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上浮力和下沉力的第二种算法/李务伦 李相通 梁殊林 邵艳宁

已有 581 次阅读 2023-12-20 16:13 |系统分类:科研笔记

此前在小球增量的引力场下,通过计算大球所有质点的受力,得到小球在大球中上浮力和下沉力的计算公式(见《首揭均匀介质中物体浮、沉与阿基米德定律存在的数理根源(2)https://blog.sciencenet.cn/blog-3433895-1399996.html》和《大球内具有圈层结构的上浮力、下沉力及浮力的计算(3)https://blog.sciencenet.cn/blog-3433895-1400002.html》)下面在大球引力场下,通过计算得到小球在大球引力场下的受力,得到与之前相同的上浮力和下沉力公式。更加确信浮力存在的数理根源来源于万有引力定律,所以浮力再称阿基米德定律已不恰当,下面就陈述这一计算过程。

1、单一均匀大球中上浮力和下沉力的计算

如图1所示,大球的半径为R,密度为ρ1。其内含有一半径为r0的小球,密度为ρoii=1时ρo1小于ρ1i=2时ρo2大于ρ1O1O=l。图1示的剖面与x轴正向夹角为Φ,OC于z轴的夹角为α。O1D⊥OC,OA、OB与圆O1相切,A、B为切点。通过计算得OE和OC的长度分别为:

图片1.png

上面二式中α的取值最小为零,最大取值为OA或OB与z轴的夹角arcsin(r0/l)。

图片2.png 

1

假设大球内的小球密度也为ρ1,大球内距O距离r处,大球引力强度为:

图片3.png…(3

3)式中G为万有引力系数

假设小球密度也为ρ1时,小球少算或多算了一部分质量。图1中DE段取一小体积ΔV,ΔV在假设小球密度为ρ1时,质点多算质量为ΔV(ρ1o1),质点少算质量为ΔV(ρo2-ρ1)。少算的质点质量规定为正质量,多算的质点质量根据正质量的规定,多算的质点质量为负质量。正、负质量可统一到一个公式中,如下即是:

图片4.png…(4

大球引力场中,在假设小球密度也为ρ1时,小球的这部分质量的所有质点,在大球内与大球内其它质点一样,处于稳定状态;或者说小球的这部分质点质量,在大球内与大球内其它质点一样,同半径上受到的引力相同,促使球内质点稳定。

质点正质量在引力场中受力方向,与小球假设密度与大球相同时的同位置质点剩余质点质量受力方向相同,都指向大球球心,这样以来对小球内任意一质点上存在少计指向大球球心力的问题。质点负质量是在假设小球密度与大球相同时产生的多计质点质量,多计质点质量的在大球引力场中的受力,也假设了与小球原密度下同位置质点质量的受力方向相同,都指向大球球心,这样以来对小球内任意一质点上存在多计指向大球球心力的问题;这一力虽假设了指向大球球心,事实上这一力是不存在的,确反映小球如稳定缺失的质点质量-质点负质量的受力背离大球球心。通过上面的叙述,正、负质点质量在大球引力场中的受力可统一为:

图片5.png…(5

在球坐标系内,(5)式的质点力在图1示的z轴的投影为:

图片6.png…(6

6)式中r的取值范围为式(1)(2),α∈[0,arcsin(r0/l)],φ∈[0,2π]。上面的取值范围涵盖了小球内所有少算或多计质量质点,或正或负的质点质量在大球引力场下的受力在z轴的投影,由于(5)式垂直z轴的分量存在对称性,于是所有或正或负质点质量受力合力有以下积分计算求得:

图片7.png

图片8.png

图片9.png

图片10.png

图片11.png

图片12.png

图片13.png…(7

7)式中x=cosα,于是有:

图片14.png

图片15.png

图片16.png…(8

8)式中图片17.png图片18.png

于是8)式又可为:

图片19.png…(9

A进行积分:

图片20.png

图片21.png

图片22.png

图片23.png

图片24.png

图片25.png

图片26.png

图片27.png

图片28.png

图片29.png…(10

由(10)式可得A为:

图片30.png…(11

B进行积分:

图片31.png

图片32.png

图片33.png

图片34.png

图片35.png

图片36.png…(12

由(12)式计算可得B为:

图片37.png…(13

将(13)带入(9)中:

图片38.png

图片39.png

图片40.png…(14

从式(14)可以看出,通过上面的计算,也可得出之前已得出的结果。这一结果得出的过程,虽是特例情况,但对浮力的产生可更好的给予诠释。

2、处于球层上的上浮力和下沉力的计算

2中,半径为R1的内球密度为ρ1,半径R1到半径R2的圈层密度为ρ2,半径R2到半径R3的圈层密度为ρ3。上述所列密度,由内而外密度由大到小。在内球层中含有图示的小球半径为r0,密度为ρoii=1时ρo1小于ρ2i=2时ρo2大于ρ2O1O=l。其它关系同图1。

图片41.png 

2

小球在内球层的上浮力或下沉力可以分两步计算,假设内球的密度为ρ2,半径为R2的球内大球引力强度为式(3)。外球层在内部的引力强度,根据高斯定理为0。所以假设内球的密度为ρ2时,小球的上浮力或下沉力根据式(14)为:

图片42.png……(15

内球少算质量在内球层的引力强度为:

图片43.png……(16

根据前(5)和(6),图2中DE段中任取的小质点,在式(16)引力场下,在图2示的z轴上受力投影为:

图片44.png

图片45.png…(17

对式(17)积分:

图片46.png

图片47.png

图片48.png

图片49.png

图片50.png

图片51.png…(18

式(15)和(18)相加就得小球在大球引力场下的总合力为:


图片52.png

图片53.png…(19

而对于多球层的球内某一球层上有图2示的小球,小球的密度与小球所栖球层密度的关系如前所述,根据式(14)、(19),这时小球受力可推出如下的关系:

而对于多球层的球内某一球层上有图2示的小球,小球的密度与小球所栖球层密度的关系如前所述,根据式(14)、(19),这时小球受力可推出如下的关系:

图片54.png…(20

根据上面式(14)、(19)、(20)可统一为:

图片55.png…(21

式(21)中E(l)为小球球心处大球引力强度,ρj为小球栖居的密度。密度为ρoi中,i=1时ρo1小于ρji=2时ρo2大于ρj

3、结语

    式14)、(19)、(20)、(21)的物理意义之前文中已有陈述,故不再赘述。下面就浮力的阿基米德定律表述:“浸在静止流体中的物体受到流体作用的合力等于该物体排开的流体重力,方向竖直向上”,谈一点看法。根据前面计算过程,阿基米德定律的表述逻辑严谨,符合上述数理推理,不得不佩服前人通过浮力现象,通过反复实验得出的符合数理逻辑的结论。但这一结论仅限于流体,事实上图1、图2在太空中无重力环境下,即便全为固体,小球浮力仍然存在。所以阿基米德定律的时下表述内容狭窄,因此阿基米德定律表述已不恰当。以上仅是一家之言,请老师们提出批评指导!



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