大球内具有圈层结构的上浮力、下沉力及浮力的计算（3）.pdf

李务伦  李相通  梁殊林  邵艳宁

发前的话：关于浮力形成的论证有以下三篇文章组成：1、“阿基米德定律”可称为“阿基米德原理”数理初论证（1）--暨初首揭物体浮、沉形成过程的数理成因；2、首揭均匀介质中物体浮、沉与阿基米德定律存在的数理根源（2）；3、大球内具有圈层结构的上浮力、下沉力及浮力的计算（3）。通过以上三篇文章详尽的揭示了浮力产生的数理原因，终结浮力计算有结论而无数理论证的历史。因此敬请读到的老师提出指导性的建议和批评！

摘要：居于大球圈层内的小球，在假设外球层与小球所居圈层密度相同的条件下，计算多计质量对小球的作用力，计算表明外球层作用力为零。在此情况下假设大球密度与小球所居球层密度相同，然后计算内部球层及内球少算质量对小球的作用力，最后求出大球所有物质对小球的作用力。这一计算彻底全面搞清浮力的产生原因，彻底结束了两千多年以来浮力有结论而无论证的历史。

关键词：密度  大球引力场强度  上浮原理  下沉原理  多球层大球

引言

上一文《首揭均匀介质中物体浮、沉与阿基米德定律存在的数理根源（2）》中，计算了均匀介质中上浮力、下沉力及浮力。但密度由内而外逐渐减小情况是怎样的，下面通过具有圈层结构的球体，计算上浮力、下沉力及浮力，由此推出一般情况下的小球上述力的计算。由此进一步看到浮力称为阿基米德定律的不恰当。

1.小球位于球层以内均匀介质的上浮力、下沉力及浮力计算

如图1所示，图1中存在外球层，内半径为R₁，外半径为R。外球层的密度为ρ₄，内球密度为ρ₁，小球密度为ρ₂或ρ₃，ρ₁大于ρ₄，ρ₂＜ρ₁＜ρ₃。计算坐标原点选在O₁，图1的剖面与x轴的正向夹角为θ。假设外球层的密度也为ρ₁，小球的受到的上浮力或下沉力为：

……（1）

式（1）中，i=2小球上浮，i=3小球下沉。小球而在（1）式的计算中，因假设图1的圈层密度为ρ₁，外圈层的多算了一部分质量的受力，因而要减去这部分的受力。在图1中，通过几何计算：

……（2）

在线段AB和CD上各取体积dV，其多计的质量为（ρ₁-ρ₁）dV，多计的受力为：

……（3）

式（3）在z轴的投影为：

     ……（4）

由于小球增量在AB和CD上方向相差180°，因而少算的力为：

=0……（5）

式（1）中，均匀大球中小球受力，式中大球引力强度仅与半径为l的内部物质有关，与外部物质无关。从上述的计算可以得出如下的结论：居于球层以内中的小球上浮力或下沉力与外球层无关，仅与小球所居球层及其以内的物质有关。

2.小球位于球层内均匀介质的上浮力、下沉力及浮力计算

既然小球在介质中的上浮力、下沉力及浮力与外球层无关，下面的上浮力、下沉力及浮力计算仅限于以下情况。

2.1小球位于单一外球层内

如图2所示，小球位于外圈层内，圈层的密度为ρ₁，小球的密度为ρ₂或ρ₃，三者的关系为ρ₂＜ρ₁＜ρ₃，半径为R₁的内球的密度为ρ₄，ρ₁＜ρ₄。图2b中，O₁M、O₁P为半径R₁的圆切线。∠OO₁M=sin^-1（R₁/l)，O₁F=lcosα-（R₁²-l²sin²α）^1/2，O₁F=lcosα+（R₁²-l²sin²α）^1/2。

 

图2

假设半径为R₁的内球的密度也为ρ₁，小球的上浮力与下沉力为式（1）。这样以来内球质量少算，小球的上浮力与下沉力也就缺少了这一部分质量的作用力。下面就计算这一部分。在图2a中，线段AD上E点取一体积dV，少算的质量为（ρ₄-ρ₁）dV，E处质点在小球增量场中受力为：

……（6）

式（6）在z轴的投影为：

……（7）

对内球少算质量在小球引力场的少算力积分：

对内球少算质量在小球引力场的少算力积分：

……（8）

式(1)和(8)相加得：

……（9）

在(9)式中，为R₁到l的圈层引起的引力强度，内球引起的引力强度，所以大括号中的项为大球引力强度。前面大项为小球在密度为ρ₁圈层中受到的浮力，后面大项为小球在密度为ρ₁圈层中受到的引力。这与均匀大球中的小球受到力的表达式相同。因此可以得出如下的结论：在单一层的大球内，内球密度大于球层密度的情况下，位于球层内的小球，小球浮力的大小与排开球层的体积、所在球层的密度、小球球心处的大球引力负值均称正比，浮力的方背向大球球心；小球受到的引力与小球的质量及小球心处的大球引力强度均成正比，方向指向大球球心。

对于多球层上述结论是否正确，下面继续讨论之。

2.2小球位于多球层的最外球层受力

图3中最外球的密度为密度为ρ₁，小球的密度为ρ₂或ρ₃，三者的关系为ρ₂＜ρ₁＜ρ₃；R₂到R₁内球层的密度为ρ₄，内球密度为ρ₅。球层、内球的密度存在如下的关系ρ₁＜ρ₄＜ρ₅。

 

图3

假设内球层和内球的密度为ρ₁，这时小球的受力为式（1）。假设内球的密度为ρ₄半径为R₁的球少计的质量对小球的作用力为式（9）。对于内球来说，此时少算的质量对小球的作用力，根据式（8）的计算过程可得：

……（10）

将式(10)加到式（9）中，就可以得到双球层，小球在外球层中受到的作用力。

     ……（11）

在式（11）中有两项，前一项为浮力项，后一项为引力项。在两项中存在共同项因子：，而这因子的三项，分别是最外球层由R₁到l圈层物质的质量形成的引力强度，第二项为内球层物质质量形成的的引力强度，第三项为内球物质质量形成的的引力强度。将上述三项中的因子-G/l²提出，是半径为l的球质量。因此可以给出多球层含小球的小球受力普遍公式如下：

……（11）

由式（11）可以得出如下的结论：在多球层的大球内，球层物质密度的展布由内而外逐渐减小，其中一小球球心位于大球内某一球层内，小球浮力的大小与排开的体积、所在球层的密度、小球球心处的大球引力负值均称正比，浮力的方背向大球球心；小球受到的引力与小球的质量及小球球心处的大球引力强度均成正比，方向指向大球球心。

2.3一般情况下小球受力表达式

对于式（11）做如下的规定，在半径为R的大球内，存在如下关系的球层R＞R₁＞R₂＞…＞R_n-1＞R_n，R_n为内球的半径，且从最外球层到内球物质的密度逐渐增大。小球位于R₁到R的球层内，小球球心距球心的距离为l。规定R₁到l的球层质量为M₁，R₂到R₁的球层质量为M₂，…，R_n到R_n-1球层质量为M_n，内球大质量为M_n+1。于是多球层球中位于最外球层的小球受力表达式为：

……（12）

式中ρ₁为小球所居球层的密度，ρ_i为小球的密度，i=2小球密度大于所居球层的密度，i=3小球密度小于所居球层的密度，前者小球上浮，后者小球小球下沉。

由式（12）可以进一步推出用积分表达的公式，公式为：

…（13）

3.结语

通过上面的讨论，我们从数理上厘清了浸于物质中浸入体所受力来源，也就结束了两千多年以来，特别是万有引力定律产生以后几百年以来，将排开物质体积所受到的重力称为阿基米德定律错误局面。因此现在看来再称浮力为阿基米德定律已不正确，从整个证明过程看，它是万有引力定律的一个推论，因此在此建议将阿基米德定律，改称为浮力定理。同时通过这一浮力推证，可以发现浮力产生具有全球所有质点均运动参与的特征，只不过强度大小不同而已，将此称为浮力产生全球运动定理。这一定理为后造山运动，构造运动的同时性、层流构造理论等提供理论支撑，还可为重力动力学的成立与正确提供理论支持。当然将阿基米德定律改称为浮力定理，命名是否正确妥贴还请老师们的批评指导！本文2023年8月中旬末完成于哈尔滨香坊，至此历时近四年的为什么产生浮力的思考，画上句号。以此为基础，下面的新的文章，探讨物质在球内的展布及平衡问题。

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