序：

基于本论，不能不进一步看到客观世界普遍存在的“二象”结构及其深刻性，特别是其中的“对偶”机制及其理论，是个十分重要的世界观和方法论（也是笔者的体会）。

特此，这里对“二象论”再做议论，将在简顾二象对偶概念基础上，环顾一下社会上过去的二象对偶表现，然后重点谈谈数学中深刻而广泛存在的二象对偶机制。 

本论已充分展示出，数学是“映兆”著大自然的，所以广泛的“二象”世界必然也在数学中有着深刻的存在。

一、简顾二象论

1.1  对“系统”既有的两个研究方向

（1）一个是熟知的最为流行的以丰富的“系统论”为基础的（泛及大科学的）系统科学，其“系统”概念（贝特朗菲）是最具广泛性的，从最宏观到最微观的一切可认为具有内容的对象皆系一个系统，一般记为

系统=（目标；元素，关系），

亦即，系统是在一个“目标”（或叫公理、制约）下一组“元素”间的所有“关系”的总体。

（2）另一个是（重点要说的）来自“系统学”的二象论，即在上述系统概念下，对于同一组元素，当考虑所有可能目标下的关系时，即获得系统的“二象”结构，记为

系统=（元素；关系）=（实象；虚象），

这样的系统研究，叫做系统学虚实“二象”论，简称“二象论”（第二讲）。

注：

在数学中形式（元素，关系）通常叫做空间，是颇具基础性的，正好对应了“二象”系统的广泛性。其中，当赋予“关系”以公理制约时即是个（可运作的）具体空间。一般说一个空间宏观体现出的是个“数学结构”（被归为序、代数、拓扑“三类”结构）。在“大科技”过程（结构-功能-操作）中，结构是基础（理论），然后是功能（桥梁），最后是操作（实现）。

又，其中当“元素”可同时为多类对象时即可进入范畴论研究。

特别的，当“元素”为有理数集（或实数集、无理数集）时，对于所有“关系”，则进入已知的各种数学世界了。

1.2  特别强调系统间的“对偶”关系

（1）概念：

“对偶”关系即“既对立又统一”或“既斗争又团结”抑或“既竞争又合作”关系。“对偶”双方是互为动力、互相推动前进的（参见第34讲例图），进一步说是：

对立产生动力，统一产生进步；

过分对立产生阻力，过分统一产生退步；

极端对立产生系统崩溃，极端统一产生系统崩溃。

现以“对立、统一”（简称“对、统”）为例来叙述，当注意到后续两点：

（2）“对偶”概念的存在是十分普遍的：包括任一系统内（虚实二象间）与任二系统间，其关系都是“对偶”关系；

（3）强调其“对立”、“统一”的同时存在性：它们仅表现为权重大小的差异，这点十分重要。

由于 “对、统”间似乎具有矛盾性，容易下意识的认为不可同时存在，殊不知（历史性的）遗失了其中的深刻思想（其实“对，统”本身也是个二象对偶结构，彼此也是既矛盾又统一的）。

总之，关于“对、统”的同时存在性，既是客观的更是深刻的，认识到这点即是先进的。

相较之下，若只强调其中任何一面，都是偏颇的，历史上这方面的教训已不少（例见下）。

二、“二象论”缺失下的史今表现（例）

历史上表现在未意识到系统的“二象”结构，特别是对“对偶”概念的缺失，所带来的遗憾是不少的，现仅举几个明显事例如下。

例1 二元论。这是来自哲学-数学家笛卡尔的观点，实际上是只强调了“对偶”关系中的“对立”性。

因此，比如在“科学”与“哲学”的二象关系中，由于只强调了其中的“对立”性，致使哲学在科学中的地位一度被边沿化。但毕竟它是偏颇的，现在已基本上自然回到（虚实二象）正常状态了。

例2 辩证逻辑中的迷糊。尽管说作为辩证逻辑三大定律之一已有了“对立统一律”，但可说至今没真正意识到其中“对、统”的同时存在性，致使比如“人性论”（由于缺乏正确的虚实二象观）一直没有一套科学的人性论著作，有的只是要吗“人性恶”、要吗“人性善”观点（显然，亦如只强调矛盾、只强调斗争的著述等皆属这种情形）。

例3 科学中的诸多表象。比如，虽然科学发现了“光的波粒二象性”（本论中的“二象论”也来自它的启示），但在学界仅有少数人意识到它的广泛性，终未能形成“二象”共识。

诸如，威腾的“超弦”理论来自“超对称”概念的突破；代数学家诺特揭示出物理学的“对称”性；“标准模型”中的“对称”性；物理学中拟成共识的“对称”性等，其实都是物质世界二象“对偶”本质及其虚象的表现。

此外，显然量子世界“测不准”现象也是因为（位置、速度）二象的对偶性的表现。

特别是，物理学已有越来越多学者从不同角度意识到“终极客观世界”的虚象（超空间）的存在，其现象有如湮灭能的去处；量子纠缠的解释；宇宙的爆炸“点”；等等，还不包括“平行宇宙”之类猜测呢。

更大问题是，似乎对于强调实证的科学家来说，这些虚拟事实难以启发（激发）他们的“二象”意识（似乎任何系统只有一象）？这就麻烦了。

显然，问题的关键在于，对世界虚象的抽象性、科学性揭示还不够，还不足以说服人们。

例4 社会生活中缺乏“对偶观”现象。

即在生活中，容易习惯性的（下意识的）只注意事物的矛盾面、对立面，显然这是不利于生活的，但也是个普遍性问题。

既然是下意识的就是个心理现象、心理问题，只能（凭显意识）从习惯上去纠正它。

比如可注意到，凡是有矛盾有斗争之处都应该习惯于从“对偶”高度去考虑问题，因为一切关系都是“对偶”关系。 总之，二象“对偶”现象是充斥世界的，世界需要系统学“二象”论和二象“对偶”观。

三、数学中二象结构及其对偶机制      

既然是“二象”，必然是“对偶”关系，但这时的“对偶”更多是体现为互动性，对立性（权重）不大于统一性。

3.1  “数”、“形”基础二象

（1）之所以说数学中是充满二象结构及其二象机制的，根本在于，它有了“数”与“形”间最为基础的“二象”机制：

“数”概念来自创造，属抽象思维、离散思维，直至发现了数的运算，有了算数、数论、代数等都是“数”本质的表现；

“形”的具体即“几何”，虽然几何概念亦来自抽象和创造，但相对说来更具客观性和实在性，但只有结合到抽象的“数”（形成基本的虚实结构）才能“活”起来（这本身也影射出客观世界的虚实二象本质，应该是一项基本的世界观）。

（2）回顾历史容易看出，即使单纯以“数”（或“形”）为主体的学科，在发展中仍然少不了数、形二象的结合，且结合的愈好学科愈有活力，直至学科之间的综合交叉增殖等都是得益于这一特征的。

阿诺尔德（俄1937-2010）：数学家绝大多数是几何思维（事实上这里说的（驰骋思维的）“几何”即是 “数”与“形”充分结合的二象系统）。

显然，体现数、形充分结合特点的最为熟知的例子即是从“平面几何”到“解析几何”。 

（3）事实上，“数”与“形”的二象本质（就其基础性）已“渗透”到了客观世界各个方面，哪里都深藏着虚实“二象”结构及其机制（原来，“数”与“形”本身即是“意识”从客观世界中抽象出来的呢）。 

3.2  进一步的二象机制

由于发明了“坐标系”（笛卡尔17世纪初）使得“数”与“形”能在更加抽象和升华的层次上结合了，这就是函数、分析中的二象机制（可参见拙著《数学及其认识》高等教育出版社-斯普林格出版社2001-2005）其中用了一章“第四章”作了较多的数理阐述）简略的比如：

*函数中，自变量与参变量的关系（是空间层次差异）更是二象对偶关系，如函数的导数即是属其参变量层次的。

*泛函中，线性空间与其“对偶空间”之间自然也是二象“对偶”关系了。

*张量中，其多重线性式中的协变、逆变因子之间也是二象“对偶”关系（也不要怀疑多重线性式的精确性，原理在于一是流变坐标，二是实数“点处”本质）。

*复变函数中，首先是复数结构（x +i y）的“二象”性意义重大：一是它体现了完全运动（平移+旋转），因为i具有时空空间的旋转意义，如闵可夫斯基空间（x y z ; it）中i显示的虚象意义即是；二是它所对应的周期函数、傅里叶级数等具有重大意义，成为信息科学的核心工具。 

*进一步，在傅里叶变换中波形、频率间的二象对偶关系，乃至一般的“波、频”间，都是虚实二象关系，体现着二象间互动性和对偶性。

*又，麦克斯韦方程的成功，正是充分体现了电、磁的“对偶”机制。

*特别是，数学学科之间仍然存在二象机制，比如“爱尔兰根纲领”（1882年）提出不同的几何学科决定于不同的数、形“二象”关系，本着“数、形”这一共性形成了泛性的射影几何。

又如“朗兰兹纲领”（1967年）即在于他直觉到代数学与几何学结合所产生的“反应”，也是“数”、“形”基础二象关系的升华。

总之，首先说，数学中二象结构的存在性是普遍的，鉴于数学与大自然的深刻关系，则客观世界的二象“对偶”关系也是普遍的，本论表明的确如此。

因此，应该重视颇具广泛性的“二象论”，特别是其中的“对偶”本质，树立起“对偶观”，不无裨益（经验之谈）。 

3.3  再回头看本论中的“二象”实质

从二象角度说，正是揭示出数学中实轴的二象结构“深刻”本质、实数集的二象结构“深刻”本质，终于发现数学是“应兆”著、“透联”著客观世界本质的。

具体说，一是揭示出数学的“根基”是有理数集（数学本质上是建立在有理数集上的）；二是揭示出数学空间与逻辑空间的对应关系；三是揭示出本质上逻辑空间作为（宇宙运行的）“属性”，回到“能量”本体，即对应到宇宙空间了。

可是，如果说客观世界就只有宇宙空间的话，那么实数集这一客观系统中的“无理数集”对应什么？

因此说，正是揭示出“无理数集”的深刻本质“无逻辑”，蕴含了客观世界中“超空间”的存在性，实质性支撑了一系列关于存在超空间的现象“猜测”。

可是，因为超空间太抽象，至今未被（强调实证的数理学界）正式接受？

但是，要能否定超空间，至少需要否定无理数集的“无逻辑”本质（这是不可能的）。