李务伦  李相通  梁殊林  邵艳宁

摘要：无重力环境均匀可塑物质具有正球形，球内所有质点处于稳定平衡状态。若这一大球内置一密度相异的小球，小球的加入改变原大球内的引力场，使得大球内所有质点处于非平衡非稳定状态。假设小球密度与大球相同，从而得到大球球内大球引力场和少计或多计质量的引起的小球增量引力场。通过计算大球内，大球所有质点在小球增量引力场的受力合力；或计算小球内，小球所有质点少计或多计质量在大球引力场中受力合力，就从数理上得出浮力形成的根源是万有引力。

关键词：万有引力  引力场  上浮力  下沉力  浮力

引言

阿基米德定律是一反复实验得出的力学中的基本原理之一，又称浮力定律，应用范围限于静止流体。盐丘是一地质现象，它形成于由最初的水平，经漫长的时间后凸入密度大于它的上覆泥岩^[1]。因盐丘不是流体，为了解释这一现象，做了容器中融化石蜡实验，待石蜡冷却后倒入适量水银。数小时后石蜡凸入水银，22小时石蜡凸出水银^[1]。根据这一实验，认为盐丘的形成是密度差导致^[1]。这就让人提出这样问题，固体中存在异于固体密度的物体是否也存在浮力？通过以万有引力为基础的数理探讨，得到浮力形成的根源，并证明浮力与物质是什么体态无关。

1、问题解决用到的基础理论^[2]

万有引力定律数学表达如下：

…（1）

式中：G万有引力常数，m₁、m₂物体质量；r质量为m₁、m₂之间质心间距离；F引力，引力方向在m₁、m₂质心连线上

根据式（1），设其中一质点的质量为M，另一质点质量为1，两质点间的引力可表示为：F=-GM/r²。因而形成质点为质量M的引力场，这时的引力称为引力强度，用E表示。定义如下：对于任意质量为M质点，质点在距离为r的一单位质点p所产生的引力场强度（或简称引力场，即一单位质点在p点所受引力）E为：

…（2）

假设图1中小球O₁的存在，不影响大球的正球形形态。图1中给出各种参数，在这些参数下，假设小球密度也为ρ，大球内、外引力强度，根据式（2）积分为：

…（3）

…（4）

为方便后面的叙述，式（3）、（4）的引力强度称为大球引力强度。

根据（3）式，大球内同球面上引力强度、相同质量质点的受力相等方向均指向球心；同球面上压力、引力位相等；同球面压力、引力位上横向梯度为零，纵向梯度值相等；引力线垂直球内任意球面且指向球心O。具有同心多球层的球这些球内性质同样成立。球内性质使得大球内所有质点均处于平衡稳定静止状态。

2、小球少计与多计质量引起的引力强度

上面计算大球引力强度时，对于ρ＜ρ_x2时，任意质点上少计的质量为-Δv(ρ-ρ_x2)；对于ρ＞ρ_x1时，任意质点上多计的质量为Δv(ρ-ρ_x1)。前者设为正质量，后者自然为负质量。由上面讨论少计与多计质量可统一为：

Δm=-Δv(ρ-ρ_xi)  i=1或2  …（5）

根据(3)、(4)、(5)式，在以O₁为极坐标原点的坐标系中，小球少计与多计质量的形成的引力强度记为小球增量时，小球内、外小球增量为：

…（6）

…（7）

上式当i=2时，小球增量的方向指向小球球心，称为小球负增量；当i=1时小球增量的方向背向小球球心，称为小球正增量。在大球内小球增量和大球引力强度的引力线见图2。

图2中，所有线段，以AA′为对称，经O₁的线段与相应的经O的线段互相垂直，垂足分别为S、U、R、W、Z、X。这些垂足点与O₁和O共圆，见图2中圆心为O₂的圆。在大球内任意点上的大球引力强度，去掉小球正增量或加上小球正增量，就得大球内实际上的大球内引力强度展布。

图2中，任意经O的大球直径上，小球增量可分解为平行于和垂直该直径的两个分量。前者称为小球平行增量，后者称为小球平行增量。小球正增量平行分量称为小球平行正增量，垂直分量称为小球垂直正增量；小球负增量平行分量称为小球平行负增量，垂直分量称为小球垂直负增量。

以GG′为例，小球平行增量在R点为零，由此点向两侧，沿GG′值不为零。对于小球平行正增量，在RO段上，小球平行正增量方向与大球引力强度方向在该线段上同向，均指向大球球心；在RG和OG′两段上，小球平行正增量方向与大球引力强度方向在该两线段方向相反。这一规律在经O的任意直径上均存在，可以得到如下的规律：图2的圆O₂的圆上小球平行正增量为零，圆O₂圆内任意点上的小球平行正增量与大球引力强度相加后绝对值增大，这一区域命名为阳；圆O₂圆外小球平行正增量与大球引力强度相加后绝对值减小，这一区域命名为阴，见图3A。对于小球平行负增量，则与上述情况相反，圆O₂圆内为阴，圆O₂圆外为阳，见图3B。

图2中，在AA′上小球垂直正增量为零，由此向两侧任意经O的大球内的任意点上小球垂直增量直径均不为零。以GG′为例，小球垂直增量方向指向左侧左下方，与GG′对称的TT′，小球垂直增量方向指向右侧右下方。这些规律在其它任意对称的直径上与之相同，见图3A。对于小球垂直负增量，与上相反，见图3B。

图3

3、小球在大球内的不稳定性分析

通过第二部分的分析，小球增量的存在，大球内的所有质点，根据球内性质，均处于不稳定状态。有无规律可循？下面分析之。

一、根据图3A，小球平行正增量使得大球内分为阴阳两个区域，形成“负阴抱阳”。在圆O₂外的阴区，任意点上的小球平行正增量与大球引力强度反向，在大球引力强度下任意点压力为p(＞0)的话，该点因小球平行正增量的存在，使得该点压力要减小Δp(＞0)，即圆O₂外的阴区压力均降低，以小球相邻区域变化最大。而圆O₂内的阳区，任意点上的小球平行正增量与大球引力强度同向，在大球引力强度下任意点压力为p(＞0)的情况下，该点因小球平行正增量的存在，使得该点压力要增加Δp(＞0)，即圆O₂内的阳区压力均增高，以小球相邻区域增大最多。这一减一增促使，为使大球内所有质点稳定平衡，在纵向上所有质点都运动，但质点运动力存在差别，这种差别上半球大于下半球。对于小球平行负增量，也存在以上规律，仅是方向相差180度，故不再赘述。

二、图3A中，小球垂直增量左右镜像对称。同半径上小球垂直正增量上半圆由对称轴处两侧小球垂直正增量方向相反，两侧沿任意半径不断增大对称角度的改变，小球垂直正增量方向左侧向左下方向不断变化，右侧向右下方向不断变化，到对称角度为90度，小球垂直正增量均垂直向下；尔后随着对称角度的不断改变，小球垂直正增量方向左侧向右下方向不断变化，右侧向左下方向不断变化，到对称角度为180度，两侧小球垂直正增量方向相对。小球垂直正增量对大球球内任意点同样产生压力Δp(＞0)，这一压力Δp上部半球内物质具有向下球运动的趋势，下半球的物质具有由两侧向中部汇聚的势态，这种汇聚势态形成对上部的支撑势态。小球垂直正增量的变化最大的地方在小球周边，上半圆的小球垂直正增量总体大于小圆下半部。小球平行负增量，也存在以上规律，仅是方向相的不同，不再赘述。

三、通过以上的讨论，小球正增量使得大球内所有质点均处于不稳定状态，根据前面的分析：1.全球的阴区处于减压状态，在垂直正增量的作用下所有大球内质点具有向大球球心底部汇聚的势态，这一汇聚的势态具有对上部到支撑作用。这种支撑作用与圆O₂由小球平行正增量形成的增压叠合，从而形成对小球O₁支撑向上的作用力。2.小球周边小球平行正增量使得顶部减压最大，顶部的最大减压，相当于对小球提供上提力；小球周边小球垂直正增量，使得小球周边出现横向减压，相当于减小对小球横向挤压。3.上面这些力的合力就形成了小球与大球间的相互作用力。对于小球负增量，则与相反。小球与大球间的相互作用力具有怎样的表达式呢？下面就求算这一表达式。

4、小球物质与大球物质间相互作用力的分析计算

小球与大球间相互作用力的该如何分析计算？下面分两种方法计算：1.小球增量场下的计算，2.大球引力强度场下的计算。

4.1、小球增量下小球与大球间相互作用力的分析计算

图4为图1经O₁O的剖面，这一剖面与x轴正向最小夹角为θ。在图4中，AD经过O₁，与z轴的夹角为α。OF⊥AD，OF=lsinα，O₁F=lcosα，AF=DF=(R²-OF²)^1/2，于是可得A和D点到O₁的距离分别为：

…(8)

…(9)

AD上任意一点小球增量为（6）、（7）。在AD上E点任取一小体积dv，其质量为ρdv，所受到的力为：

……（10）

图4中，A′为A的对称点，在AA′段内，O₁A,O₁A′任意对称点小球增量数值上相等，方向相反。因此沿线段AD上所有质点，在小球增量引力场中，所受到的合力，计算DA′段上就可以。式（10）可分解为两个分量，一个平行于z轴，一个垂直z轴。垂直z轴分量，根据图4，由于存在对称性，小球增量场下，大球所有质点受力的垂直z轴的合力为零。所以仅需计算小球增量场下，大球所有质点受力的平行z轴的合力即可。于是大球内平行z轴任意质点力为：

……（11）

式（11）各参数取值范围r∈[，]；α∈[0，π/2]；θ∈[0，2π]。对式（11）积分求得。

…（12）

式（12）中，i=1，F_z大于零；i=2，F_z小于零。

4.2、大球引力强度下小球与大球间相互作用力的分析计算

图5为图1经O₁O的剖面，这一剖面与x轴正向最小夹角为θ。图中OC与z轴的夹角为α，O₁D⊥OC，OA、OB与圆O₁相切，A、B为切点。通过计算得OE和OC的长度分别为：

上面二式中α的取值最小为零，最大取值为OA或OB与z轴的夹角arcsin（r₀/l）。

图5中EC段上任取一小体积dv，其多计或少计质量为式（5）。多计或少计质量在大球引力场下的受力为：

…（15）

（15）式的质点力在图5示的z轴的投影为：

…（16）

（16）式中r最小取值式（13），最大取值为（14），α∈[0,arcsin（r₀/l）],φ∈[0,2π]。由于（15）式垂直z轴的分量存在对称性，于是所有多计或少计质点质量受力合力有以下积分计算求得：

…（17）

（17）式中设x=cosα

…（18）

（18）式中设和

于是（18）式为：

…（19）

对A进行积分：

…（20）

由（20）式可得A为：

…（21）

对B进行积分：

…（22）

由（22）式计算可得B为：

…（23）

将（23）带入（19）中：

…（24）

4.3、小球与含多球层大球间相互作用力的分析计算

对于多球层球，如图6所示，任意一球层上含有半径r₀的小球，内球和各球层半径如图中所标示，内球和各球层密度由内而外逐渐变小，小球密度图中也有标示。此时小球与大球间的相互作用力，采用前述的任意一种计算办法求出，故下面直接给出结论。

…（25）

5、所得公式的物理意义

上面通过小球增量场和大球引力场下得出同样的数学表达式（12）、（24）。它具有怎样的物理意义呢？下面先对小球密度为ρ_x1时讨论，对于公式（24）下面做如下的变换，得：

…（26）

式（26）中含有万有引力常数G，4πr₀³(ρ-ρ_x1)/3为小球多计的质量，4πl³ρ/3为半径l内球的质量，l为O₁到O的距离，显然是万有引力公式差一个负号的表达。因此，多计质量的小球与半径为l的球间形成相互排斥的力。对于式（25）通过变换，也有同样的结论。当i=2时，可得出少计质量的小球与半径为l的球间形成相互吸引的力。对（25）式做如下的变换：

…（27）

式（27）中4πr₀³(ρ-ρ_x1)/3是小球多计的质量，-4πGρl/3为大球内大球引力强度。从这一表达式看，位于均匀大球内的小球，是小球多计的质量与大球内引力强度乘积。这一结果是大球内所有质点，由小球正增量引力场受力的代数和，转变为小球多计质量在大球内大球引力强度场中，小球多计质量质心受力。对于这一现象可以进一步这样解释，大球内的任意质点，受到来自大球引力强度场的作用力和小球增量场的作用力的双重作用。前者质点受力方向均指向大球球心，以保证大球物质为球形和稳定，从而使得每一质点为锚点；而大球质点在小球正增量引力场的受力，在锚点的作用下，通过引力场作用到O₁点，因而才出现了：小球多计的质量与半径为l球的大球引力强度的乘积，其方向背离大球球心。对于式（25）通过变换，也有同样的结论。当i=2时，可得出少计质量的小球与半径为l的形成的大球引力强度的乘积，其方向背离大球球心。对式（27）式做进一步的变换：

…（28）

式（28）分为两项，前一项为-ρv_球E(l)大于零，由于F_z平行z轴，该项的方向背离大球球心，它是密度为ρ_x1的小球，排开大球体积v_球，在大球引力场下于小球质心处产生的一种排开大球物质的引力，方向背离大球球心；后一项ρ_x1v_球E(l)是小球在大球球内大球引力场下，于小球质心产生的引力，方向指向大球球心。这一结果与已知的物体浸在静止流体中受力是相同的，因而比对流体中物体的受力，可推出式（28）中的第一项应是小球在大球引力场下受到的浮力，第二项为是小球在大球引力场下在大球引力场中所受引力。对于式（25）通过变换，也有同样的结论。当i=2时，也有上述同样的结果。

通过上面讨论，当（12）、（24）、（25）三式中，i=1时，小球密度小于所栖位置的密度，小球具有上浮力；i=2时，小球密度大于所栖位置的密度，小球具有下沉力；小球上浮力和下沉力都是浮力与引力之间的差。

6、成果总结

小球栖居于大球中或大球的圈层中，改变了大球球内引力场，不符合球内物质稳定性质，从而造成大球物质所有质点和小球物质所有质点的不稳定，质点间通过引力场形成相互作用，从而形成大球和小球之间的相互作用力。这一相互作用力与是否是流体不存在任何关系，即便全是固体这些力照样存在，与球内所有质点有关，即具有全球参与的特征。将这一特征命名为共同作用定理，其内容如下：存在于大球中的小球，大球的所有质点与小球所有质点间，不以物质的相态而存在相互作用力。

根据上面的分析，存在于大球内的小球具有受大球排斥或吸引的受力特征。将排斥力这一特征命名为上浮力定理，内容如下：存在于大球中的小密度小球，受到不以物质的相态而存在的大球的排斥力，排斥力的大小为小球多计质量与大球在小球质心处大球引力场强度的乘积。同样，将吸引力这一特征命名为下沉力定理，内容如下：存在于大球中的大密度小球，受到不以物质的相态而存在的大球的吸引力，吸引力的的大小为小球少计质量与大球在小球质心处大球引力场强度的乘积。

上述上浮力和下沉力均有引力、浮力两项组成，根据上面分析对浮力定义如下：存在大球中的小球所受到的力，不以物质的相态而存在，小球受到的大球作用力等于该小球排开大球物质受到的负引力，方向背向大球球心，数学表达式为：，。有这一定义看，流体力学中浮力称为阿基米德定律，在没有上述论述前，称定律无疑是正确的。现在从最基本的万有定律中推出浮力，浮力再称定律无疑不妥，因此建议将上述给出的浮力定义称为浮力定理。

7、结语

上面从力学最基本定律万有引力定律，找到浮力存在的数理根源，进而得到共同作用、上浮力、下沉力、浮力四个定理。它们的得出对本文引言提到的盐丘形成解释，无疑提供了方便，从而得知盐丘形成的动力是浮力。本文是否正确，还请老师们批评指正！（2024年01月06日完成于哈尔滨香坊）

参考文献

[1]昆明地质学校主编  构造地质及地质力学，地质出版社[M]  1979年8月  第60页

[2]傅承义 陈运泰 祁贵仲  地球物理学基础  科学出版社 [M] 1985年6月  第6-9页

[3]谢树艺  矢量分析与场论  人民教育出版社[M]  1978年12月 第1-10页