一、数学的根是什么？根在何处？

一百年前的上世纪初，数学因为屡屡发现“悖论”（也包括“实轴结构之谜”和“康托尔连续统猜测”等），方才使之意识到，数学高塔尚未建“地基”、数学需要寻“根”！

悉知，数学的根就是它的基础，叫做“数学基础”，就是诸如数学理论的完备性等赖以生存的根基。

那么，经历了至少两千多年的数学，至到百年前才意识到需要寻“根”，并且至今都还没有完成，这些都是为什么？

显然这是十分耐人寻味的（甚至包括一些数学人也至今都还不理解什么是“数学尚未建地基”）。

同时进一步会问，其它科学有没有值得寻找的“根”？回答应该是肯定的。

可是它们怎么就没有产生寻根的需求？

首先说，数学是发掘定理的科学，“定理”是一个个放之四海而皆准的客观规律，因此是从理论上、逻辑上“彻底”的成果。

正因为要求理论上的“彻底”，才终于能在上世纪初，意识到寻“根”的必须，否则尚不知何时才能被意识到这点呢。

原因就在于，整个“大科学”（包括社会科学、自然科学）其主体活动内容都还在尚未涉及到逻辑“完备”性的范畴内，表现为为着相对精确的实用成果而努力奋斗着，特别还一直抱着“客观世界及其底就在目下”的心理，因此全然不知还有个“份额不大却分量不轻”的“根”在眼界之外。

也就是说，数学（包括大科学）的“根”不是明摆着的，不是呈现在眼前茂密浓厚的科技生活里的，而是深藏在不易被觉察到的暗处“天外”的。

尽管这在各界历来都有种种猜测，仍未能偶窥其缝隙。

简单说来，问题的根本就是需要弄明白“无穷”的本质，具体说来就是要弄明白诸如实轴结构中的无理数集（不可数集）之类无穷集合（无穷世界）的本质，这才是数学的根之所在。

但是，这些即使在现代似也只能是“看得到却够不着”的呢。

的确，一个多世纪来，特别是其最初几十年，整个数学都沉浸在“寻根热”中了，煞费苦心，却至今连门道都没能找着，这就是问题的艰深表现。

现在（21世纪以来）终于明白了，原来要探底“无穷世界”，远不是直接可达、一蹴而就的，亦如登顶必须攀阶，必须翻越多级台阶才行。

具体说是需要“前提”性地突破若干“关隘”才行，仅举宏观层次上的也有如空间层次论，逻辑本原论，系统二象论，广义能量论等等。

这时亦可看到，其实百余年来进入“后实证主义”的自然科学前沿，先后提出的诸如“平行宇宙”、“镜像宇宙”等系列猜测性理论，与（大自然观的）“无穷世界”也是擦肩而过的，并非空穴来风。差池仅在于上述多个“关隘”的发现与破解。

进一步说，一旦破解了“无穷世界”，不仅能解释数学上系列“可证明不可理解”的谜题，更能回答哲学上亘古之谜，以及科学前沿系列谜题。

换句话说，这时即已揭示出“终极客观世界”这只“大象”的概貌了。

二、有理点处的哲学

1、首先给出几点说明：

一是，在本“公众号”的现在来考虑这一问题，算是一种回顾与复习了；

二是，为简便计（且不失代表性），这里暂时只对一维实数（实轴）来讨论；

三是，已知，“点处”的含义一般是点及其“邻域”，特别指“无穷小邻域”，且知无穷小的含义是一种非量的状态（无穷大的反演）；

四是，之所以说是在有理点处，是因为实轴上只有有理数才具有点结构（虽然也在说无理点，但因无理“点”的不存在，即使演绎中也只能是以一种符号或有理近似作替代）；

五是，这里只谈“几何的”点处，暂不从“数”的意义上谈其“点处”，因为作为（每个）“数”（包括数值、数码、数据）都还内在地深藏着（来自信息的）丰富内容嘞。

2、从几个角度考虑一下有理数“点处”的蕴含内容：

（1）几何角度

已知，实轴上任取一点会概率1地（但非必然地）是无理点。

对于任一有理点，出于有理数集的稠密性，不可能给出离它最近的点来，似乎显得有理点集有些神秘。

其实，这一神秘性就在于任一有理点都还有个特别的“无穷小邻域”，致使对于有理点来说，需要对其“处”予以特别重视。

不过，这样说问题还没有得到彻底回答（续下）。

（2）函数角度

一个函数，可记为 y=f(x)，如图1，在其自变量x的任一有理点x₀“处”，所对应的是函数值（因变量）y=f(x₀)“处”，是函数曲线上的（设为一个点的）“处”。

这时的“处”存在丰富内容，诸如极限性、连续性、间断性等，且有多种间断类型和多种极限类型等都表现在这个“处”。

这里也特别涉及到无穷小邻域与一般邻域的关系问题，因为极限过程只在一般邻域上进行，似乎与无穷小邻域无关，是吗？

本质上这是个标准分析与非标准分析间的关系问题，将在“3”中去考虑。

（3）分析角度

从所谓（标准）分析学已知，比如对于微分式：dy =f'(x)dx，其中的dx（从而dy）体现出的是点“处”的哲理十分深刻，但若没有第二至七讲的讨论是很难接受的（当初之所以争论了两百多年，其核心就在这里）。

首先是它既非0亦非数、亦非几何点，根本上是它更离不开连续统含义；

同时，dx显示出的是个动态机制，作为“动”就一定含有时间因素；

再则，微分式中（或就其“微分三角形”来说）既能显示函数在该点处的连续性、光滑性、凹凸性，还蕴涵了该点处的曲率等，内容是丰富的（续下）。

（4）逻辑角度

这是（1965年鲁宾逊的）“非标准分析”显示出来的（其中叫做“单子”的，其实就是这里的“点处”）。

它用公理化手段显示出，实轴上任一几何“点”（当然，有意义的是有理点）皆存在一个无穷小邻域（点处），在其“无穷小邻域”内没有诸如大小、距离、比较之类“一般逻辑”特征。

显然，这正好解释了“集合论”意义下有理数集的稠密性和不存在最靠近有理点的“点”等谜题。

同时显示出实轴的“全测度”本质。

特别还由此构造出等价于标准“分析学”的所谓“非标准分析学”。

（5）综述

归总上述一元函数在点处的结构特征认识， 

首先看到，即使从实轴上有理“点处”的多种邻域特征，也能得知它有其丰富的内含，足可归为“点处”的丰富哲理。

同时，上述实轴上的“点处”情形完全可以直接推广到一般多元函数（高维空间）在其“点处”的情形及其复杂性的理解。

（高隆昌 E-mail:  glc5101@sina.com）