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摘要：本文基于中国版《几何原本》的测度原理重新自然数定义。指出皮亚诺公理混淆了被测度对象和测度数值导致定义错误。本文指出自然数是测度数值而不是测度对象，并给出了自然数与自然数集合的定义，指出小数、有理数和无理数均是建立在测度上的数系。

关键词：测度、自然数、皮亚诺公理、数系

     笔者指出徐光启版《几何原本》（下称中国版《几何原本》）与西方各版本《几何原本》在体系上截然不同，且中国版《几何原本》正确而西方各版本《几何原本》均有重大错误。进一步地，笔者基于中国版《几何原本》重新定义测度并构建积度理论，再重新定义极限、连续等，由此构建全新的测度几何。本文进一步基于中国版《几何原本》的测度理论研究自然数等数系的定义。

一、皮亚诺公理的问题

1899年，意大利数学家皮亚诺完成基数算术的公理化工作，此即定义自然数集合的皮亚诺公理。皮亚诺公理描述自然数集合如下：

（1）0是自然数；

（2）每一个确定的自然数，都有一个确定的后继数，也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数）;

（3）若、都是自然数的后继数，则;

（4）0不是任何自然数的后继数；

（5）设，且满足2个条件：（i）；（ii）如果，那么，则是自然数全集，即(为自然数全集。这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的准确性)。

这个公理定义是错误的。例如集合{0，1.1，2，2.8，3，3.1，4，4.8，5，5.1，...}显然也满足以上定义，但它并不是自然数集合。事实上，所有第一个元素为0，后续元素彼此不重复的集合，都满足皮亚诺公理的定义。

皮亚诺可能会辩解：在定义自然数之前，不应出现小数。但此辩解的问题是：在本定义中已经有“数”的概念，小数是数，所以当然可以出现。而如果在本定义中去掉“数”的概念，那么“后继数”就无从谈起，也就谈不上自然数。皮亚诺也可能辩解：以A集合{0，1.1，2，2.8，3，3.1，4，4.8，5，5.1，...}作为自然数集合也是可以的，因为1.1、2.8、3.1、4.8等数也仅仅是符号而已。但这种辩解的问题是：（1）A集合中前后元素之间的间隔不同，而自然数集合中前后元素之间的间隔相同。假如以1.1、2.8、3.1、4.8等为自然数，则前后数的差不是恒值，不可能通过比例缩放而等价于自然数集合；（2）假设不考虑前后数的差不是恒值这个因素，认定A集合是自然数，那么由A集合出发，定义加减乘除，然后可以得到B集合{0，1，2，3，4，5，6，...}。那么B集合就不能被认定为自然数集合。反之，如果认定B集合为自然数集合，则通过加减乘除，可以得到A集合，则A集合不可以被认定为自然数集合。这样的话，自然数集合的定义并不取决于皮亚诺公理，而是取决于在数学系统中，是否是所有集合的前提集合，取决于在数学系统中的地位。而即使定义自然数集合为所有集合的前提集合，类似{0,-1,1,1.1,-2,1.4,-2.1,-2.2,0.2,-0.03...}这种仅仅保证第一个元素为0，后续元素虽不重复但杂乱无章的集合，是无法作为所有集合的前提集合的。

二、中国版《几何原本》测度定义的自然数集合及其它数系

皮亚诺公理混淆了被测对象和测度。将被测对象（元素）搁置入集合中以定义自然数集合，是错误的方法。自然数或整数的定义，必然是来自测度。

徐光启版《几何原本》（以下称中国版《几何原本》）卷五第一界，阐述了“几何”之含义：“分者，几何之几何也。小能度大，以小为大之分。以小几何度大几何谓之分。曰，几何之几，何者谓非？此小几何不能为此大几何之分也。如一点无分亦非几何，即不能为线之分也。一线无广狭之分，非广狭之几何，即不能为面之分也。一面无厚薄之分，非厚薄之几何，即不能为体之分也。曰，能度大者谓小几何，大几何能尽大之分者也。”这段话清晰地阐述了何为“几何”：某量可以被更小的某度来分尽，既无不足亦无余数的，此量即为大几何，此度即为小几何。如果不能分尽，就“不为大几何内小几何也”，换言之，就不叫几何。“某量可以被更小的某度来分尽”，某量的度数就是自然数，作为被测对象的某量为大几何，某度为小几何。

现在根据中国版《几何原本》的测度思想定义自然数集合：

（1）设有从A点开始无限延伸的量和一有限长刻度；

（2）A点的度数为0；

（3）以刻度度量无限长量。若某度对应的点与刻度的始点重合，刻度的终点在量的延伸方向上，则与刻度终点重合点的度数为始点重合点度数的后继度数。

（4）所有度数的集合，为自然数集合。

以上对自然数集合的定义中，明确指出自然数集合的元素是测度度数，它是一个比值，而不是被测量的绝对数值。这样就规避了皮亚诺公理的所有问题。

进一步地，通过离散情况下的排序来作为测度，可以如下定义自然数集合：

（1）设A集合中包含无限多且位置既定的元素；

（2）首位元素的序号（度数）为0；

（3）紧挨某元素之后的后元素的序号（度数）是某元素的序号（度数）的后继序号（后继度数）；

（4）以上序号（度数）为自然数。所有以上序号（度数）的集合，为自然数集合。

本自然数集合的定义非常简洁，其更加清晰地表明了：自然数不是A集合中的元素，而是这些元素的序号（度数）。序号就是测度的一种。不指明如何测度而欲定义自然数，是不可能的。皮亚诺在直觉上感觉自然数的定义与排序（测度）有关，所以提及后继数，但他不是把被排序的数的序数作为自然数集合的元素，却把被排序的数本身作为自然数集合的元素，必然出现错误。显然，自然数集合不是A集合。A集合只是被测度的对象，自然数集合是对A集合进行测度的测度数值的集合。

正是中国版《几何原本》的测度理论定义自然数集合，然后根据其测度理论定义分数、小数、有理数、无理数，整个数系才能完整。所以中国版《几何原本》的内在逻辑是一致的、顺理成章的，更是简洁的，不愧为度数之宗。

[1]程碧波，纹明，从测度看《几何原本》的中国来源[J]，科学与技术，2020年第9期，第551-552页

 [2]程碧波，从中国版《几何原本》研究测度与积度[J]，看世界（理论研究），2020年9月下，第7-10页

 [3]程碧波，从中国版《几何原本》研究测度几何[J]，看世界（理论研究），2020年11月上，第19-20页

本文发表于《写真地理》2020年50期。