十九世纪发现的所谓“凯尔特石现象”曾吸引了物理学家们的浓厚兴趣，大量研究论文和报告的发表未能停止对这一奇特力学现象的理论探索。英国物理学家博迪 (Bondi,H) 在1986年的论文中写道^[1]：

“即使训练有素的科学家也难以理解这种现象为何不违背动量矩定理。”

所谓凯尔特石是一个接近半椭球形的船形刚体，其底部曲面沿纵向和横向有不同的曲率半径，重心在曲率中心的下方。刚体绕垂直轴有最大主惯性矩，而另外两个惯性主轴与底部曲面的曲率主轴不一致。将平凡无奇的这个物体放在桌面上，用手推动或叩击使它绕垂直轴旋转或绕水平轴摆动，可观察到意想不到的奇异现象，可归纳为

现象一：朝某个特定方向推动，刚体作平稳转动。但朝另一方向推动，刚体的转动伴随剧烈的摆动，很快减速，停转，并倒退朝相反方向旋转。

        现象二：静止的刚体受到叩击产生绕水平轴的摆动时，能迅速转变为绕垂直轴的旋转，旋转方向取决于叩击点的位置。

   凯尔特石 (Celtic stone) 的得名源于十九世纪考古学家对欧洲和埃及史前石器的发现。根据它的运动特征，也被称为抖退石 (rattleback) 或振动石 (wobblestone)。在北美和欧洲，凯尔特石是理工科大学力学实验室常见的演示教具。各种凯尔特石玩具在市场出售（图1）。其实自制一个凯尔特石并不困难，只要在狭长的船形木块上沿纵轴倾斜 5⁰ 到 10⁰ 的直线反对称地埋入两只金属钉，或利用倾斜的金属条调整惯性主轴的位置也行（图2）。凯尔特石特定的旋转方向由惯性主轴的倾斜方向确定。密歇根大学有位着迷的摩尔教授（Moore,K.），曾制作了几百个凯尔特石，甚至利用折弯的汤匙或半个熟鸡蛋也能做成。

图1  凯尔特石玩具

图2  自制的凯尔特石教具

关于凯尔特石的理论研究始于 1896 年剑桥大学的瓦尔克（Walker,G.T.）^[2]，此后涌现出大量研究论文。其中1909年克拉布特里（Crabtree,H.）将桌面视为理想光滑而作出错误解释。1971 年马格努斯（Magnus,K）正确指出摩擦力的关键作用，利用线性摩擦规律作了分析。1980 年考赫（Caughey,T.K.）考虑非线性因素用渐近法讨论稳定性。1981 年凯恩（Kane,T.R.）等对凯尔特石的运动过程做了数值仿真。1982 年笔者利用纯滚动条件下的线性化方程分析其摆动和旋转过程（见附录）。上述基于经典力学原理的研究工作都证实，凯尔特石现象是摩擦力的又一杰作。

要阐明凯尔特石奇异现象的力学原理，免不了要建立力学数学模型，要列写动力学微分方程做严格的分析计算。但也不妨在繁琐的数学推演之前，从力学原理出发先做一点逻辑推理，探索此现象的产生原因。

首先要思考的问题是：为何物体朝不同方向旋转会呈现出完全不同的运动性态。平面上的旋转物体除地面的约束力、摩擦力和重力以外，按照达朗伯原理，还有惯性力能影响物体的运动。分析一下这些作用力，哪些力与旋转的方向有关。由物体旋转产生的惯性力包括离心力和科氏惯性力。将旋转角速度记作 Ω，离心力与 Ω 的平方成比例，不受 Ω 的正负号影响。科氏惯性力与 Ω 的一次项成比例，与 Ω 同时改变符号。由此判断，科氏惯性力可能就是改变物体运动性态的原因。在附录列出的受扰运动微分方程中，与 Ω 一次项成比例的科氏惯性力以对垂直轴的合力矩，即陀螺力矩的形式出现。不同方向的旋转产生不同正负号的陀螺力矩，导致不同的运动性态。

上述运动性态的不同表现为摆动剧烈程度的明显差异。朝一个方向旋转的摆动极其微弱，而且越来越弱。朝另一个方向旋转的摆动却越来越剧烈。按照运动稳定性理论的观点，趋向微弱化的摆动为渐进稳定，而不断剧烈化的摆动为不稳定。判断稳定性的最简便也是最常用的方法是利用常微分方程的特征值来判断。列出线性化的扰动方程，代入指数函数特解 e^λt，其中的指数 λ 称为此方程的特征值。特征值应满足的代数方程称为特征方程。若有实数部分为正值的特征值 λ 存在，则扰动方程的零解不稳定，若所有特征值 λ 的实数部分均为负数，则零解为渐近稳定。具体的判断方法可利用劳斯-赫尔维茨判据，根据特征方程的系数是否满足一系列不等式作出判断。

附录中基于纯滚动假设建立了凯尔特石的力学模型（图3）。利用动力学微分方程的特征值分析证实了上述定性判断。分析表明，摆动稳定性与旋转刚体的几何参数有关。引入参数 σ₁= a₁/h, σ₂= a₂/h，其中 a₁ = ρ₁-h, a₂ = ρ₂-h，ρ₁ 和 ρ₂ 为接触点处沿曲面不同主轴方向的两个曲率半径，h 为垂直状态下的最大质心高度。在图 4 表示的（σ₁, σ₂）参数平面中，所划分的不同区域有不同的稳定特性，如表 1 所示。其中的参数 F 为刚体的惯性积，其正负号取决于惯性主轴相对曲面几何主轴倾斜的方向。具体而言，也就是图 2 中船形木块往左侧还是往右侧添加铁钉。当几何参数位于区域 I 时，摆动恒不稳定。位于区域 II 时，存在角速度的临界值，当角速度  时摆动不稳定，而  时摆动渐进稳定。区域 III 内情况恰好相反。上述结论可用于解释凯尔特石朝一个方向旋转的摆动渐进稳定，朝另一个方向不稳定的现象。

图3  平面上滚动的非轴对称刚体

图4 （σ₁, σ₂）参数平面内的区域划分

接下来需要思考另一个问题：为何凯尔特石的摆动会转化为旋转运动，且剧烈的摆动会导致倒退旋转。平面上旋转物体所作用的外力中，重力和支承力都沿垂直轴，不可能影响物体绕垂直轴的旋转。只有水平方向的摩擦力能形成绕垂直轴的力矩，迫使物体的旋转运动减速或加速。摆动引起接触点的滑动方向周期性变化，与接触点的滑动方向相逆的摩擦力亦周期性变化方向。在摆动过程中若正负方向的摩擦力不能完全抵消，必产生平均效应影响刚体的摆动。在附录的论文中，利用摩擦力在每个摆动周期内的积分计算其平均值，及其引起的刚体旋转运动的角加速度 。表 2 给出绕不同位置的轴摆动使静止刚体产生旋转的角加速度。其中 ψ 为摆动轴与纵轴 Ox 的夹角。理论结果与实验现象符合一致，从而证实，摆动引起的摩擦力是使静止刚体产生绕垂直轴旋转的根本原因。至于旋转中的刚体作不稳定的剧烈摆动时，因摆动引起的负方向摩擦力大于正方向而产生绕垂直轴的阻尼力矩，使物体的旋转运动减速，停转，倒退，就是意料中的事了。

                                                       表2   不同摆动轴位置引起的旋转角加速度

以上基于力学原理的定性分析解释了凯尔特石倒退旋转现象的产生原因。可简单总结为：刚体朝特定方向旋转时因不稳定而产生剧烈摆动，剧烈摆动引起的摩擦力矩推动刚体使其改变旋转方向。

参考文献

[1]  Bondi H. The rigid body dynamics of unidirectional spin. Proceedings of the Royal Society, 1986, A405: 265-274

       [2]  Walker F R S, Sir Gilbert Thomas. On a dynamical top. Quarterly J. of Pure and Applied Mathematics, Somerville, Mass. International Press.1896, 28 : 175-84.

      （改写自：刘延柱. 退旋刚体的动力学解释. 上海力学，1982, (4) :19-24

  刘延柱. 凯尔特石现象及其力学解释. 力学与实践，1991, 13 (4) : 52-54 ）

                       附：轴对称刚体在粗糙平面上的运动

             （原文载于：Zeitschrift für Angewandten Mathematik und Mechanik,1985, 65(3) : 180-183）