元宇宙时代 理查德数和哥德尔数——哥德尔读后之二十一

电视机产生之后，人类就开始进入屏幕时代。而这个屏幕时代，因为计算机的出现，特别是个人计算机的出现，它似乎就在用远超寻常的速度，以技术发现为标志，从一种主流屏幕跨入另一种主流屏幕，从而形成不同的屏幕时代。

个人计算机的出现产生的是PC屏幕时代，这大概从1981年IBM推出第一台个人计算机开始。

IBM推出个人计算机

这个时代仅仅维持了14年，到1995年，网景公司开发出最早的网络浏览器，互联网由此而逐渐变成人人都能理解，并且也能使用的更为广阔的屏幕空间。这样的一个时代，应该是互联网的屏幕时代。

网景推出浏览器

这个时代同样也是不长久，仅仅过去12年，到2007年，苹果公司推出首批智能手机，这意味着苹果的智能技术又开启一个新的屏幕时代，即所谓移动屏幕时代。

苹果推出智能手机

下一个屏幕时代会是一个什么样的时代呢？欧路网页每日外刊的报道告知，下一个屏幕时代，也许就是所谓的元宇宙时代metaverse epoch。屏幕时代的快速更替，似乎让人类的视野更为超越。如同亚里士多德超越物理学而有形而上学那样，人类所面对的屏幕宇宙，还有实在宇宙，都已经满足不了许多智者的胃口。由此就有人预言，一个超越现有宇宙境界的屏幕时代，按照前两个时代的转换速度来推测，元宇宙时代很快就会到来。

宇宙也可以超越而成元宇宙，这个“元”meta符号，对于弄逻辑和弄数学的人来讲，真是太熟悉不过了。哥德尔的那篇原创论文，不就是元数学中的一个里程碑么？这个有关元宇宙屏幕时代的有趣推测，似乎在扫除浸润在哥德尔论文中的艰涩和抽象。也许，对于哥德尔元数学思考的理解，是理解这个行将到来的元宇宙时代的一把锁匙呢。

元宇宙屏幕时代的推测

接续上一篇的标号（8），为了理解标号（9），让我们超越形式体系的客体，如同现代科技超越常规宇宙将进入到可能的元宇宙那样，从形式客体领域进入到元数学领域的自然数实体，继续对于哥德尔数的探索吧。

一、理查德数与哥德尔数

理查德数的产生，是给任意一个‘’数定义‘’予以配数的结果。例如”偶数是能够被2整除的数”，这个定义由11个字组成，自然就配以数字11。由这个例举可以推展式的想象，我们有无数个有关数的定义，每个定义都有一个自然数与之对应。所以，我们就完全可能按照定义配数的大小，由小到大排成一个序列，字数相同的则依据字母顺序排列。但这些定义的数字还不全是理查德数，理查德数，它还需要满足理查德给出的条件。

这个条件也以理查德为名，称作理查德性质。这种性质就是上篇讨论关系时提到的一元谓词，一个客体作为主词，性质作为谓词的主谓句，表达一个客体自身所具备的东西。

那么，什么是理查德性质呢？因为我们是给各种数下定义，下定义的语言格式也是一个主谓句。被定义的客体就是主谓句中的主词，其后的文字就是谓词。而谓词所表示的东西，就是主词的性质。以偶数定义为例，偶数是主词，能够被2整除是谓词，这个谓词正好说明的是偶数的性质。

现在，我们把注意力从主词“偶数”切换到该定义所配的数字11，这个11是不是具有偶数所定义的性质呢？理查德这样规定：

如果给一个数定义配置的数字，恰好就具有这个定义所给定的性质，这被称为非理查德数。而如果给一个数定义配置的数字，恰好就不具有这个定义所给定的性质，这被称为理查德数。这里提到的两种性质，其中的一个否定性性质：不具有该数字定义所给定的性质，就是所谓的理查德性质。

所以，理查德数就被定义为：具有理查德性质的数。由此，那个和偶数定义配置的数字11，自然就是一个理查德数。因为，这个11，恰好满足了不具备偶数性质的条件。

数学家的想象力还在扩展，有了这个理查德性质，由它来判定一个给数定义配置的数字，它是否是理查德数呢？也就是说：如果我们给‘’理查德数的定义”给定一个配数X，那么，这个X是不是理查德数呢？

问题就出现了：

如果X是理查德数，也就是X不具备该定义表达式的性质。由此，X不是理查德数。

如果X不是理查德数，也就是X具备该定义表达式的性质。由此，X是理查德数。

由是推至不是，由不是推至是，这就是所谓的理查德悖论。

这个悖论的问题我们暂且不予讨论，哥德尔的原创论文也大都忽略有关悖论问题的细节关注。然而，哥德尔坦然认同，他关于R(q)q不可证的证明结果，则类似于理查德的这个悖论。而当我们来到哥德尔论文的核心，他证明第一不完全性定理的标号（9）之时，这个标号（9）中出现的同样是配数，即给哥德尔系统P中的基本符号，符号序列，符号序列的序列，配置相应的数字。这样一种配数的思路，自然会让人联想到理查德。理查德是给若干数定义配数，哥德尔则是给系统P的符号序列配数。如同我们把理查德的配数称作理查德数一样，哥德尔给P系统符号序列的配数，后来被称作为哥德尔数。

理查德数是依照理查德性质来判定的，那么，哥德尔数如何来判定呢？哥德尔数似乎远比理查德数复杂，我们得花更多的文字，来说明这个元数学宇宙境界的哥德尔数。

二、对应哥德尔P系统符号的哥德尔数

（一）实体与形式客体

1、算术化元数学的实体概念

解读哥德尔数，似乎有点从移动屏幕时代进入到元宇宙屏幕空间的味道。面对着这个小小的屏幕，来思考我们既在其中生活，又把它作为观察对象的客体，你想有点超越，或者说有点meta的味道来思考它，对于客体对象先做点区分还是必要的。这就用得上很有些形上色彩的范畴：实体和客体。

实体其实也是一种客体，但如果我们把客体限定在哥德尔的P系统范围之内，使用实体这个范畴就可以将P中的客体和P之外的客体区分开来。而这个P之外的客体，我们就称之为实体（entity）。这个实体，实际上是属于元数学的，或者算术化元数学的。

算术化的元数学，在克林那里也称作一般算术。这个一般算术的实体，克林使用归纳定义来描述：

第一，0₀，0₁，…,0_r是实体；

第二，对每个可接受的s而言，如果x₀，x₁，…,x_r是实体，则（x₀，x₁，…,x_r）是实体；

这里的（x₀，x₁，…,x_r）是对x₀，x₁，…,x_r等变元实施后继运算而获得的结果。

第三，只有以上1和2所给出的东西才是实体。

这就告诉我们，算术化的元数学实体就是自然数。它把自然数作为实体，然后用相仿于皮亚诺自然数公理的方式来处理这些实体。而这种处理自然数实体的方式，因为已经被定义为是一个抽象的实体系统，那么，就可以在元数学的实体和形式体系中的客体之间建立起对应。而通过这种对应，我们就能够找到形式客体中的一些特殊性质。（参见克林《元数学导论》第十章）

算术化元数学的自然数实体与形式体系的形式客体，可以对应的思路，是从哥德尔的那篇原创论文中获得的。更具体一点，称之为哥德尔数的这个客体对象，开创了算术化的元数学，它实际上就是算术化元数学中的实体对象。于是我们对于这个实体对象的下一步讨论，就自然转向形式体系的形式客体概念。

2、哥德尔系统P的形式客体概念

哥德尔的形式系统P，被称为形式客体objection。这个客体包括形式符号，形式符号的有限序列（也称作形式表达式），以及形式表达式的有限序列等等。

何谓形式客体？这是逻辑学借助数学而发展出来的一个观念。形式逻辑借助数学技巧，从莱布尼兹，布尔等人，发展到弗雷格、皮尔斯和罗素那里，形成了一个可以舍弃掉符号意义，符号只作为接受机械处理的可识别客体。这个客体系统的抽象，继而被希尔伯特等人构成为数学中的形式主义流派。这个流派强调一个理论的严格形式化，符号的意义被完全舍弃，结果就成为一个几乎完全纯粹的形式系统。对于这个形式系统的研究，则转换为超越该形式系统的元数学。由此，这个元数学的理论被称为元理论，元数学的语言被称为元语言。而那个被研究的形式系统，相应地就称之为对象理论，对象理论使用的语言自然就是对象语言。所以，所谓形式客体，恰恰就是由元数学来进行研究的形式系统。

这个形式系统，在《元数学导论》的第四章有较为详细的论述，我摘其有关形式系统，也就是形式客体的一段文字，可知这个概念的要义：

从元理论的角度看，对象理论并不是我们通常所理解的那一种理论，而只是一个没有意义的客体体系。正如下棋时棋子的位置一样，这些客体接受机械的处理正如棋子的移动一样。对象理论是当做符号体系以及由符号所造成的客体的体系而被描述及研究，符号只是简单地当做不同种类的可识别的客体。为确定起见，可把它们具体地当做纸上的标志，或者更为准确一些，根据把符号看做纸上的标志这种经验做抽象而得。（克林《元数学导论》第65页）

逻辑理论还有数学理论，可以高度地予以形式化刻画，这是人类理智的一次巨大进化，也是人类理智长期发展的一个结晶。而形式系统可以用元数学的方法进行研究，这应该是人类理智的又一次巨大进化，只是时间间隔更短而已。而哥德尔数的产生，则是元数学进化过程中的第一个里程碑式标志。

（二）哥德尔数的一些特征

理查德是用自然数来和数概念定义对应，哥德尔也试图做同样的工作，一个比理查德数更为复杂的数字对应工作。这个对应，自然就是我们给出的两个范畴中的对应，形式客体对象和实体对象间的对应。这里的形式客体，自然就是哥德尔原著中的系统P，这里的实体，自然就是算术化的元数学实体。形式系统P是哥德尔予以研究的对象理论，哥德尔所使用的理论，则是我们在上文提到的算术化的元理论。很显然，我们正在讨论的哥德尔数，正是构成这个元理论的一个要件。

用什么来实现这种对应呢？理查德做出了榜样，那就是给各种各样的数定义配数。这个方法切换到哥德尔这里，那就是给哥德尔系统P中的形式客体配数。更为具体一点，给基本的形式符号，给由这些符号形成的序列，给这些序列的序列配数。这种一一对应的配数，首先从系统P的基本符号，即系统P的常元符号和变元开始。

由这个简单描述，可以感受到哥德尔数的基本含义。

如果用最为简洁的一段话来表明哥德尔数的基本含义的话，那就是使用”对应‘’这个行为动词。何谓哥德尔数呢？哥德尔数就是形式体系中的客体，对应算术化元数学中的实体而产生的自然数数字。这虽然简洁，但不精准。我概括如下几个基本特征，也许道出了哥德尔数的基本含义。

第一，一个哥德尔形式系统P中的符号（包括符号序列，符号序列的序列等等），对应一个自然数。

第二，这个数字对于形式系统P中的符号是唯一的，而P中的符号对于这个自然数也是唯一的。

第三，哥德尔形式系统P中的序列，必须是有穷序列。

第四，为保证这种一对一的对应关系，对自然数的选取有相应的规则。

这就保证了形式客体和元数学实体之间的一一对应。

（三）哥德尔数的配置规则

一形式系统，例如哥德尔的形式系统P，其基本符号通常由三个类别的字符构成。一个是逻辑常元，一个是逻辑变元，第三类是避免混淆的辅助符号。常元通常是运算符，它们把一些字符依据变形规则变换为另一些字符。变元则是运算符操作的对象，这些被操作的变元对象，因为其语形结构的不同，与常元所处关系的不同，而被赋予不同命名。

一形式系统的形式客体，首先就是这三类符号，它们构成一形式系统中的第一类形式客体。这类形式客体，相当于一个语言中的字母表。

把这些形式符号进行组合，这里自然要包括合式地组合和不合式地组合，就构成一形式系统中的第二类形式客体，一般称为形式表达式。这类形式客体，相当于一个语言中的字或者语词。在形式系统中，一般称作为项term。

很容易联想到第三类形式客体，当把第一类和第二类形式客体进行组合的时候，这样的组合，通常是逻辑运算符和变元的组合，这就构成形式系统的第三类形式客体，表达式序列。这类形式客体，相当于一个语言中的语句或者句组。

由此，为形式系统P配置哥德尔数，就分为两类规则，一类是常元和辅助符号的哥德尔数配置，一类是变元的哥德尔数配置。由此而可见，所谓哥德尔数，实际上就是给形式客体中的常元，辅助符号和变元配上相应自然数而产生的一种客体。它或者是常元和辅助符号的对应客体，它或者是变元的各种对应客体，这些客体全是自然数。于是，哥德尔数的配数规则，自然就是两类规则，一类规则是常元和辅助符号的配置规则，一类是变元的配数规则。

哥德尔的P系统，仅有7个常元和辅助符号，其配置规则就相对简单，我们先给出常元与辅助符号的哥德尔数配置规则。

常元与辅助符号的配置规则：常元符号与辅助符号在P中有7个，对这7个符号的配置，使用1-13之间的7个奇数：1，3，5，7，9，11，13。

形式系统P中的变元，要配置以哥德尔数，则需要按照变元的类型来配置。于是我们在陈述其配置规则之前，预先需对形式系统P中的变元分型。这个工作，哥德尔在第二章给出常元符号之后，立刻就给出了变元分型的描述：

形式系统P中的客体，除常元之外，就是包括0的自然数，每一个自然数都是客体世界中的一个个体，这被看作是第一类型变元，它们用变元符号

‘x₁’，‘y₁’，‘z₁’，…表示。（注意：下标表示类型位数的数字，下同）

由自然数个体构成的类class，这被看成是第二类型变元，用变元符号

‘x₂’，‘y₂’，‘z₂’，…表示。

由自然数个体构成的类class的类，这被看成是第三类型变元，用变元符号

‘x₃’，‘y₃’，‘z₃’，…表示。

依此类推，如果变元是由n个类的类的个体构成，则称作第n类型变元，用变元符号

‘x_n’，‘y_n’，‘z_n’，…表示。

由对变元的这种分型，我们看到变元哥德尔数的配置规则。

变元配置规则：

1）大于13的素数，配置给第一类型变元。

2）大于13的素数平方，配置给第二类型变元。

3）大于13的素数立方，配置给第三类型变元。

4）依此类推，大于13的素数n次方，配置给第n类型变元。

三、给常元、辅助符号以及变元的哥德尔数配置

（一）常元与辅助符号的哥德尔数配置

可以用一个表格，来图示7个基本符号的哥德尔数

7个基本符号的对应图表

（二）变元的哥德尔数配置

同样可以列出一个表格，来表示变元的哥德尔数配置。

不同类型变元的哥德尔数配置

显然，这两类配置的哥德尔数，还只是哥德尔系统P中基本符号的配置。我们只看到常元类的哥德尔数，只看到变元类的哥德尔数，这两类基本符号生成的系列，它们的哥德尔数在哪里？我们用这个哥德尔数，如何来实现对于形式系统特别性质的揭示呢？这篇博客，只能是对于哥德尔数理解的起步，我们还需要期盼，还有一段艰苦的路程要走。