中学物理势能的计算公式的理论推求

李务伦  李相通

引力位是指在引力场中，单位质量质点所具有的能量称为此点的引力位，它的数值等于单位质量的质点从无穷远处移到此点时引力所做的功。下面根据这一定义分以下情况计算引力场中引力位，在引力位的基础上推导中学物理中势能公式来源。

一、均匀球内、外引力位

图1

（一）如图1所示，球外B点引力位计算

半径为R的球在球外任意点的引力强度为：

……（1）

根据引力位的定义，单位质量在（1）式引力场中由无穷远到B点做功为：

……（2）

（二）球内A点引力位计算如下：

半径为R的球球内任意点的引力强度为：

……（3）

根据引力位的定义，单位质量在球内外引力场中由无穷远到A点做功为：

……（4）

二、含均匀球层球内、外引力位

图2

（一）如图2所示，球外任意点引力位计算如下：

1.图2含球层的球球外任意点如图1中B点引力强度为：

……（5）

式中Mi表示均匀内球和球层的质量

于是图2球外任意点如图1中B点引力位计算表达式计算如下：

……（6）

2.图2最外球层内如图1中A点引力强度为

……（7）

图2中最外球如图1中A点的任意点引力位计算如下：

……（8）

三、势能计算是一种近似计算

中学物理中势能计算公式为：W=mgh。但该公式是怎样来的，笔者所能接触的资料中没有看到相应的理论解释，在之前的头脑中总以为势能是反复实验得出普适性的实验成果，但从上面对引力位的推算看，W=mgh应该能从数理理论上推出。下面根据以上的计算推出W=mgh。

（一）式（2）、（7）分别是均匀球和含同心球层球外任意点引力位，下面分别二式计算球外一点距球面势能。

1. 图1中B点距球面的势能

图1中B点距球面的距离为h，根据（2）B点引力位减去球面引力位差为：

……（9）

由式（9）知质量为m的由球面上升到B点势能为：

……（10）

假设当上式中R与地球的半径相当，质量且与地球质量相当，且h远远小于R，于是由式（10）得：

……（11）

根据上面假设E_R相当于地球重力加速的负值，约等于1，于是式（11）为：

……（12）

2. 图2中其球外如图1的B点到球面一点的势能

而对于图2含球层的球外一点到球面顶面引力位差根据式（6），沿用上面的方法为：

……（13）

由式（13）知质量为m的由图2的球面上升到图1 B点势能为：

……（14）

由了式（14），也可得出前面同样的结论，故不再叙述。

（二）式（4）是均匀球内一点的引力位、（8）含同心球层球最外球层内任意点引力位，下面分别计算球外一点距球面引力位差。

1. 图1中A点距球面的距离为h，根据（4）A点引力位减去球面引力位为：

……（15）

有了式（15），根据上面的假设，同样可以得出式（12）结论，故不再重述。

2.图2中最外球层球层内如图1的A点到球面一点的势能

根据式（8），球内一点到球面引力位差：

…（16）

当式（16)中R_n的大小与地球的半径相当时，式约等于1，式也约等于1，于是式（16）可写为：

…（17）

有了式（17），根据上面的假设，同样可以得出式（12）结论，故不再重述。

四、结语

通过上面的对势能W=mgh的讨论，明白了目前中学教材中势能W=mgh的计算仅是一种近似计算。笔者之所以有上面的讨论，是因为探讨地球动力学的需要。如果说高中物理因数理基础不够，只能直接给出势能W=mgh表达式，而到大学普通物理中或大学地球物理教材中，各种知识已足够多的情况下，不知为什么没有给出计算势能的理论解释。当然笔者的解释是否正确，还请老师们批评指导！