摘要：本文指出，通过傅里叶展开来分解量子波函数，不能分解出相同能量或相同频率的多个波的叠加。如果试图分解出相同能量或相同频率的多个波的叠加，则其分解一定不是唯一的，而是有无穷多种分解结果。这决定了量子存储或量子计算只能以频率作为并行计算或存储的基础，一个频率对应一个并行计算或存储。本文同时指出不确定性证明中厄米算符和对易式的矛盾，这是一个数学计算错误。指出目前科技水平下量子不可精确预测，但可以把测量精度不断提高。

关键词：傅里叶展开、波函数、量子存储、量子计算、不确定性

在笔者《对量子波粒二象性的再思考》[1]《炁模型的猜想及理论比较》[2]文章中指出量子波粒二象性来自于炁场与粒子的相互作用。炁场的运动为波，而粒子出现的概率与波的强度成正比，由此产生了量子诸现象。在《量子存储与量子计算的再思考》[3]中，笔者指出“量子纠缠仅仅体现了纠缠量子之间分离时的数理统计相关性，在多量子态叠加时这种相关性就会消失，无法恢复为叠加前的纠缠量子串，因此无法从叠加态中提取数据和操作数据，从而量子存储和量子计算无法实现。”本文进一步从波的分解来阐述量子态叠加不能实现量子存储和量子，以及量子可否测量的问题。

量子的波函数在本文中阐述为炁波。但无论波函数还是炁波，其波的数学形式都是一样的。因此可以将波的数学形式进行傅里叶展开，形成众多波的叠加。但是通过傅里叶展开的波并不一定都符合物理要求。例如对于束缚态，要求波函数在无穷远处的值必须趋于零，所以往往只有某些（能量）值所对应的解才满足这些物理上的要求。这些值称为体系的能量本征值，相应的波函数记为，称为能量本征函数。因此，如果、，...，是体系可能的波函数，则它们线性叠加的波函数为：

                                       （1）

也是体系的一个可能状态。当体系处在态时，出现的概率是。这个原理称为态叠加原理。

但是，傅里叶展开的关键特点是，所有展开的波，其频率彼此互不相同。由于波函数的能量、动量与频率相关，所以按能量或动量展开的波，实质上亦是按照频率来展开的波。通过傅里叶展开来分解波，不能分解出相同能量或相同频率的多个波的叠加。如果试图分解出相同能量或相同频率的多个波的叠加，则其分解一定不是唯一的，而是有无穷多种分解结果，换言之，无法识别出叠加态里面相同能量或相同频率的多个波。从（1）式亦可看出，叠加态中各个的能量或频率是不同的。

一 基于量子频率的并行计算和存储

量子计算或量子存储中，通过多量子位来进行存储和计算。以双量子位为例，一个双量子比特有四个基态，记作、、、。一对量子比特也可以处于这四个基态的叠加。描述双量子比特的状态向量为：

                          （2）

其中出现的概率是，出现的概率是，出现的概率是，出现的概率是。有               （3）

      本文认为，（3）式存在的问题是，认为两个量子位的状态通过量子纠缠而构成一个整体。但是根据笔者《对量子波粒二象性的再思考》一文，纠缠量子之间只有数理统计上的相关性，并无物理上的任何联系。所以（2）式应当矢量相加为：

     （4）

（4）式中，表示第一个量子位的0基态，表示第一个量子位的1基态。表示第二个量子位的0基态，表示第二个量子位的1基态。由于粒子出现的概率与波强成正比，令，则的概率是，的概率是，的概率是，的概率是。由此可见，（3）式的概率是不正确的。

现在的问题是，若已知矢量相加的结果，可否计算出（4）中的、、和？如果可以计算，则说明（4）式中的、、、是可以识别的，因而可以实现量子并行存储和计算；否则不可识别，不可以实现量子并行存储和计算。列方程式：

                                                       （5）

（5）式有4个方程式，但彼此并不独立，却有4个未知量，因此其解有无穷多组。所以、、和没有确定值，无法识别出、、、。

因此，量子波函数在叠加之后，只能识别出不同频率的波函数，但不能识别出同一频率的波函数由哪些同一频率的其它波函数来叠加。这决定了量子存储或量子计算只能以频率作为并行计算或存储的基础，一个频率对应一个并行计算或存储，即多频计算。但这就只能实现与频率数量对应的算术级数增长的量子计算算力和存储能力，而无法实现几何级数增长的量子计算算力和存储能力。这与光纤通过频率带宽来并行传输信号的原理一致：显然只有一个频率的光纤是不可能并行传输多种信号的。

二 量子力学的基本对易式

量子力学中最重要的算符是厄米算符。对任意两个平方可积函数和，若算符满足条件，其中，则称算符为厄米算符。

现在来看如何证明动量算符是厄米算符。证明如下：

                    （5）

由于和是平方可积数，当时，，可得：

                           （6）

因此：，为厄米算符。

但是本论文认为，这个证明存在问题。本证明只证明了在的全空间区域内积分，且随着而时，才为厄米算符。如果只对局部区域积分，是不能证明此时为厄米算符的。量子力学把全空间积分的结论用到所有情况上，就会出问题。不仅如此，其它如类似厄米算符亦如此。现在来看不确定性关系的严格证明。

令两个乘积算符之差为与的对易子，用记号表示。即：

                                                      (7)

如果这个差为0，则称这两个算子对易：。一般地，两个算符之积不是可对易的。现在来计算坐标和动量的算符对易式：

将坐标和动量算符的不同次序乘积作用于任意波函数上，可得：

                                                    （8）

                                 （9）

两式相减得：

                                                 （10）

由于是任意波函数，所以                       （11）

对比（10）式和（5）式，会发现（5）式中有一项，（10）式的差值也正是，两者的系数完全相同。（5）式中的正是因为在全空间且随着而时积分而成为0，使得为厄米算符，（10）式中正是因为中的为任意波函数而不能为0，所以不能对易。显然地，如果（5）中换为，的上下限有限，或边界处不趋于0，则，就不为厄米算符。

现在正式进入不确定关系的证明主体部分：

设两个力学量算符（厄米算符）与的对易关系为：

                                                        （12）

对体系的任意波函数，考虑下列积分：

                                        （13）

式（13）中，为任意实参数。利用与的厄米特性，（13）式右边可表示成：

            (14)

(14) 式中、和，分别为其平均值。（14）式的推导中使用了与的厄米特性来调换位置，同时又认为与不可以对易，显然若，，则对于和来说是矛盾的。但现在我们按照（14）继续推导。

由判别公式可得：

                                 （15）

、也是厄米算符。且、为厄米算符的平均值，均为实数而可以交换位置，故：

                                                  (16)

有：                                （17）

简记为：

                                              （18）

由此证毕不确定性关系。                                   

若取，，因为，所以：

                                                    （19）

由此证毕位置坐标和动量之间的不确定性关系。

按此结论，此不确定性关系是客观上不可能同时具有确定的坐标和确定的动量，与测量技术或仪器精度无关，亦与是否测量无关。但是如前所分析，如果出现、为厄米算符且、不对易的情况，那一定是因为、在特定积分区间或特定波函数消除掉了算符位置变化所产生的影响，而在其它积分区间或其它波函数则无法消除位置影响因而不是厄米算符，自然地，若无法消除位置影响也就无法对易（因为（14）式的积分区间和波函数均为任意）。要、在满足厄米算符条件的同时又不对易，这是不可能的。所以此不确定性结论系因证明错误所致。

三 傅里叶展开下量子难以精确预测性和可精确测量性

通过傅里叶展开来证明量子不可测的证明过程如下：

若量子的动量确定，则动量的不确定度。相应的波函数为平面波：

                                                 （20）

所以，即无论的数值为多少，量子在的相对概率完全相同。换言之，量子的位置完全不确定，因此。

又若量子具有确切的位置，即位置不确定度，相应的波函数为，其傅里叶展开为：

                          （21）

故                                                    （22）

由（22）式，无论的值为多少，量子在的相对概率完全相同。换言之，量子的动量完全不确定，因此。

还可通过单缝衍射来给出的具体关系：

令单缝宽，德布罗意波长为，单缝中心到第一个衍射极小的射线与单缝中心与屏幕垂直线的夹角为，由衍射公式有：

                                                      （23）

又因为：，                               （24）

故：                                                      （25）

若考虑次级衍射，则，故                         （26）

证毕。

本部分证明虽然得到与之前算符证明类似的结果，但含义完全不同。本部分证明结论是说：如果通过波的单缝很窄（），则波会朝西面八方扩散（）；如果通过波的单缝很宽（），则大量波的叠加会形成方向性很好的平面波（）。而即使因为单缝很窄（）而导致波的扩散，量子粒子打在屏幕上的位置还是可以事后测量的，由此就可以精确测量出，而，所以可以任意精确地测量出此量子的位置和动量。但是，量子粒子打在屏幕上的位置必须在发生之后才能测量，无法提前预测。同样地，即使因为单缝很宽（），通过此时方向性很好的波的特点，根据量子粒子打在屏幕上的位置，可以精确反推出粒子从单缝发出时的位置。所以亦可以任意精确地测量出此量子的位置和动量。但是，量子粒子也必须打在屏幕上之后，才能测量位置并根据方向特征推断量子发射时的位置，亦无法提前预测。所以的约束式是对预测精度的约束，而不是对事后测量精度的约束。事后测量精度，理论上是可以无限提升的。当然，如果科技发展到理解了概率背后的机制，无需借助概率来解释，那么量子的事前预测精度亦可以无限提升。

参考文献

[1] 程碧波：“关于量子波粒二象性的再思考”，《科技尚品》，2016.8，第208-214页。

[2]程碧波：“关于量子波粒二象性的再思考”，《科技尚品》，2017.2，第229-236页。

[3]程碧波：“量子存储与量子计算的再思考”，《科技视界》，2018.9,第7-8页。