浅谈我国古代数学三大镇馆之宝

武汉理工大学：刘永红

在人类的智力活动中，数学是理性艺术；而且，数学博大精深。

数学是以千年作为它的历史尺度的，比其他学科的历史都长，如，物理，生物学和医学等。实际上，我国是一块生长数学的古老大地，自公元263年以来，我国就注重计算工具的研究，成就卓著。在谈我国古代数学时，我既觉得无比自豪，又有遗憾的感觉。本文列举我国古代数学三大镇馆之宝，因为它们都万古长青，且穿越时空渗透到我们的灵魂里。

 1. 分数与ℼ

公元263年，刘微在《九章算术》把圆看成一个单位，采用割圆术，得到分数3927/1250。他说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”南北朝大数学家祖冲之，他得到的密率是355/113，是一种在1000以内表示圆周率ℼ的近似求解方法，能得到这个分数，说明他有很高的数学直觉和很强的计算能力，可惜他的求解法《缀术》失传了。这个成果领先西方一千一百年。

值得一提的是，阿基米德也用几何方法得到ℼ的值在3(10/70)与3(10/71)之间。当然，ℼ在数学中是最奇妙的常数之一，但它的意义远超出了它本身的计算。例如，ℼ出现在爱因斯坦的广义相对论中，闪闪发光。

2. 加减法则与代数结构

数学对象是各种各样的，但都要进行运算，并遵循运算法则。我国古代在解线性方程组时，就提出正负数加减法则。最早出现在《九章算术》(公元50—100前后)中，古代叫正负术。“同名相除、异名相益，正无入负之，负无入正之，其异名相除，同名相益。正无入正之，负无入负之。”在古代，我国数学就引入了负数概念，比印度(公元7世纪)、欧洲(16，17世纪)早很多。惊奇乎！自豪乎！

这一法则属于代数结构的领域，如果我国古代进一步研究相关的运算法则，说不定会产生新的学科、新的代数，成为现代数学的基石。就像19世纪末，抽象群论的建立；20世纪初，环理论的建立，诸如此类的代数结构的理论一样。然而，这些现代数学为西方所领先。值得指出的是，现代数学的重心转移到具有普遍性、统一性的理论研究上，其形式多样化、公理化。 

3. 中国剩余定理与计算机程序设计

简直不要太神了！就连老外如今谈起中国古代数学发明，对“大衍求一术”无不兴致勃勃，西方称之为中国剩余定理，这个定理最早记载于《孙子算经》中，故又称之为孙子定理。所问的是“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”。用现代数学描述是，求满足同余式组，即求正整数N，使N ≡ 2(mod 3) ≡ 3(mod 5) ≡ 2(mod 7)成立。为什么叫“求一术”？因为，计算n个数值的乘率要辗转相除到最后余数为1时才终止。这句话是把孙子定理推广n个数来解释的。严格地说，是定理就要证明，否则就是猜想或猜测。1801年，德国数学家高斯发现并证明了这个定理。可惜，我国古代数学家只追求计算，在数学研究中定理需要严格证明，还缺乏这个意识。

最重要的是，中国剩余定理这个古老的结果在计算机程序设计中找到新的应用。本来我国古代数学家用它来预测几个天文周期的共同周期，也就是研究天文循环问题。现在，用它使计算机给出比原设计更大的精确度。举例来说，假设有一个能处理15位数字的计算机，现在想要它处理30位数字。如何做呢？程序员就将一个大数用两个小的数代替，这是最简单的方式，换句话说就是在计算机上是进行编码，但会引出十分复杂的算术，尽管能够算出来，可是时间花费太大了。如果用中国古人的智慧，中国剩余定理的求解方法，既巧妙又科学。作为对比，考虑3×5编码，聪明的编码如图1，不太高明的编码如图2。因为聪明的编码对加法和乘法的基本运算在性能上保持“一致性”，这就是数学之神奇！

图1  用中国剩余定理进行编码

图2  不太高明的编码