1   问题的提出：

须知，无理数集的“不可数”性决定著“超空间”的本质，从而决定着本公众号理论“终极大自然观”的具体内容。

因此，必须对此做出进一步的考察才是，这就是本讲的意图。

2

也的确，已知这一问题在数学上一直是存在争论的，且知它起于19世纪末康托尔建立的“集合论”，具体产生于（20世纪初）康托尔“连续统猜测”以及“实轴结构之谜”（二者属同一实质的问题）。

其中“连续统猜测”来自连续统的（实则无理数集的）不可数性“猜测”，这是在“集合论”意义下才能得到的。

3

“不可数集”概念的提出十分重要，否则（如过去）在“无穷”概念上难以深化。

比如由此才得知，过去说到的“无穷”都是可数无穷，包括所说“用有限符号和规则能得到无穷的音乐空间”；

“用有限字母和规则能得到无穷的语言空间”等等“无穷”，实际上皆属“可数无穷”。

也就是说，本质上仅在“连续统”意义下才说得上存在不可数性的问题。

同时，仅当存在“不可数”集，才会涉及到集合的可数“势”与不可数“势”及其间是否存在“跳跃”性的问题。

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当然，作为争论焦点之一的，更在于无理数集“不可数”这一结论的“证明”，具体说是在其证明方法（方法论）上。

特别是在康托尔宣称用所谓“康托尔对角线法”做出的构造性严格“证明”上，产生了争论在所难免。

5

在本理论下结论是，无理数集“不可数”这一“猜测”是正确的，但要对其做出逻辑的严格实证是不可能的，不管用什么逻辑方法（包括“康托尔对角线法”）都是有问题的。

为什么说这样的问题是不可能用严格的实证方法来做出证明的呢？

简单说是因为“可数”对象与“不可数”对象间，隔着的是个“空间层次”的本质差异，具体理由如下。

（1）这个问题（不可数性）与“连续统猜测”是同一性质的问题，且只能是个哲学（思辨性）问题，不可能逻辑地做出技术性（纯数学）证明。

正因如此，才有它作为“希尔伯特23问题”之第一问，一直未能做出纯数学的“严格”证明。

它不是碍于（技术性的）方法技巧未能突破，而是受阻于（逻辑与超逻辑间的）实质性障碍（数学证明须在逻辑范畴内，却“不可数”问题不在逻辑范畴内）。

（2）“可数性”的基础来自“点”概念，而点概念属于“逻辑”的基本概念（逻辑概念见第四讲）。

（3）因此，问题归结于回答“无理数集”之中有无逻辑，或说无理数集（无穷空间）是否属于逻辑空间范畴。

（4）可用“反证法”，首先，由于反证法亦属哲学中一种方法论，所以这里（作哲学思辨探讨）也是可以用的（只是语言上的差异）。

现在假设无理数集可数，则：

一是，若无理数集可数，那么它的任一子集，包括“无穷小”子集，也应该是可数的。

但是，这一来既有的经历了长期考验终于得到承认了的（建立在“单子”的“无穷小邻域”不可数基础上的）“非标准分析”却被动摇了！？

二是，如果无理数集可数，则因“可数集”的“测度”为0，这一来整个实轴（=有理数集+无理数集）的“测度”皆为0了！？

三是本质的，由于“可数”概念来自“逻辑”，所以当说到“无理数集可数”时，实际上是已经承认了无理数集属于逻辑空间范畴了（否则，连这样说的前提都是不存在的）。

（5）那么，问题归结到应当认真回答，无理数集是否属于逻辑空间？

显然，这仍属哲学问题，且仍可用反证法。

首先强调，无理数集就是通常说的无穷集、无穷空间、无理世界（简称“无穷”）。

那么这时，如果说无理数集（无穷）仍属逻辑空间的话，为什么专门雕琢逻辑空间“象牙塔”的数学，过去也说“无穷”是不存在的？

同时，为什么历来的数学谜题，皆涉及到“无穷”实质？且在未能破除“无穷”障碍（未能揭示“无穷”本质）之前，一直保持着这些谜底？（揭示之后的见后）。

总之，综上（哲学思辨）所述，不能不倾向于承认无理数集是不属于逻辑空间的，也就是不可数的。

那么，如下一条更是进一步强化本结论的。

（6）无理数集（无穷）在“终极大自然”中的对应象不是物理世界而是“超空间”。

尽管已经知道了无理数集（无穷）在数学中的含义，但还不够，尚需考察（数学的背景空间）物理世界。

这时已知（第七讲），当物理世界“析”去（或说“紧致”掉、抽象掉）它的物理性后，即能对应到“有理数集”，却“无理数集”没有对应？这不正常。

原来是，“无穷”对于逻辑空间来说，只是其边际（终极）“点”，物理学尚未达到它（数学也只是因其“完备”性而勉强达到它）。

也就是，“无穷”不在物理世界中，而是在其“外”（相隔一个“空间层次”）。

这就是（加上第二至六讲中诸多启示后）提出“超空间”概念的缘由。

一旦提出“超空间”概念，包括数学中、物理中（过去和现在）所有涉及“无穷”本质的谜题都迎刃而解了，不留死角。

当然，“超空间”概念的提出是个十分“严重”且“严肃”的关键问题，宁可说本论只是一个“科学猜测”，有待“大科学”的共同甄别。

（高隆昌 E-mail:  glc5101@sina.com）