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“哥尼斯堡”电路学(3)——理解载流子传输(试图严谨的类比)

已有 720 次阅读 2024-5-9 18:00 |个人分类:电路观点|系统分类:科研笔记

在理解了载流子、载流子容器的概念后,本节介绍载流子的传输。

在《哥尼斯堡” 电路学(1) — 认识载流子》里,介绍了仿“哥尼斯堡”城 和 仿“哥尼斯堡”电路里的5个类比概念:载流子(家庭,电荷),载流子容器(城区,导体),载流子资产(房子,导带位置)及价值(房价,电势),载流子迁移通道(两头桥,两端子元件或其串联组合)。

图1-类比概念.jpg 

在《哥尼斯堡”电路学(2)—认识载流子容器》里,介绍了载流子容器—城区和铜皮的3种参数,即容器中载流子净流入量Qn(家庭户数,电荷电量),资产价格vn(房价,电势),容器的净流入量-价格比Cn(居容,电容),得到了载流子的资产价格计算公式:

图2-容器定价公式.jpg 

接下来,介绍载流子的传输原理。

  一)传输通道及其关联参考方向

在下图的“哥尼斯堡”虚拟城市和类比电路中,连接城区的桥 和连接铜皮的元件 是载流子的传输通道。他们的一端标为“+”,另一端则标为“-”,联通两个不同的载流子容器,负责载流子的迁移。此时,将载流子从通道“+”端转移到“-”端 的方向,定义为传输通道的关联参考方向

 图3-虚拟城市与类比电路的传输通道.jpg

二)传输通道与载流子容器的关联矩阵(σn

传输通道的两端各与一个载流子容器连接。任意一个由X个容器和Y个传输通道互连构成的系统(XY是大于1的整数),其传输通道与容器的连接关系用一个关联矩阵σn描述,该关联矩阵σn的定义如下,

 图4-关联矩阵一般形式.jpg

 举例来说,“哥尼斯堡”虚拟城市和类比电路 的关联矩阵 σn 如下:

 图5-具体的格尼斯堡的关联矩阵.jpg

三)传输通道的传输流量( Qcp 和 速率 ( icp

传输通道的传输流量 记为 Qcp。载流子沿关联参考方向通过传输通道,Qcp增加,反之,Qcp 减少。相应的,流量Qcp的变化率(传输通道的速率,电路线路里的电流)记为icp,即icp = dQcp/dt

在上图虚拟城市和类比电路中,Qcp_i ( i{1,2,3,4,5,6,7})的含义是:

1)沿关联参考方向通过桥i 的家庭户数;

2)沿关联参考方向通过元件i的电荷电量。

四)载流子传输的守恒定律

    在“哥尼斯堡”虚拟城市和类比电路中,容器的净流入量与关联传输通道的流量满足守恒定律。一个容器中的净流入载流子储量(Qn)等于 输入该容器的传输通道流量(Qcp)总和 减去 输出该容器的传输通道流量(Qcp)总和,即

图6-容器物质守恒.jpg 

五)传输通道两端的价差( vcp  )

  传输通道两端所在容器的价差记为 vcp,为传输通道“+”端 所在容器价格 减去“-”端 所在容器价格。那么,所有 Y 个传输通道价差vcp 由 X 容器价格 vn 计算如下:

 图7-通道差价公式.jpg

六)传输通道内的传输开销( vEIS

   在“哥尼斯堡”虚拟城市和类比电路中,载流子通过一个传输通道,将资产(房子、导带位置)从一个容器置换到另一个容器,无需支付任何费用,但也无额外收益。资产置换的价差全部用做传输开销。

一般的,在一个由X个容器和Y个传输通道互连构成的系统里(XY是大于1的整数),载流子通过一个传输通道所需费用(资金,势能)的构成如下:

图8-传输费用一般构成.jpg 

其中vb_k的含义是

  1)内的迁移激励,按关联方向迁移获得补贴,反向则被征税;

 2)元件串联的偏置电压源,给按关联方向迁移的电荷赋能。

    Lcp_k的含义是

1)桥内抑制流出加速的收费费率,效果是抑制加速,补贴减速;

2)元件内线路的自感,其电流稳定效果符合楞次定律。

Mcp_kj的含义是

1)桥和桥之间,为了保持流速互收费费率;

2)元件和元件之间的互感

 因此,一个传输通道k,用于载流子迁移的费用(vEIS_k)是一系列支出的(Expenditures in serialEIS)的总和,全部来自两端价差(vcp_k)加上补贴(vb_k)再扣除流速控制费用后的所得。据此,所有传输通道花费的一般表达式如下, 

图9-传输通道的费用的一般表达式.jpg

七)传输通道的传输函数

   传输通道将根据所提供的花费(vEIS)调控载流子的流量(Qcp)。任意一个传输通道-j的传输函数都可以描述成如下形式的隐函数:

 图10-通道隐函数形式.jpg

具体到电路中,在电压vEIS的驱动下传输电荷Qcp的元件称为CPE(Charge-Pump-Element);典型的CPE及各自的传输函数表达式,如下图所示,

 图11-基本CPE元器件.jpg

电路里的二端子元件,就是上述基本的二端子CPE 或其串联组合;在串联组合而成的CPE各基本单元传输相同的Qcp,分摊总的电压vEIS(串联组合CPE的传输函数推导见文献[4])。

八)系统数学描述小结

至此,一个由X个载流子容器和Y个传输通道互连构成的系统(XY是大于1的整数),其运行原理可总结为:4个公式 和 1组载流子通道的传输函数:

 图12-系统综合公式.jpg

  完成电路系统的数学描述后,下一步,进行系统模型分析… (未完待续)

类比是一种本能思维模式,虽不严谨,但符合直觉,可以加快对复杂事物的理解。

电磁场通量分配模型(Electromagnetic-Flux-Distribution Model)[1]是一种以电荷和磁通为载流子,分析电路,特别是相位相关(phase-dependent)电路(如约瑟夫森结电路,相滑移结电路)的通用模型;其对应的 磁通流通图(Magnetic-Flux-Flow diagram,MFF diagram)[2][3]和电通流图(Electric-charge-flow diagram,ECF diagram)[4]是描绘电荷和磁通传输的新型交互式电路图,能帮助我们更直观地分析载流子的电磁场相互作用,加深对电路功能的理解。特别的,MFF图 以磁通为载流子,直观地诠释了 具有宏观量子效应的超导约瑟夫森结电路 的工作原理。

[1] Y. L. Wang, "An Electromagnetic-Flux-Distribution Model for Analyses of Superconducting Josephson Junction Circuits and Quantum Phase-Slip Junction Circuits," IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 32, no. 5, pp. 1-6, Aug 2022.

[2] Y. L. Wang, "Magnetic-Flux-Flow Diagrams for Design and Analysis of Josephson Junction Circuits,"  IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 33, no. 7, pp. 1-8, Oct 2023

[3] Y. L. Wang, "A general flux-Based Circuit Theory for Superconducting Josephson Junction Circuits," arXiv:2308.01693, pp. 1-35, 2023.https://doi.org/10.48550/arXiv. 2308.01693

[4] Y. L. Wang, " Electromagnetic-Field-Based Circuit Theory and Charge-Flux-Flow Diagrams," arXiv:2403.16025, pp. 1-40, 2024.https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.16025



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