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布朗运动一种广泛存在于自然界、工程技术和人类社会中的随机运动现象,如液体中悬浮微粒的无规则运动、光纤陀螺中的随机游走和股票市场中的价格波动等。
布朗粒子的直径虽然只有10-4~10-3mm,但它在物理学中仍被归类为宏观粒子。因为布朗粒子具有确定的运动轨道,其位移、速度和加速度是连续变化的,布朗粒子的运动状态受《牛顿力学》的支配。
但是,《统计物理学》从牛顿运动定律出发推出的布朗运动位移性质不仅与《牛顿力学》矛盾,而且得出的瞬时速度又与客观事实(实验结果)不符,因此,《统计物理学》对单个布朗粒子运动现象及规律的描述是完全错误的,本文给出了具体原因。
一、《统计物理学》布朗运动位移公式
1908年,法国著名物理学家朗之万根据牛顿第二运动定律,建立了描述单个布朗粒子随机运动的动力学方程(Langevin Equation):
式中m为布朗粒子的质量,γ为液体阻尼系数,F(t)为液体分子对布朗粒子高频碰撞产生的随机作用力。
《统计物理学》利用统计方法,通过朗之万方程求出了大量布朗粒子在t时刻的均方位移MSD(Mean Square Displacement):
式中D为扩散系数。
从上式可以看出,均方位移MSD实际上概率论或统计学中的方差,度量的是所有布朗粒子偏离原点的离散程度,与爱因斯坦从布朗运动扩散方程推出的方差一致。
《统计物理学》对均方位移MSD开方,得出了如下的布朗粒子位移公式:
《统计物理学》将λx定义为“一个布朗粒子在x轴上经历的平均位移”。
从上式可以看出,布朗粒子位移与时间的平方根成正比,与《牛顿力学》质点位移与时间成正比的性质矛盾。
二、《统计物理学》布朗运动瞬时速度
根据《牛顿力学》瞬时速度定义,用布朗粒子位移公式计算瞬时速度,有
显然,布朗运动瞬时速度无穷大,或布朗运动路径处处不可导。
但是,自然科学、工程技术和社会科学领域大量的布朗运动瞬时速度实验结果表明:布朗运动瞬时速度为平均功率有限的白噪声,布朗运动的瞬时速度(导数)不仅存在,而且可观测。
因此从归谬法原理看,从布朗粒子位移公式推导出的布朗运动瞬时速度与实验结果不符,表明布朗粒子位移公式不能成立。
三、原因分析
从前面的均方位移MSD计算公式可以看出,《统计物理学》中的布朗粒子位移公式实质上是一个统计参数,它是根据n个布朗粒子位移x1(t),x2(t),…,xn(t)计算出的标准差(方差或均方位移MSD的算数平方根)。
《统计物理学》将描述大量布朗粒子集体行为的统计参数(标准差)当作单个布朗粒子的个体行为(位移),这就如同用温度来描述一个分子的动能一样荒谬,势必会出现与《牛顿力学》相悖、并与客观事实不符的谬误。
四、结论
布朗粒子位移公式是从牛顿第二运动定律推导出来的,但其结论与《牛顿力学》在逻辑上不能自洽。另外,作为一门实验科学,从物理学理论得出的可检验结论必须要与实验结果相符,因此,《统计物理学》中对布朗运动位移和瞬时速度的错误描述必须要得到纠正。
参考:
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[2] 林宗涵. 热力学与统计物理学[M]. 北京:北京大学出版社,2018.
[3] 周子舫,曹烈兆. 热学 热力学与统计物理[M]. 北京:科学出版社,2016.
[4] Tongcang Li, S. Kheifets, D. Medellin, and M. G. Raizen. Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle[J]. Science, 2010(25):1673-1675.
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[5] 高宏.质点随机运动学与动力学[J].广西物理,2021,42(02):26-30.
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