实无限的反例：自然数集合的非唯一性

摘录 由于康托并不知道自然数集合不是唯一的，所以出现矛盾后他找不到产生矛盾的根源，于是误把矛盾的根源说成是由于可数“假设”不成立所致......

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当我说到自然数集合不是唯一的时候，除了林益等熟知我的思想的群友外，绝大多数人都会感到茫然甚至表示反对。确实，如果从静态的角度来说，即把自然数集合看作是一个已经完成了的、不再变化了的无限集合，很容易证明自然数集合是唯一的:如果存在两个已经不再变化的自然数集合，其元素都只能是自然数且不再变化，因此外延必然相等，当然是同一个集合。

在数学上，通常将自然数集合定义为已经包含了所有自然数的集合。这个定义看上去似乎也很清楚，由此也完全可以得出自然数集是唯一的这个结论:既然已经包含了全体自然数，这些自然数当然不可能不一样，怎么可能有不一样的自然数集合呢？

一切似乎都很清楚。

然而，事情真的那么简单吗？

数学是严格的，不能引入任何未必可靠的假设。

可惜的是，人类的思维能力还远没有严格到能保证不引入任何不可靠假设的程度。相反，在很多推导中，人们往往在不知不觉中引入了一些似是而非的假设还不自觉，从而导致了结论的不可靠性。

以上述推导为例，实际上都存在着一个未加证明的假设:存在着一个已经完成了的，不再变化的自然数集合。为讨论方面，以下将该假设称为自然数集合的完成性假设，简称为完成假设。

说这个假设未加证明，倒也不完全对。根据实无限观，无限是能够完成的，因此，作为一个无限集合，自然数集合当然也是能够完成的。因此，完成假设是可以用实无限观加以证明的。

问题在于，实无限观本身也是一个假设，从来没有人能够加以严格的证明，而且还存在着大量的反例。

例如，无论是根据皮亚诺公理还是根据无穷公理，任何一个自然数都是有后续的，也就是说，自然数是可以通过加1不断增加的，即使给你无限的时间和空间，这个过程也永远不可能完成。这是因为，一旦完成，也就意味着没有后续了。

任何普遍成立的东西都是不应该有任何反例的。因此，实无限观并不普遍成立， 完成假设当然也就不成立了。

再比如，任何数学定义都必须首先保证其定义对象的存在性。

例如，欧氐空间中根本就不存在正十面体，因此，在欧氐空间定义正十面体是没有意义的。如果一定要定义，可能就会形成另外一个非欧几何。

同理，自然数集合的定义必须建立在所定义的自然数集合的存在性基础上。

例如，如果将N定义为包含了全体自然数的集合，首先必须保证”全体自然数”这一概念的存在性。在数学上，“全体自然数”通常有两种意思，一种是不能排斥任何一类自然数，例如，偶数集合中没有奇数，因此，虽然任何一个偶数都是自然数，但是我们不能把偶数集合称为自然数集合， 因为它排斥了奇数。如果仅仅从这个角度，全体自然数这个概念当然是成立的。但另一个意思是在”全体自然数”外我们找不到任何一个自然数。这个概念就有问题了。如前所述，自然数是可以通过加1不断增加的，除非这个过程能够终止，即不再有其他自然数了  才有可能形成全体自然数。然而，这个过程不可能终止，所以不可能形成全体自然数。

这里要注意逻辑的因果关系，因为加1过程不能终止，所以不能形成全体自然数，不能倒过来说，因为存在全体自然数，所以这个加1过程能够终止。例如，有的人经常说，自然数集合的形成过程中，加1过程是不能终止的，但一旦形成了包括全体自然数的自然数集合，既然已经包括了全体自然数，即使加1也仍然在这个集合内。

这里就有因果倒错的成份:既然加1过程不能终止，如何形成包含全体自然数的集合呢？既然无法形成包含全体自然数的集合，又怎么可以定义并讨论这样的集合呢？

严格的数学推导只能一步一步来，不能跳过任何一个环节，尤其是不能跳过关键性的步骤，否则的话，就不难得到任何所想要的、甚至是互相矛盾的结论，这哪里还是推导，根本就是在硬凑所想要的”答案”。

既然没法从逻辑的角度用演绎的方法证明自然数集合是唯一的，那我们就试试归纳法，先去看看实际情况吧。

任何数学概念都是可以应用的，否则就没有存在的必要。当我们在用自然数集合这一概念时，自然数本身往往是有具体单位的。这时，用不同的单位所对应的自然数集合通常是不一样的。比如，假定有无限多人民币，用自然数集合来表示的话，既可以表示成{1分，2分，3分……}也可表示成{1元，2元，3元……}，如果自然数集合是唯一的，就会得出1分=1元这一荒唐结论。

自然数集合不唯一的另一个例子是由两个无限班级组成的无限学校：假定A班每招一个学生，B班必须招两个学生，且两个班级的招生都永不停止。称学生在班级里的排列结果为班学号，则如果在学校里也排列的话，还存在着校学号，A班的班学号和B班的班学号以及校学号都是自然数集合。这3个自然数集合显然不可能是同一个集合。

不但用任何一个反例即足以推翻自然数集合是唯一的这个命题，用演绎方法也可以严格证明自然数集合不是唯一的。 

 为了保证推导的严格性，首先要定义元素数目这个概念。

   定义1:对元素进行计数的结果称为元素数目。

   由于计数本身是“每数到一个加1”的加法过程，所以元素数目具有加和性。

   对无限集合，其计数结果不可能用任何一个自然数来表示。这并不意味着无限集合的元素数目是不存在的，事实上，当我们在说无限集合的元素数目是无限多的时候，其实已经承认并应用了无限集合元素数目这一概念了，只是不能用任何一个有限的自然数来表示其值而已。为了讨论方便，不妨暂时借用数学分析表示发散的符号∞来表示无限集合的元素数目。但要注意，这里面∞并不是发散符号，而是表示无限集合元素的数目的一个符号，因此具有可加性，例如∞+1>∞。

   虽然我们给不出任何一个无限集合元素数目的具体数值， 但可以给出它们的相对数值。例如，定义N₁={0}UN，则根据元素数目的可加性，N中无0元素时，N₁比N精确地多了一个元素。

命题1 自然数集合不是唯一的。

证明1 假定N =｛1,2,3,...｝是唯一的，即不存在其他自然数集合，将N中每个元素加1得到集合{2,3,4.... }，其元素数目与N相同，然后令N*=｛1｝∪{2,3,4.... }={1,2,3... }，显然，N*也是自然数集合，但N*中自然数的数目比N增加了1个,与N不是同一个自然数集合。证毕

证明2设N={1,2,3……}，定义A₁={y|y=2x,x∈N}={2,4,6,……}，A₂={y|y=2x-1|x∈N}={1,3,5,……}，由于A₁和A₂都与N严格一一对应，所以A₁和A₂的元素数目都与N精确一致，因此，根据元素数目的可加性，自然数集合A₃=A₁UA₂的元素数目是N的两倍,与N不是同一个自然数集合。证毕

在严格地证明了自然数集合的非唯一性后，很多数学问题都可以得到很好的解决。

例如，伽利略悖论虽然诞生至今已近400年， 但在数学史上始终有着重大影响。

所谓伽利略悖论，是指自然数中的偶数数目，显然只有自然数的一半，但偶数又能够与自然数建立一一对应(见A₁)，这又意味着偶数与自然数是一样多的，这就形成了悖论。

  为了“消除”该悖1论，康托只好避开直观，精确的元素数目概念，建立了公然把一半的元素和全部元素混为一谈(即具有相同基数)的所谓基数理论。

  这似乎很像以下做法:当我实在分不清楚1和2的区别时，就干脆说1=2？

  用自然数的非唯一性却可以很容易地解释伽利略悖论:既然自然数集合不是唯一的，偶数集合当然也不可能是唯一的，因此，由于只有一半自然数的偶数真子集（以下用E表示）和A₁的元素数目不同，就说明它们本来就是两个不同的偶数集合，何来悖论？

这样一来，也根本不存在自然数集合N可以与E一一对应之说：能与自然数集合一一对应的A₁根本就不是E，当然也根本不需要所谓无限集合可以与其真子集一一对应这一牵强附会且显然错误的理论来解释伽利略悖论了。

自然数集合的不唯一性，还能够解释为什么包含自然数集合N在内的，其元素比N显然多得多的有理数集合Q可以与自然数集合一一对应:与Q一一对应的自然数集合并不是Q所包含的自然数N，而是另一个比N大得多自的自然数集合。

 相反，如果硬要认为Q可以与Q所包含的N一一对应的话，就会陷入部分可以等于整体这一反直觉的悖论。

   既然自然数集合不是唯一的，与自然数集合一一对应的表示小数位数的集合，当然也不是唯一的，也就是说，即使都是无限小数，小数位数也并不一定都一样，这样就会导致比较复杂的局面。为此，严格地说，我们应该在无限小数位数相同的情况下讨论问题，否则很容易导致反直觉的悖论。

   为了叙述直观，不妨先以有限小数为例。1m长线段上，二位小数有100个，1㎡的平面上，一位小数也有100个，这两者之间当然可以建立一一对应，但显然不能因此说，平面上的点与线上的点一样多，这是因为，两者的小数位数不同，没有可比性。

   在康托的证明中，分别取线段上任一无限小数a的偶数位和奇数位形成的小数作为平面上的小数。显然，其小数位数只有a的一半，对照前述的有限例子可见，得到线段上的点可以与平面上的点一一对应毫不奇怪。然而，由于小数位数不同，这种证明并无任何普遍意义。

 再比如，没有任何理由可以反直观地认为存在的东西是不能一一列出的，因此，假定我们有无限个无限小数，当然就可以将其一一列出：

a₁：0.a₁₁a₁₂a₁₃...

  a₂：0.a₂₁a₂₂a₂₃...

  a₃：0.a₃₁a₃₂a₃₃...                                                                                           （1）
...... 
 

其中，a_ij 的列标j(j=1,2,3......)表示小数位数，行标i(i=1,2,3......)表示小数个数。两者都可以表示成自然数集合，不妨分别用N和N'表示这两个集合。显然，如果认为自然数集合是唯一的，则N=N'，这就必然导致小数位数等于小数个数这一完全不符合事实的结论：无论是有限还是无限，二进制以上的小数个数必然是远远大于小数位数的，不可能相等。因此，只能是：

N≠N'                                 （2）

这倒正好符合命题1。          

事实上，无论是对角线证明还是康托定理，实际上也都证明了（2），只是康托本人并不知晓而已。

以对角线证明为例，设

  b=0.b₁b₂b₃...，                         (3)

 式中

 b_k≠a_kk, (k=1,2,3,...)                     (4)

 显然，由(3)(4)可见，b不同于(1)中的任何一个小数,从而似乎与(1)已经一一列出了所有小数矛盾。康托据此认为小数是不可数的。

然而，他没有想到的是，由于a_k的下标和a_kk中的第一个下标都属于集合N'，而a_kk中的第二个下标却属于集合N，既然三个下标始终用同一个k来表示，这就意味着(3) (4)式只有在N'=N这一错误假定下才成立。

既然 N'=N 这一假定错误，由此推导出来的结果又怎么可能没有矛盾呢？因此，所谓的矛盾只是N'=N这一假定所致。也就是说，对角线只证明了(2),与N'可数与否无关。事实上，N'本身就是自然数集合，何来与自然数集合不能一一对应之说？

所以，问题仍然出在康托误以为自然数集合是唯一的这一错误认识：由于他并不知道自然数集合不是唯一的，所以出现矛盾后他找不到产生矛盾的根源，于是就只能把矛盾的根源说成是由于可数“假设”不成立所造成的。

由于无论是对角线证明还是康托定理，都没有证明小数不可数。我在以前的博文中还证明，区间套法也没有证明实数不可数。因此，所谓无限统假设以及大基数理论，都没有任何意义。

 数学史绕了一个大大的弯路。

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   数学史上曾经有过直觉主义和逻辑主义的争论。然而，在科学的发展过程中，只强调某一侧面的某种主义只能存在于某一发展阶段中，全面的，面面俱到的科学中不应该长期存在着只强调某一个侧面的主义。例如，直觉和逻辑就应该是统一的。事实上，人的直觉，除了错觉，都是正确的。因此逻辑和直觉应该是统一的。如果两者发生矛盾，以人类目前的逻辑思维能力而言，大概率是逻辑错了， 这时就应该仔细检查逻辑中的错误，而不应该幻想着“逻辑是可靠的，直觉是不可靠的”，然后让错误延续下去。事实上，直觉如果发生错误，总是能找出错误的原因的，比如说观察范围太小(井蛙观天)等，如果永远找不出原因，大概率就是逻辑错了。

   本文证明了康托很多反直觉的东西，其逻辑都是错的。

   例如，直觉告诉我们，任何确实存在的东西都是可以一一列出的，而任何可以一一列出的东西都是可以用自然数编号的，即可以与某一个自然数集合一一对应的，而且，自然数集合又不是唯一的，因此，不应该存在任何所谓的不可数集合。  

   但康托居然用错误的逻辑“证明”了不可数集合的存在。