摘要：本文基于徐光启版《几何原本》重新审视测度问题，并提出积度原理和方法。根据徐版《几何原本》，0与无穷小具有本质区别，线不能由点构成，线只能由无穷小的线段构成；面不能由线构成，面只能由无穷窄的面构成；体不能由面构成，体只能由无穷薄的体构成。由此出发，对测度进行重新研究，并利用祖暅定理，提出积度的理论和方法。

关键词：测度、积度、几何原本、祖暅定理

本文基于徐光启版《几何原本》（以下称中国版《几何原本》）重新审视测度问题，并提出积度原理和方法。

一、不可数证明方法的问题

在实分析中，整数、有理数是可列的，而实数是不可列的。证明实数不可列的方法是，假设（0,1）中的全体实数可排列成一个序列：

将每个表示成正规的无穷小数（所谓正规的无穷小数，即指小数位不全为9，且不以0为循环节的小数）：

......

现在设法在（0,1）中找一个与所有这些实数都不同的实数，为此利用对角线上的数字（=1,2,...）作一个无穷小数如下：

其中，若则；若则。则此无穷小数的各位数字既不全是9，也不以0为循环节，是（0,1）中某一实数的正规表示。但此无穷小数与每一个的正规表示都不同，不在（0,1）中，因此（0,1）是不可数集合。证毕。

以上证明方法的问题是：要证明（0,1）实数集合不可列，不能仅仅提出一种方法不可列，而必须证明所有方法均不可列。否则，我们可以用同样的方法证明整数集合亦不可列。证明如下：

将全体整数排列成一个序列：

将每个表示成十进制整数：

......

现在设法在整数集合中找一个与所有这些整数序列都不同的整数，为此利用对角线上的数字（=1,2,...）作一个无穷整数如下：

其中，若则；若则。则此无穷整数的各位数字与每一个都不同，不在以上整数序列中，因此整数集合是不可数集合。证毕。

同理，亦可证序列不可数。

出现此悖论的原因，在于此证明只证明了一种方法不可数，而并没有证明所有方法均不可数。更深层次的原因是此序列无穷，利用对角线上数字构造的新数的位数也无穷，永远不可能构造完毕，故其结果不可证。

二、数的无穷项表达：部分和、增项与值波

当一数表达为无穷项级数之和时，此数未必是确定数值，而可能是随着的增加而变化的数值，可将其视为随增加而变化的波（此波可能为一点，亦可能为震荡，亦可能为发散，本文称为“值波”）。例如：，随着项数的增加，的值在2和1之间波动，永无定值。本文有以下结论：

（一）部分和与增项的划分，决定一个无穷级数

例如：，其增项与之前的增项不同，所以和不能视为同一个无穷级数。对于有限项级数之和，改变各项顺序不会改变和值。但无限级数之和是随变化的值波，改变部分和与增项的划分，就可能改变值波的分布。从上述和的取值来看，是把的单一取值1展开成了2和1之间摆动的值波，而是把在2和1之间摆动的值波合并成了单一取值1。但是，只要划定了部分和与增项，则无穷级数就被唯一确定，此时在内部是可以任意调换各项顺序的，因为在既定时，部分和总是有限项之和。

对同一个无穷级数进行不同的部分和与增项划分，若得到的值波不同，但却强令其值相同，必然会出逻辑矛盾。而根据《墨经.经说下》的逻辑原理：“若是而彼此也，则彼亦且此此也”，这就是说，若一逻辑体系内存在矛盾命题，则此逻辑体系可以推导出任何结论。因此我们可以推导出此无穷级数可以为任意值。例如：

                               （1）

（式子含义是）（2）

现在任意选一值，例如要证明。证明如下：

，故

故

故

故

证毕。

出现以上矛盾的原因在于：（1）式和（2）式中的增项虽然都为0，但（1）式中的部分和为1，（2）式中的部分和为1+1，所以是不同划分，其值波不同。

三 数的表达

理论上说，任何实数均可用无穷级数来表达。但只有有理数和整数能表达为有规律的部分和与增项，无理数的部分和与增项并无规律可言。换言之，无理数是不可用级数来精确表达的。使用等形式可以精确地表达无理数，但这只能表达极少数的无理数。既然无理数不可用级数来精确表达，自然亦不可用级数表达来证明其是否可数。而十进制就是级数表达。由于目前尚未找到通用的如同一样精确表达的无理数表达方法，所以无理数既不可证为可数，亦不可证为不可数。事实上，凡是可以用有限符号表达的无理数，都必然可以建立与整数的一一对应关系。

四 0、无穷小与

1、在实分析中，常把0与无穷小混同。例如实分析认为，对于连续单射，。但事实上此等式并不成立。因为，而。

2、，但是当时，的值则不一定为0。譬如设，则。这也正是趋于0的微分可以积分为非0数值的原理。假设因为而直接写作，则，其数值就完全错误了。

3、在实分析中是无穷大的数值，是没有意义的。但是事实上还存在着低阶无穷大和高阶无穷大的区别。例如，，都是的例子。

五 点、线、面和体的关系

在实分析中，点的集合构成线，线的集合构成面，面的集合构成体。但是在中国版《几何原本》卷一说：“点者无分，无长短广狭厚薄”，“线有长无广”，“线之界是点”，“面者止有长有广，体所见为面”，“面之界是线”。卷五第一界中说：“分者，几何之几何也。小能度大，以小为大之分。以小几何度大几何谓之分。曰，几何之几，何者谓非？此小几何不能为此大几何之分也。如一点无分亦非几何，即不能为线之分也。一线无广狭之分，非广狭之几何，即不能为面之分也。一面无厚薄之分，非厚薄之几何，即不能为体之分也”。因此依照中国版《几何原本》，点的大小为0，点只是线的分界，线并非由点的集合所构成；线的宽度为0，线只是面的分界，面亦并非由线的集合所构成；面的厚度为0，面只是体的分界，体亦并非由面的集合所构成。因此中国版《几何原本》否定了实分析关于点、线、面和体的关系，认为线只能由线来构成，面只能由面来构成，体只能由体来构成。

六 大几何与小几何：测度

中国版《几何原本》阐述了大几何与小几何的关系。小几何是测量工具的最小刻度，亦即最高测量精度，则大几何则是被测量的物体。若令为对被测物体所测量的数值，则的实际数值必须为最小刻度的整数倍，才会满足测度的可加性，否则只有测度的次可加性。

但是实分析的测度与测量工具的最小刻度无关，也即与测量工具的精度无关，事实上其与测量工具根本就无关。其直接将点集里点与点之间的坐标距离定义为测度。但这就出了逻辑矛盾：按此定义，任何一点的测度均应为0，而无理数的各点会被有理数点隔离，因此无法直接应用两个无理数之间的距离来作为此两数间的无理数测度值，而需要将两数间所有无理数点的测度进行加总来得到其无理数测度值。但无理数点集里所有点的测度加总应为0。而有理数点集里所有点的测度加总亦应为0。所以无理数点集与有理数点集加总后在整个实数集上的测度还是为0。这与点集中点与点之间的坐标距离为测度的定义矛盾。所以实分析认为有理数集可测而无理数集无限不可测，由此得到结论：单个有理数点的测度为0、有理数点集的测度亦为0，满足测度的可加性。而单个无理数点的测度为0、无理数点集的测度为两点之间的距离，不一定为0，不满足测度的无限可加性，而只满足测度的次可加性。从而试图在逻辑上自圆其说。

综合来看，中国版《几何原本》中有测度的可加性和不可加性，其取决于测量工具的精度和被测物体真实值是否可被最小刻度量尽。而实分析中也有测度的可加性和不可加性，其测度与测量工具无关，而是物体真实值（例如点集）的函数，其依赖于对无理数集不可数的研判，来构造不具有可加性的无理数测度，以满足实数集上的测度定义。但事实上无理数集的可数性是无法证明亦无法证否的。从测度的本义来看，正如中国版《几何原本》所说，直线不是点的集合，直线只能是线段的集合，因为点只是线之边界，点的长度为0，任意无限多点的集合，其长度仍然为0。长度无穷小的线段跟长度为0的点，有天壤之别：前者可以通过无穷累加而成一非零数值，后者则无论如何累加均为0。线与面、面与体的关系亦同理可推。只有在有限项相加时，高阶无穷小项才能等价于0。实分析混淆0与无穷小，认为线段的测度为点的测度之加总，面的测度为线的测度之加总，体的测度为面的测度之加总，违反了中国版《几何原本》“一点无分亦非几何，即不能为线之分也。一线无广狭之分，非广狭之几何，即不能为面之分也。一面无厚薄之分，非厚薄之几何，即不能为体之分也”的阐述，必然会出逻辑矛盾。

可以研判，西方各版本《几何原本》没有意识到中国版本《几何原本》的测度问题，而后来的实分析发现了中国版《几何原本》中关于测度的阐述，但仍未理解测度的真正含义。

按照中国版《几何原本》的逻辑，由于点的测度为0，所以点是不占据空间的，研究一个空间中有多少无理数点或有理数点，并无意义。如果我们真要从点的层面来研究线段，例如对康托尔三分集的研究，我们也必须写出无穷小线段的无穷小表达式，构建无穷小线段的集合，然后进行计算。在计算中可以按照高低阶无穷小混合计算的舍弃法则来合理舍弃高阶无穷小。只有这样的计算才是顺畅的。否则若把无穷小线段直接等同于测度为0的点，则必然出现逻辑矛盾。又如区间套定理，其认为所有嵌套的闭区间只有唯一公共点，这就是错误地把无穷小闭区间等同于测度为0的点（根据中国版《几何原本》，区间的边界是无穷小区间而不是点）。

七 祖暅定理与积度

（一）积分的本质

积分的本质就是累加。所有的积分都可以写为累加的形式：

                                     （3）

上式中表示无穷小的间隔。当然也可写为等其它符号（但不好表达原函数的微分），例如：

                                       （4）

如果是二重积分，则可写为（多重积分类推）：

                   （5）

对以上积分的求解是灵活的。黎曼积分的公式仍可用。例如：

                 （6）

（7）

（二）祖暅定理

祖暅定理说：“幂势既同，则积不容异”。有人解释“势”为高，这不正确。“势”的含义是极限。祖暅定理是说：“若（两函数值）极限相同，则两函数值的加总亦相同”。也即，若，则。使用祖暅定理可以简化积分的计算。利用此定理可得：

                          （8）

以上式子利用了：

，所以是的高阶无穷小，可以在（8）式中直接加上去而极限值不变。又，所以可以替换为而极限值不变。这样就有。注意，，并非的函数，这在使用对极限通过洛必达法则求导时需要注意的。

由上可知，祖暅定理赋予了积分极大的自由度，只要保证极限相同，就可以任意更换为各种函数，以及加减各种高阶无穷小项。通常是希望能构成等差数列相加，此等差数列即黎曼积分中的原函数。（3）或（5）式加上祖暅定理，远比黎曼积分更灵活。例如：

    可以通过累加和祖暅定理而很容易计算出来，但却难以通过黎曼积分来直接计算。脉冲函数亦可表达为。

（三）积度

   更一般地，可将（3）式写为（多重积分亦类推）：

                                       （9）

   但由（9）可知，即中国版《几何原本》中所说的（最小）刻度。积分所得数值，是以为最小刻度而度量出来的，比更小的数值无法通过度量出来。例若出现，则是的高阶无穷小，无法用度量出来，所以需要舍弃高阶无穷小。换个视角，若用作为最小刻度，则可以度量，也即不舍弃，但是，所以是否舍弃，对于计算结果的影响是无穷小。但必须意识到，这个无穷小毕竟不等于0，是其极限等于0。假如不舍弃，则最终计算结果中会含有要素，若对计算结果再无穷累加（譬如累加次），则项将会累加出非无穷小的数值，而这与0是不同的。当然，此时项通常会被累加到无穷大。所以在积分中被舍弃的无穷小，事实上是有精细的结构的。因此中国版《几何原本》卷一第四求中说：“长者增之可至无穷，短者减之亦复无尽。当见庄子称一尺之棰，日取其半，万世不竭，亦此理也。何者，自有而分，不免为有。若减之可尽，是有化为无也。有化为无，犹可言也，令已分者更复合之，合之又合，仍为尺棰。是始合之初，两无能并为一有也。两无能并为一有，不可言也”。这段话是说，将一尺长度永不停歇地去掉留存长度的1/2，留存长度永远不会为0（而为无穷小）。倘若认为留存长度为0，与无穷小的确可以等价。但如果进行逆操作而复合，则无穷小的留存长度不断乘以两倍，乘之又乘，终能又成一尺长度。而数值为0的留存长度则无论怎么乘都为0，不可能回复为一尺长度。再如有限覆盖定理的前提是任何区间套最后只有一个公共点，因此此点必然能被有限覆盖，与区间套内无限覆盖矛盾，从而得证可以有限覆盖。然而根据中国版《几何原本》，区间套的公共部分是无穷小的区间，而不是点。如果覆盖的开集也无穷小甚至高阶无穷小，此时有限覆盖定理就不可能成立。

    中国版《几何原本》卷五第一界说：“若不尽分者，当称几分”。而现有之积分，实际上恰恰是舍弃了不能尽分的高阶无穷小（几分），留下以所度量的度数（几何），是以应称为积度。而现有之微分亦应称为微度。“积度”一词亦是《数书九章》中用以指“度数之和”。《数书九章》在“缀术推星”中说“累减前段积度，以益后段积度”。