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摘要:本文基于中国版《几何原本》重新审视测度问题,提出几何与几分理论下的测度等、测度邻域、测度势和测度连续等定义,并给出新理论下的确界定理、区间套定理、中值定理等。
关键词:测度、几何、几何原本、测度几何
本文基于徐光启版《几何原本》(以下称中国版《几何原本》)重新审视测度问题。中国版《几何原本》卷五第一界,阐述了“几何”之含义:“分者,几何之几何也。小能度大,以小为大之分。以小几何度大几何谓之分。曰,几何之几,何者谓非?此小几何不能为此大几何之分也。如一点无分亦非几何,即不能为线之分也。一线无广狭之分,非广狭之几何,即不能为面之分也。一面无厚薄之分,非厚薄之几何,即不能为体之分也。曰,能度大者谓小几何,大几何能尽大之分者也。”这段话清晰地阐述了何为“几何”:某量可以被更小的某度来分尽,既无不足亦无余数的,此量即为大几何,此度即为小几何。如果不能分尽,就“不为大几何内小几何也”,换言之,就不叫几何。本段对不能分尽的,给出了另一个专门名词“几分”。“若不尽分者,当称几分”。
一 切边角、曲线角与无穷小量的图形与数学表示
通常认为可绘制出的量均为有限小量,但中国版《几何原本》给出了可绘制的无穷小量“切边角”。“切边角”即切线与曲线的夹角,其无限趋于0但实际上并不等于0。进一步地,“切边角”是导数数据的代表,绝大多数导数值的极限为有穷值,但导数值本身并不是有穷值。例如:
(1)
(1)式即中国版《几何原本》所说的“曲线角”,其值包含无穷小量。通常说
其实取的是
时的极限值,即直线角斜率。任何时候
的曲线角与斜率相差小量
。因此可绘制出的量中通常均有无穷小量。由(1)亦可知,将
舍弃为0的后果,是失去了“曲线”的特征。更一般地,现代数学把点作为线的构成部分,把单点作为无穷区间套的唯一公共点,都表明现代数学认为存在尺度为无限小乃至0的图形。
下文将含有无穷大、无穷小项的数值称为无穷数值,否则称为有穷数值。并用表示所有正无穷小数,
表示所有负无穷小数。因此
表示既不无穷小亦不无穷大的数(但既可能有穷也可能无穷),称为有限数。
二 现有极限、连续及相关定理存在的问题
当前的数学体系对测度的理解存在较大的问题,这也说明此数学体系的确是在中国版《几何原本》的基础上发展,但却错误中国版《几何原本》关于测度的阐述,从而出现方向性的问题。
函数极限定义:若存在一个实数,对于任给的
,总能找到
,使
时满足
,则称
为函数
在点
的极限,记为
。本定义中,
、
为有穷数。
现在构造反例:
(2)
(2)式中即为无穷小量。(1)式在
区域内当
时的
趋近于10,
时
,
时
。因此这是一条
在
内连续的线。
但是,对任意有穷小值,使
时,
都远远小于
邻域,因此
在
邻域时
的值域均为
。所以不可能存在任给的
,找到
,使
时满足
或
。
倘若上述函数极限定义中,在
中也只能取有穷值,则
无法在
中取值。此时若
在
中间断,根据此极限定义,
在
中仍被判为有极限。因为在(2)式中,
在
中取任意有穷小的数值,均有
,所以
,因此
的极限为1。这与
时的
趋近于10的真实图像情况冲突了。无论
取有穷值还是无穷值,上述函数极限的定义都存在问题。
再看连续的定义:若函数在点
的左极限等于该点的函数值,则称函数
在点
左连续。若函数
在点
的右极限等于该点的函数值,则称函数
在点
右连续。但既然极限定义有问题,则连续的定义亦有问题。如(2)式在
没有极限,自然就不连续。但从图形上看,(2)式在
点既有逼近10的趋势,又是连续的。
由此导致下述定理存在问题:
上(下)确界定义:给定数集,如果存在实数
,满足条件:(1)对于所有
,成立
;(2)对于任意的
,至少存在一个
,使得
,那么就称此
是数集
的上确界,记为
。
本定义中,倘若调整为
,
,则(1)对于所有
,成立
;(2)对于任意的有穷数
,至少存在一个
,使得
。因此按定义,
和
都是数集
的上确界,显然这矛盾了。
区间套定理:在区间套中,
,对于单调数列来说,极限就是数列的上(下)确界。故
是这些闭区间的公共点。且若有不同的公共点
,则
,但因为
,所以矛盾了。因此
是这些闭区间的唯一公共点。
显然地,区间套定理存在的问题是同样的。并不意味着有公共点。
也并不一定是有穷值,所以
未必是这些闭区间的唯一公共点。
有界性定理:若函数在闭区间
上连续,则它在
上有界。
有界性反例:
(3)
(3)式是之间的连续函数,但在
之间无界。
最大(小)值定理:若函数在闭区间
上连续,则它在
必能取到最大(小)值。最大(小)值原理由有界性定理推导而得。但由于有界性定理有问题,所以最大(小)值原理亦不成立。
零点存在定理:若函数在闭区间
上连续,且
,则一定存在
的“零点”
,即
。
反例:取闭区间上
,当
时,
,
。则
连续但不为0。
中间值定理:若函数在闭区间
上连续,则其在
上一定能取到最大值和最小值之间的任何一个中间值。
显然地,类似零点存在定理的反例,在的值上加上高阶无穷小,中间值定理就不成立。
一致连续概念:对于任意给定的,存在
,使得任意两点
和
属于
(或
),只要
就成立
,则称
在
(或
)上一致连续。
(2)式不是上述定义中的连续函数,自然也就不是上述定义中的一致连续函数。但是如果允许为无穷小的话,(1)式就可以为一致连续函数。
三 测度等、测度界、测度邻域、测度势、测度连续及相关定理
中国版《几何原本》是如何处理高阶无穷小的测度问题呢?其卷三第十六题说:“切边角分之无尽,何谓不可减邪。若十卷第一题所言元无可疑,但以圆角分圆角则与其说合矣。彼所言大小两几何者,谓夫能相较为大、能相较为小者也。如以直线分直线角,以圆线分圆线角。是已此切边角与直线角岂能相较为大小哉。增题有两种几何,一大一小。以小率半增之,递增至于无穷。以大率半减之,递减至于无穷。其元大者恒大,元小者恒小”。本段指出存在数量级高低阶不同的几何种类,但无穷小几何可以被同种无穷小几何细分(即测度)。因此中国版《几何原本》指出同数量级的几何之间可测,不同数量级的几何之间不可测。中国版《几何原本》中切边角、曲线角这种无穷小的图例代表了所有导数,其“以小率半增之,递增至于无穷。以大率半减之,递减至于无穷。其元大者恒大,元小者恒小”也是对不同种几何的普适性描述。对切边角、曲线角进行平方、立方等操作,显然再可以构造出现实存在的更多类型不同数量级的几何。中国版《几何原本》明确指出:“几何原本书中无有至大不可加之率,无有至小不可减之率。若切边角不可分,岂非至小不可减乎?”其含义是:“至小不可分的单点”不是几何,“至窄不可分的线”在其宽度上、“至薄不可分的面”在其厚度上也不是几何。
根据中国版《几何原本》的理论,邻域、极限和连续的研究,都必须要在一定测度的前提下进行。本文根据中国版《几何原本》中“几何”和“几分”定义如下。
对于,称
为测度。
为以
为测度的度数;若
是
的整数倍,则称
为以
为测度的几何度,
为
的大几何,
为
的小几何。若
不是
的整数倍,则称
为
的几分。若
为最小测度(也即最小刻度),则
只能是整数,因为小于
的值不可能被测出来。几何度满足可加性,即
。几分则不一定满足可加性,即
。但若
不是最小刻度,则
可以为小数。若
是
的有理数倍,则可以将有限多个
加总起来构成以
为测度的几何度。若
是
的无理数倍,则不能将有限多个
加总起来构成以
为测度的几何度。
若,则称
与
同几何级,否则为异几何级。若
,则称
是
的微几分,亦可称
是
的低几何级,
是
的高几何级,。若
的值为
的微几分,则称
度等于
,记为
,
与
互为
度值,即
为
的
度值,
亦为
的
度值。若
且
,则称
度大于
,记为
;
度小于
,记为
。所有
度等于
的数均为
、
的
度最大值,或
度上界。所有
度等于
的数均为
、
的
度最小值,或
度下界。
以上基于测度的定义中,几何之下还有几分、微几分。换言之,线的构成成分不是单点而是短微线,面的构成不是单线而是窄微面,体的构成不是单面而是薄微体。这正与中国版几何原本“一点无分亦非几何,即不能为线之分也。一线无广狭之分,非广狭之几何,即不能为面之分也。一面无厚薄之分,非厚薄之几何,即不能为体之分也”完全一致。
本文定义“,
,
为有穷数”为
在
附近在测度
下的度数小于有穷数值
但大于无穷小的邻域,简称“
度邻域”。
可能无穷小、无穷大或有限数值。
度邻域的
度势定义:若存在一个实数
和无穷小数
,对于任给的有穷数
,总能找到有穷数
,使
时满足
,则称
为函数
在点
的
度邻域的
度势,记为
。显然
度势加减
的微几分后仍为
度势。通常
与
同几何级,此时“
度邻域的
度势”简称
邻势。若
亦为有限数,则简称势。若
只能取有穷数值,则
为有穷数,是无穷小数的高几何级,无穷小数为几分,无法研判无穷小区域。若
只能取有穷数值,则
且
为有穷数。本文下面探讨
可取无穷数值的情况。
度邻域的
度连续定义:若函数
在点
左(右)
度邻域的
度势
度等于该点的函数值,则称函数
在点
左(右)
度邻域的
度连续。若
与
同几何级,则简称为左(右)
邻连续。若
亦为有限数,则简称左(右)连续。
由此有本文以下定理:
上(下)确界定义:给定数集,如果存在实数
,满足条件:(1)对于所有
,成立
;(2)对于任意
,
,且
为任意有穷小数值,则至少存在一个
,使得
,那么就称此
是数集
的
度上确界,记为
。
与
同几何级。
区间套定理:若一系列闭区间满足条件:(1)一个套一个,即
;(2)区间的长度在
测度下单调趋于零,即
,则
,
与
同几何级。所有闭区间的公共区域为
测度的微几分区域。
有界性定理:若函数在闭区间
上
度邻域
度连续,则它在
上
度邻域有
度界。
最大(小)值定理:若函数在闭区间
上
度邻域
度连续,则它在
必能取到某点的
度邻域中的度最大(小)值。
零点存在定理:若函数在闭区间
上
度邻域
度连续,且
,则一定存在
度邻域中
值
度等于“零点”
,即
。
中间值定理:若函数在闭区间
上
度邻域
度连续,则其在
上一定能在某个
度邻域上取到与
度最大值和最小值之间的任何一个
度中间值。
一致连续概念:对于任意给定的有穷数,存在有穷数
,使得任意两点
和
属于
(或
),只要
就成立
,则称
在
(或
)上
度邻域
度一致连续。
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