恒定律；

⑵ 由麦克斯韦方程组可导出电磁场波动方程；

⑶ 麦克斯韦方程组可导出电场的能量密度，定义电磁波传播的能量密度等；

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