李务伦  李相通  梁殊林  邵艳宁

引言

密度均匀的小球，位于均匀的异于大球密度的大球内，小球受到与所有物质相态无关的上浮力或下沉力。小球密度大于大球，小球受力的方向指向大球球心；小球的密度小于大球，小球受力的方向背离大球球心。但不论那种情况？小球处于不平衡的引力场中。均匀大球中，球内所有质点均处于平衡状态，引力场强度、压力、引力位均呈球态展布，小球的加入改变了这一状态，浮力产生，因此小球必然运动，运动的结果是什么？地球的圈层形成是否来源于此？以及因小球运动大球内发生怎样的动力变化，下面依据小球的上浮力及下沉力，并结合物质的黏度逐一讨论之。

1.均匀大球中密度异于大球的小球的受力

如图1所示，浸于均质大球中密度(ρ)异于大球的小球存在两种情况，一种为小球的密度ρ_小(＜ρ)小于大球密度，一种小球的密度ρ_小(＞ρ)大于大球密度。这时小球受到与物质相态无关的力，可统一表述为：

…(1)

上述（1）式中ρ_小＜ρ，小球受力方向背离球心，为上浮力；ρ_小＞ρ，小球受力方向指向球心，为下沉力。O₁O=l，V_小球为小球体积，E(l)均质大球内距大球球心的大球引力强度，其表达式为：

…(2)

式中G为万有引力常数，ρ均质大球的密度，l小球球心距大球心距离。

曾在“首揭均匀介质中物体浮、沉与阿基米德定律存在的数理根源”一文中提及流体力学浮力或阿基米德定律是万有引力定律的一个推论，下面再补充以下内容。

式（1）做如下变形：，通过上面的变形，可以看出该表达式与万有引力定律无二，而浮力为式（1）中的第一项为，因此可以说浮力是万有引力定律的推论，这应是分异产生的本质所在；同时也是提出将阿基米德定律改称为浮力定理原因所在。因此浮力定理表达如下：浸在大球中的小球所受到的力，不以物质的相态而存在，小球受到的大球作用力等于该小球排开大球物质受到的引力，方向背向大球球心。所以流体力学中阿基米德定律或原理是浮力定理的特例，同时也应看到流体力学中浮力内容可以不变，但再称阿基米德定律已不准确，在此认为应统称浮力定理为上。

图1

2.大球内小球下沉运动的分析

小球在大球中下沉运动，下面分两部分叙述。

2.1小球下沉及平衡

图1中的小球密度大于大球密度，式（1）小于零，小球具有向大球球心运动的趋势。之所以这样陈述，是因为小球下降过程中，要受到大球物质的阻碍，即粘滞力F_粘的作用。当粘滞力大于等于下沉力时小球不会运动，以应力积累的方式稳定在原处，当小球的下沉力大于粘滞力小球才向球心运动。如果小球具用刚性，小球在下沉过程中保持球态不变，如果小球塑性小球将变形。

刚性小球在下降过程中，“负阳抱阴”不断的改变，阳的部分不断扩大，阴的部分则逐渐减小，到小球球心与大球球心重合形成球层，阴的部分完全消失，小球的下沉力为零，小球因此稳定在大球球心上。这是因为小球球心与大球球心重合后大球内引力场用公式可表述为：

…(4)

…(5)

根据以上二公式，这时的大球内引力场强度，压力、引力位同球面上值相等，球内任意点引力线方向均指向大球球心，大球内所有质点均处于平衡状态。

刚性小球在下降过程中，“负阳抱阴”不断的改变，阳的部分不断扩大，阴的部分则逐渐减小，到小球球心与大球球心重合形成球层，阴的部分完全消失，小球的下沉力为零，小球因此稳定在大球球心上。小球在大球内向大球球心运动过程中，下沉力随阳部的不断增大下沉力而减小，当小球过大球球心，造成形成阴球部分的质量减少，下沉力将快速减少，当小球球心与大球球心重合，下沉力消失。

小球具有塑性，小球在下降的过程中，由于受大球粘滞力的作用，前部凸出，后部形成尾巴，即形成雨滴形态，其余的则与小球刚性时相同。

小球在下降过程中，根据下沉力的形成过程，大球球内所有质点均受力，受力的大小不同，在小的周边则表现最为强烈。在下沉过程中小球下顶部，首先排开底部物质，使物质沿小球球面仰冲，尔后由于小球后部的真空，仰冲物填补在真空的位置。

2.2小球下沉过程的不同角度得到的动力学

小球无论刚性还是塑性，小球在下降过程中，首先表现为大球的质心由球心的上不断的靠近大球球心，如果给这种过程起一个名字的话，可叫质心动力学。第二、同球面上压力的差别不断的减小，横向上压力梯度不断地向零靠近，纵向上同球面上压力梯度趋于同值，如果给这种过程起一个名字的话质心，可叫地压或地压梯度动力学；第三、同球面上引力位的差别不断的减小，横向上引力位梯度不断地向零靠近，纵向上同球面上引力位梯度趋于同值，如果给这种过程起一个名字的话质心，可叫引力位或引力位梯度动力学以及势能动力学等。第四，因受粘滞力的作用，同球面上不同地点表现为不同的应力积累，随小球的下沉，同球面上趋同趋向于零，如果给这种过程起一个名字的话，可叫应力积累动力学等。上面提到的动力学，其根本在于大球内引力场的变化，或质点间相互作用力的系统表现，只不过看问题的角度和选择的参数不同而已。这样的分析，将为许多学者，所提地球动力学的成立提供强有力的数理理论支持。

3.大球内小球上浮运动的分析

小球在大球中上浮运动，与上相同也分两部分叙述。

3.1小球上浮及平衡

图1中的小球密度小于大球密度，式（1）大于零，小球具有背离大球球心运动的趋势。所以这样叙述，是因为小球上浮过程中，要受到大球物质的阻碍，即粘滞力F_粘的作用。当粘滞力大于等于上浮力时小球不会运动，以应力积累的方式稳定在原处，当小球的上浮力大于粘滞力小球才背向大球球心运动。如果小球具有刚性，小球在上浮过程中保持球态不变，如果小球塑性小球将变形。

图2

刚性小球在上浮过程中，“负阴抱阳”不断的改变，阳的部分不断扩大，阴的部分则逐渐减小，见图1、2。当小球与大球相切，小球受到的上浮力达到最大。在上升的过程中，小球的顶部不断排开大球的物质，过小球的中部，由于小球上升，小球的底部压力出现真空，顶部先是俯冲尔后经小球中部补充到小球的后部。

而要使小球稳定在图2所示的位置，大球对小球的粘滞力或锁固力等于上浮力，另一种情况如图3所示，存在一小球O₂，密度也为ρ_小，该小球与大球O，小球O₁均相切于A点。如果此时处于平衡状态，上浮力应等于大球对小球O₂的引力，减去多算小球质量对小球O₂的引力，即满足以下平衡方程：

…(5)

（5）式中，左侧项为小球O₁与大球相切时的上浮力；右侧第一项为大球内小球的密度也假设为ρ时，大球与小球O₂的球的万有引力；这一力大球内小球多计算了一部分引力，因此右侧第二项为球内小球多算质量与球外小球的引力。由上式可计算大球外小球的大小，整理后有以下关系：

…(6)

图3

为方便后面的推导，对（6）进行整理得：

…(7)

在大球内小球不是太大，固定的情况下，对式(7)两侧求R→∝的极限，即

计算得如下公式：

…(8)

由式（8）可以得出图3中球O₁和球O₂的体积比为：

…(9)

这一比值与在流体中小密度物浮出流体部分和浸在流体的体积比相同，还是“首揭均匀介质中物体浮、沉与阿基米德定律存在的数理根源（2）”一文中，小球上浮强度或小球下沉强度与大球球内大球引力强度关系的比例系数。

通过上面的推演，刚性的小球上升到与大球相切时，小球O₁平衡于球内的平衡条件。如果刚性的小球没有图3中的外部小球，小球将凸出于大球外，凸出的体积，在大球足够大时，凸出部分与浸入部分体积比为式（9）。

塑性的小球上升，由于粘滞力的作用，小球在上升的过程中，边上升边变形，形成倒雨滴状。过与大球相切点后，小球物质不断的涌出球面，这时涌出的物质就形成类图4中外小球物质。因涌出物质与大球内物质存在引力，这一引力对没有凸出的小密度物质形成阻力，同时形成类图4的引力场。涌出物质在后部上升力的作用下除上升外，由于塑性及出露物质点受力方向和值不同，小球O₂物质将延展于大球外部。而在开始沿大球面延展，之所以出现这种情况，是因为下面的分析。

图4

图4中，球O₁的小球正增量在大球中的展布已在“物体上浮与下沉原理探讨及诸多地球动力能系统统一的分析https://blog.sciencenet.cn/blog-3433895-1371221.html”和“‘阿基米德定律”可称为“阿基米德原理’数理初论证（1）--暨初首揭物体浮、沉形成过程的数理成因https://blog.sciencenet.cn/blog-3433895-1399992.html”详细陈述，在此不再叙述。而球O₂的引力强度在大球内展布，用小球正增量在大球内展布分析法进行分析。

球O₂的引力强度在大球内任意直径上也有两个分量，一个平行于该直径，一个垂直于该直径。为后面叙述方便，前者称为球外平行分量，后者称为球外垂直分量。球外平行分量大球内可划分为两个区域，一个区域为图4中圆O₄的部分剖面，一个为大球除去前者后的剩余部分。

在图4的剖面图中给出了三个球的引力线展布形态，它们均指向各自的球心。球O₂在大球内的球外平行分量展布。由于方向指向O₂，对于大球引力强度而言，在O₄的球内球外平行分量对大球引力强度造成减弱，O₄球外部分则造成加强；这与球O₁的小球正平行增量正好相反。球O₂对大球内的球内球外垂直分量，与球O₁的小球正垂直增量正好相反。这种相反正是取得图3、4取得平衡的条件之一，另外一个条件是O₁和O₂刚性，第三个条件是同密度下体积比为式（9）。尽管在上述三条件下取得平衡，根据图4的引力场展布，可以推测出大球内任意同球面上的合引力强度、引力位、压力并不相等，也就是不符合均匀球内的性质，存在不平衡的因素，这是一；而在图3、4的A点，平衡方程（5）的存在，大球除A点外，其余部位压力均为零，这是又一个不平衡因素，这是二。而一旦两小球的刚性降低或黏度变小，内外小球物质，在图4的引力场的作用下内外小球的质点，在合力场的作用下受力。这种受力表现为，内部的小球质点在上浮力，外部小球质点在与大球内所有物质的相互引力作用下，所有物质向压力底地方运移，但这种运移要受自身物质黏度的约束，根据自身黏度的大小情况形成中部厚向周边薄的最大球冠，如图5所示。

    这时在自身黏度约束下形成的图5的形态，但大球内的引力场的展布仍将存在类似图4的展布，只不过更为复杂，而图5的平衡也仅是暂时的在小密度物质黏度作用下的准平衡。根据前面小球下沉形成球层，要达到所有物质的平衡，当小密度物足够多或相应物质黏度足够相应小，小密度物形成球层，小密度物才处于平衡状态。这时的平衡状态也可用式（4）、（5）描述其平衡，这时的球内，同球面上引力强度、压力、引力位相等。

图5

3.2小球上浮和圈层化过程的不同角度得到的动力学

小密度上升过程中与大密度小球下沉，存在同样的动力学：质心动力学、地压或地压梯度动力学、引力位或引力位梯度动力学以及势能动力学、应力积累动力学。但在小球出露大球面后，若小球物质是塑性的，小球物质将出现图5的状态。在形成这一过程中小密度的物质质点，依照合引力场的强度受力，沿大球物质的顶部水平展薄，伴随水平展薄建立新的平衡和新的合引力场，同时大球表面物质也运动，伏于小球物质底部，直到在小球黏度的约束下达到最后的平衡。根据小球物的展布发生的特点，小球物质的存在水平运动和垂直运动。由于小球物质水平运动带有一定的厚度，从厚度着眼的话，可得出层流运动，甚至得出拱形桥的作用原理。而在小球物质最后达到圈层的过程中，质心动力学、地压或地压梯度动力学、引力位或引力位梯度动力学以及势能动力学、应力积累动力学始终相伴随，这就看你以什么参数去度量了。

4.结语

通过上面的小球上浮与下沉的分析，不同密度物质要稳定，是所有物质形成具有由内而外密度逐渐减小的圈层系统结构。在小球上浮和下沉过程中，可根据不同参数得出上面所述的不同的动力机制，这就为目前一些学者的地球动力学成果的成立，提供数理理论上理论的支撑。而这些理论的成立理论支撑，是大球内引力场由不平衡向平衡的进展。根据以上物质圈层化的分析，地球动力学至今不能获得实质性的突破，以及存在地球动力学出现百花齐放，百家争鸣的情况。在这里认为，这与地球物理学长期以来对浮力的产生认识、对星球为什么是球态认识，对物质展布问题的认识存在十分严重的理论研究的滞后问题。地球物理学不从理论上回答以上这些问题，地球动力学在未来的时间里，可能永远是婆说婆有理，公说公有理，以至于每个学者对自己提出的动力学理论应用拓展到极致，甚至超出所提理论的范畴。这仅是根据上面分析得出的一种推测，是否正确还请老师们批评指导！