布朗运动一种广泛存在于自然界、工程技术和人类社会中的随机运动现象，如液体中悬浮微粒的无规则运动、光纤陀螺中的随机游走和股票市场中的价格波动等。

布朗粒子的直径虽然只有10^-4~10^-3mm，但它在物理学中仍被归类为宏观粒子。因为布朗粒子具有确定的运动轨道，其位移、速度和加速度是连续变化的，布朗粒子的运动状态受《牛顿力学》的支配。

但是，《统计物理学》从牛顿运动定律出发推出的布朗运动位移性质不仅与《牛顿力学》矛盾，而且得出的瞬时速度又与客观事实（实验结果）不符，因此，《统计物理学》对单个布朗粒子运动现象及规律的描述是完全错误的，本文给出了具体原因。

一、《统计物理学》布朗运动位移公式

1908年，法国著名物理学家朗之万根据牛顿第二运动定律，建立了描述单个布朗粒子随机运动的动力学方程（Langevin Equation）：

式中m为布朗粒子的质量，γ为液体阻尼系数，F(t)为液体分子对布朗粒子高频碰撞产生的随机作用力。

《统计物理学》利用统计方法，通过朗之万方程求出了大量布朗粒子在t时刻的均方位移MSD（Mean Square Displacement）：

式中D为扩散系数。

从上式可以看出，均方位移MSD实际上概率论或统计学中的方差，度量的是所有布朗粒子偏离原点的离散程度，与爱因斯坦从布朗运动扩散方程推出的方差一致。

《统计物理学》对均方位移MSD开方，得出了如下的布朗粒子位移公式：

《统计物理学》将λ_x定义为“一个布朗粒子在x轴上经历的平均位移”。

从上式可以看出，布朗粒子位移与时间的平方根成正比，与《牛顿力学》质点位移与时间成正比的性质矛盾。

二、《统计物理学》布朗运动瞬时速度

根据《牛顿力学》瞬时速度定义，用布朗粒子位移公式计算瞬时速度，有

显然，布朗运动瞬时速度无穷大，或布朗运动路径处处不可导。

但是，自然科学、工程技术和社会科学领域大量的布朗运动瞬时速度实验结果表明：布朗运动瞬时速度为平均功率有限的白噪声，布朗运动的瞬时速度（导数）不仅存在，而且可观测。

因此从归谬法原理看，从布朗粒子位移公式推导出的布朗运动瞬时速度与实验结果不符，表明布朗粒子位移公式不能成立。

三、原因分析

从前面的均方位移MSD计算公式可以看出，《统计物理学》中的布朗粒子位移公式实质上是一个统计参数，它是根据n个布朗粒子位移x₁(t)，x₂(t)，…，x_n(t)计算出的标准差（方差或均方位移MSD的算数平方根）。

《统计物理学》将描述大量布朗粒子集体行为的统计参数（标准差）当作单个布朗粒子的个体行为（位移），这就如同用温度来描述一个分子的动能一样荒谬，势必会出现与《牛顿力学》相悖、并与客观事实不符的谬误。

四、结论

布朗粒子位移公式是从牛顿第二运动定律推导出来的，但其结论与《牛顿力学》在逻辑上不能自洽。另外，作为一门实验科学，从物理学理论得出的可检验结论必须要与实验结果相符，因此，《统计物理学》中对布朗运动位移和瞬时速度的错误描述必须要得到纠正。

参考：

[1] 苏汝铿. 统计物理学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.

[2] 林宗涵. 热力学与统计物理学[M]. 北京:北京大学出版社,2018.

[3] 周子舫,曹烈兆. 热学 热力学与统计物理[M]. 北京:科学出版社,2016.

[4] Tongcang Li, S. Kheifets, D. Medellin, and M. G. Raizen. Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle[J]. Science, 2010(25):1673-1675.

https://www.science.org/doi/10.1126/science.1189403

[5] 高宏.质点随机运动学与动力学[J].广西物理,2021,42(02):26-30.

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1397069.html