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摘要:证明了在任何情况下,∞+1=∞ 不成立,认为∞是一个能表示发散的、符合四则运算规律的数或变量。
在传统数学中,
∞+1=∞ (1)
通常是用来表示无穷大的性质。其意思是无论你在无穷大的基础上加上任何一个有限的数,结果仍然是无穷大。
然而,这种说法过于粗略。
证明(1)的方法是使用数学分析的方法。假设我们有一个无穷大的序列a1, a2, a3, ...,那么当n趋近于无穷大时,这个序列也趋近于无穷大。现在我们加上1,得到序列a1+1, a2+1, a3+1, ...,但是无论加多少个1,这个序列仍然趋近于无穷大,由此即得(1)式。
然而,从这个证明过程可以看出,由于无限序列
a1, a2,a3,…… (2)
和
a1+1,a2+1,a3+1,…… (3)
并不相同,所得到的∞末必相同,不应该用同一个符号表示,否则很容易把它们看作是完全相同的,从而造成一系列思想混乱。
在数学分析中,通常∞是一个表示发散的一个符号,似乎不把它当作一个数或变量。但在(1)式中,实际上已经把它当做数或变量在用了:如果不是数或变量,怎么能够加1,又怎么能够用等号联结?在求两个无穷大的比值这一不定式时,其实也是把它作为数或变量在应用,否则怎么可以求商?
既然是数或变量, 就应该符合四则运算,不同的数和变量也必须用不同的符号来表示,不能一律都用∞来模糊地表示。
例如,没有理由认为对序列(2)和(3)求极限的结果是一样的,不应该用同一个符号表示,也就是说,无法用数学分析来证明(1)。如果分别用∞和∞*表示对(2)和(3)求极限的结果,则(1)式应该改写为
∞+1=∞* (4)
且没有理由认为∞=∞*。事实上还很容易证明两者不一样:
n→∞时,
lim(an+1)- lim (an)=∞*-∞= lim (an+1-an)=1≠0 (5)
证明(1)的另一个方法是集合论中的无限旅馆悖论,该悖论认为,设无限多的旅馆住了无限多的旅客并已客满,并用∞表示旅客数,则再来一个旅客仍然能住,即(1)成立。
然而,旅客数不过是数数的结果,而任何数数都不过是一种加法:每数一个旅客,在数数结果上加1,对于无数个旅客,数数结果就是
∞=1+1+…… (6)
也就是说,虽然无穷大加1,得到的还是无穷大,但没有理由认为加1前的无穷大和加1后的无穷大完全一样,没有任何变化。
为此,本文将(1)改写成
∞+1=∞′,并证明了当(6)成立时∞≠∞′,(1)并不成立。
命题 若(6)成立,并设∞+1=∞′,则∞≠∞′。
证明(反证法):
设
由于∞是加法的结果,故其逆运算即减法也成立,故(6)可改写为
∞-1-1-……=0 (7)
假定
∞+1=∞ ,即 ∞=∞-1 或
∞-1=∞
由于∞减1后完全不变,再减1后也完全不变……减无数个1后也不会变,即
∞-1-1-……=∞ (8)
显然与(7)矛盾,所以,原假定∞+1=∞ 不能成立,即∞+1≠∞,证毕
由此可见,无论是数学分析还是集合论中的无限旅馆悖论,都无法证明(1)成立。
事实上,任何悖论都是一种自相矛盾,例如在无限旅馆悖论中,已经客满了的旅馆,还可以加人,说明又没有客满,既客满又没有客满,显然是一种自相矛盾。把自相矛盾看做是无限的特点,本身就说明相关的理论是自相矛盾、完全错误的。这是因为,严肃的科学不允许任何自相矛盾,所以,用自相矛盾的悖论来证明任何一种命题本身就是一种不严肃的行为。
有的人认为可以用基数理论来解释无限旅馆悖论:根据现在的基数理论,无限集合是可以与其真子集一一对应。然而,在无限旅馆悖论中,无论是旅客数还是房间数,都是集合的元素数目,而元素数目并不一定是基数,所以无限旅馆悖论并不能用基数理论来解释。何况,笔者上一篇博文的命题8,已经证明了无限集合不可以与其真子集一一对应。
其实,既然把∞看作是一个数或变量,(1)就不可能成立:哪一个数或变量加1后精确地还是它自身?为了掩盖这个矛盾,就把∞看成是一个不是数或变量的符号,包括(1)在内的很多东西又无法解释。如果把它看成是无限本身具有的特点或性质,只能说明现在的无限理论根本就是自相矛盾的。
正确的做法是:承认∞是一个能表示发散的数或变量,并以此为基础,厘清数学中约的有关内容:在数学分析中,严格区别不同的无穷大,必要时必须用不同的符号例如∞1,∞2......来表示;在集合论中,也要做相应的修正,比如不能再允许任何悖论的存在。 相容集合论就是以消除任何悖论为宗旨的新的集合论。
此本文提出的这个证明,对传统数学是有根本性冲击的:严格来说,在任何情况下,(1)都不可能成立。
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GMT+8, 2023-9-25 21:13
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