首揭均匀介质中物体浮、沉与阿基米德定律存在的数理根源（2）.pdf

李务伦  李相通  梁殊林  邵艳宁

发前的话：关于浮力形成的论证有以下三篇文章组成：1、“阿基米德定律”可称为“阿基米德原理”数理初论证（1）--暨初首揭物体浮、沉形成过程的数理成因；2、首揭均匀介质中物体浮、沉与阿基米德定律存在的数理根源（2）；3、大球内具有圈层结构的上浮力、下沉力及浮力的计算（3）。通过以上三篇文章详尽的揭示了浮力产生的数理原因，终结浮力计算有结论而无数理论证的历史。因此敬请读到的老师提出指导性的建议和批评！

摘要：

均质的大球球内，存在异于大球密度的小球。在假设小球密度与大球相同的情况下，存在少算或多算小球质量的引力强度-小球增量。全球质点在小球增量的引力场中受力，此时质点的力在大球球心和小球球心连线上投影总和，是背离或接近大球球心的运动力。该力由两部分组成，一部分为小球在大球引力场受到的居于所在位置的引力，一部分为小球在居于位置的的浮力。前者力的方向指向大球球心，后者力的方背离大球球心。这样一来，就首次揭示了均匀介质物体的上浮、下沉及浮力（阿基米德定律）形成的数理理论根源。

关键词：引力场  上浮力  下沉力  浮力  阿基米德定律

引言

阿基米德定律提出两千多年，但浮力为什么是排开的流体重力？尽管物理科学已得到空前的长足发展，但确没有从数理理论上得到论证。根据对均匀物质球体中，存在浸入不同密度的小球体的引力场讨论^[1、2]知道，小球体的存在扰乱大球体的力场平衡，为实现新的平衡，大球内引力场将自动对所有物质展布做出调整，根据小球增量在大球内的展布规律，已得出小球将远离或接近大球球心。小球在大球内的的运动必受力，该力的大小是什么？与什么参数有关？下面就首次以均匀介质揭示之。

1.浸于均质大球中密度异于大球的小球的受力计算的各种参数

如图1所示，浸于均质大球中密度(ρ₁)异于大球的小球存在两种情况，一种为小球的密度ρ₂(＜ρ₁)小于大球密度，一种小球的密度ρ₃(＞ρ₁)大于大球密度。在假设大球内小球密度也为ρ₁时，以O为坐标原点时，大球内的引力强度命名为大球引力强度：

…(1)

对于小球多计和少计的质量引起的引力强度记为小球增量时，图2中小球增量在坐标原点为O₁时：

小球内小球增量为：……（2）

    小球外小球增量为：……（3）

上述（2）、（3）两式中i=2已定义为小球正增量，i=3定义为小球负增量。小球正增量方向背离O₁，小球负增量方向指向O₁；大球引力强度的方向指向O。

图1

图2中，O₁O=l，线段AD过O₁，与z轴的夹角为α。AD线段的端点在半径为R的球面上，该线段与半径为r₀的球面的交点为B、C。B点在xy的投影点和O₁的连线与x轴正向夹角为θ，如图中所示。

2.大球内所有质点受力分析

假设图2a为均质体，大球球内大球引力强度使得球内的任意质点的受力均指向大球球心O，对称的质点的受力相等，方向相反，因而大球内所有质点均处于平衡状态。所以大球内所有质点，受大球引力强度作用力无须进行计算。

当大球内存在密度异于ρ₁的图示小球，其小球增量的将改变球内引力场的展布，使得图2a的大球内所有质点均处于不平衡状态，为实现平衡，图2a中所有质点均在大球引力强度和小球增量的合力作用下进行力的调整，重新取得平衡。对于小球正增量，存在“负阴抱阳”；对于小球负增量存在“负阳抱阴”的的引力场展布。“负阴抱阳”，阳部位于小球下部，阳部的增压和阴部的减压，使得小球远离大球球心，小球上浮；“负阳抱阴”，阴部位于小球下部，阴部的减压和阳部的增压，使得小球向大球球心靠近，小球下沉。小球上浮和下沉的力为多少呢？下面计算之。

3.小球受力的计算

小球的受力分为密度为ρ₂和ρ₃种情况，密度为ρ₂时，小球远离O；密度为ρ₃时，小球向O靠近。

3.1小球上浮力的计算

图2b中，OF⊥AD，OF=lsinα，O₁F=lcosα，AF=DF=(R²-OF²)^1/2，于是可得A和D点到O₁的距离分别为：

…(4)

图2a中的E点为线段AD上任意一点，距O₁的距离设为r，小球正增量在E点的大小为式(2)、(3)，小球正增量的方向背向小球球心，且平行AD。在E点取一小体积dv，其质量为ρ₁dv，假设E点位于小球外，其质量ρ₁dv受到的力为：

……（5）

在AD线段上小球正增量以O₁为镜像对称，由于小球正增量方向的相差180°，图2中A的对称点如图中的A＇所示。而在对称的O₁A和O₁A＇上对称的任意相同质量的质点受到的力相等但方向相反，从A到A＇所有质点在小球正增量引力场中，受力代数和为零；而大球引力场中，AD上所有所有质点，根据图2b，所有质点沿AD的受力，因对称而总受力为零（BC段的物质的密度，因为在分析大球引力强和小球增量时已假设为ρ₁，所以才有AD上所有所有质点总受力为零）；因而我们仅需计算从A＇到A所有质点的（5）式的受力就可知道沿A到D上所有质点的总受力。而A＇到D上所有任意质点的受力在z轴上的投影为：

……（6）

对（6）式积分，就可以得到在z轴上总合力：

……（7）

式(7)由于ρ₁大于ρ₂，所以F大与零，方向与z轴的方向相同，小球上浮。这也就从数理理论上回答了物体上浮的原理。同时也看到式中大球引力强度仅与半径为l球内部的物质有关，与外部物质无关。

3.2小球下沉力的计算

上面计算了上浮力，用同样的方法可以计算出小球的下沉力为：

……（8）

式(8)由于ρ₁小于ρ₃，所以F小于零，方向与z轴的方向相反，小球下沉。这也就从数理理论上回答了物体下沉的原理。

4.浮力的得出

阿基米德定律：浸在静止流体中的物体受到流体作用的合力等于该物体排开的流体重力，方向竖直向上。数学表达式：

F_浮=G_排=ρ_液（气）gV_排……（9）

在式(7)和(8)中，均存在项，而该项中是小球球心距大球球心l处的大球引力强度负值，相当于式（9）重力加速度g，V_球是密度为ρ₂的球排开密度为ρ₁的体积。通过以上的对比分析，式(7)、(8)中项，即为阿基米德定律或式（9）。这样一来就从数理上找到了浮力或阿基米德定律在均匀介质中成立的数理来源，因此阿基米德定律可以认为是万有引力定律的一种推论。但项与式(9)也有区别，式(9)中重力加速度为定值，而中与距大球球心的距离有关，因而新的浮力计算公式为：

……（10）

从式(10)中可以得出：一种密度的物质浸在另一种密度的物质中，浸入者所受到的浮力与被浸入者密度、排开体积、以及排开体积的中心点的大球引力强度，均成正比，浮力方向与引力强度方向相反。同时从式(10)中还可以得出：大球内某处的密度的改变，必引起全球性的力的响应，这种响应促使密度改变处的物质做出相应的回应，即产生浮力以应对，这种应对是为求大球内取得最稳定平衡，而自动发生的大球内引力强度的自动调整。这种自动调整可以解释许多地球动力学问题，如后造山运动，构造运动准同时性等等问题。同时可以看出浮力的存在与物质的相无关，在固相或粘滞力等于浮力时小球被囚闭，而浮力则不会消失，而是以应力积累的方式暂时存在。曹魏时曹冲称象，而今我们从数理论证出这一结果，有了更多的中国人贡献因素，因而将式(10)命名为A-C-3LS公式。在式(7)、(8)中项，为小球球心距离大球球心小球密度为ρ₁或ρ₃时受到的引力。

5.上浮强度与下沉强度的计算

式(7)和(8)除以小球的质量可得小球上浮和下沉的运动强度。式(7)除以小球质量的小球的上浮强度为：

……（11）

式(8)除以小球质量的小球的下沉强度为：

……（12）

6.由阿基米德定律得出的上浮和下沉强度

图2是计算物体在流体中受力示意图，下面分为两种情况讨论。

图2

图2中左侧的长方体，浸在密度为ρ₁液体中的，根据阿基米德定律浮力为ρ₁Vg，受到的重力为ρ₂Vg，两者的方向相反。所以长方体受到的上浮力为：

……（13）

式（13）为长方体浸入液体的受到的合力，由于ρ₁-ρ₂大于零，合力的方向向上，这时长方体上浮运动的上浮强度为：

……（14）

图2中右侧的长方体，浸在密度为ρ₁液体中的，根据阿基米德定律浮力为ρ₁Vg，受到的重力为ρ₃Vg，两者的方向相反。所以长方体受到下沉力为：

……（15）

式（15）为长方体浸入液体的受到的合力，由于ρ₁-ρ₃小于零，合力的方向向下，这时长方体下沉运动的下沉强度为：

……（16）

7.两种公式的对比

式（7）与（13）、（8）与（15）、（10）与（9）、（11）与（14）、（12）与（16）两种公式在形式相同，由阿基米德定律得出的公式中引力场强度为定值，直接通过积分计算得出中大球引力场强度为变函数。大球引力场强度中l达到地球的半径时，在小范围内，引力强度变化极小，所以才有了一般情况下阿基米德定律系列公式中为定值的特例，从而也间接证明了从上述计算得出浮力公式（10）的正确。

结语

通过上面的叙述，我们找到了阿基米德定律数理理论的来源，也知道了时下我们应用的阿基米德定律是一种特例。虽然在推算阿基米德定律数理理论的来源时，我们是以均匀介质为基础推算的，但根据上面叙述也应有普遍意义。由于一般情况下，推算更为复杂，暂时不做进一步的推演。这样的推演，浮力再称为阿基米德定律已不正确，而网上也称浮力为阿基米德原理，但又没有相应的理论作为支撑。现在有了上述的推演，浮力可以堂而皇之称为阿基米德原理。曹魏时曹冲称象，而今又有了上述的推演，因此建议网上关于“浮力”(阿基米德定律或阿基米德原理）词条的阐述，增加中国人的因素。这样推演是否正确，希望对此有兴趣的的老师对此提出批评与指导！在此首先表示感谢！本文2023年8月初完成于哈尔滨香坊。

参考文献

[1]李务伦 李相通 梁殊林 邵艳宁  物体上浮与下沉原理探讨及诸多地球动力能系统统一的分析  https://blog.sciencenet.cn/blog-3433895-1371221.html  2023-1-9

[2]李相通 李务伦 梁殊林 邵艳宁 “阿基米德定律”可称为“阿基米德原理”数理初论证（1）  https://blog.sciencenet.cn/blog-3433895-1399992.html

[3]谢淑艺  矢量分析与场论  人民教育出版社  1982年8月

[4]樊映川等  高等数学讲义  人民教育出版社  1983年3月