何逸飞  中国科学技术大学物理学院

黄冬郁  中国科学技术大学少年班学院

摘要：在阅读了奥地利思想家恩斯特·马赫的著作《能量守恒原理的历史和根源》（以下简称《历史和根源》）后，我们受到了很大的启发。此后，我们通过更细致地了解能量守恒原理的发展史，并且对马赫深刻的的思想进行更深入的剖析和解读，来探究能量守恒原理背后的深刻内涵。本文包括两部分，第一部分介绍了能量守恒的历史及其逻辑根源所在，第二部分是对马赫在书中展现的物理思想的理解与解读。

(一) 能量守恒原理的历史与虚假的永恒运动

一、能量守恒原理的发展史

       早在16世纪，人们就首先认识到在机械运动方面有一种东西是守恒的。伽利略（1564~1642）认为，一个物体从高处下落，在不受阻力的情况下，所获得的速度恰好能使其回到原先的高度。他同样意识到，我们如果想获得更大的力，则必须要牺牲速度，如杠杆原理。17世纪，法国物理学家笛卡尔（1596~1650）在所著的《哲学原理》中引入动量的概念，他提出一个体系在不受外力作用时，有一种“运动量”是守恒的，并将这一物理量定义为质量与速度的乘积（$m \vec{v}$）。1687年牛顿（1642~1727）在《自然哲学的数学原理》¹中用单位时间动量的改变来度量力。不久后，莱布尼茨抨击了笛卡尔的动量，并将之称为“死力”，同时他提出用质量乘速度的平方来衡量运动（$mv^2$），将之称为“活力”。可以看出，笛卡尔定义的“运动量”为一矢量，而莱布尼茨定义的“活力”则为一标量。物理学界就何种度量更合理展开了长达半个世纪的争论，最终由数学家达朗贝尔终结。他在《论动力学》中提到：“对于量度一个力来说，用它给予一个受它作用而通过一段距离的物体的‘活力’，或用它给予一个受它作用而经历一定时间的物体的‘动量’来描述都是合理的。”从而终结了这一争端。它们实质是由牛顿第二定律统一的。约翰·伯努利（1667~1748）提出“活力守恒”，他认为活力消失后，并没有丧失做功的本领，而是转化成了别的形式。1807年英国学者托马斯·杨引进能量（energy）的概念，来度量这种做功的本领。1831年法国学者G·科里奥利将做功定义为力与位移的乘积$W=\int_a^b \vec{F} \cdot  \mathrm{d} \vec{s} $，并在活力$mv^2$前加入系数$\frac{1}{2}$并将$\frac{1}{2}mv^2$定义为物体的动能，从而得到$\frac{1}{2}mv_b^2-\frac{1}{2}mv_a^2$ = W，由这个表达式我们得以看出功与动能的相互转化关系。

图1:  焦耳与热功当量实验（来自网络）.

在经典力学蓬勃发展的同时，对热现象的研究也逐渐兴起，而关于热的精确测量研究应该从温度计的诞生开始。比较早的实用温标是德国物理学家华伦海1717年大致确定的现在所称的华氏温标。瑞典天文学家摄耳修斯于1742年到1743年间发明了摄氏温标，以标准状态下水的结冰温度为零度水的沸点为100度。温度计的诞生为热的精确测量提供了条件，起初人们认为热量和温度是同一种东西，并不对其加以区分。18世纪50年代。英国科学家布莱克把32华氏度的冰块与相等重量的172华氏度的水相混合，发现平均温度不是102华氏度，而是32华氏度, 冰块全部融为水而温度却没有改变。布莱克由此得出结论：冰在熔解时，需要吸收大量的热量，这些热量使冰变成水，但并不能引起温度的升高。为了弄清楚这个问题，他把实验反过来作，即观测水在凝固时是否也会放出一定的热量。他把摄氏零下4摄氏度 的过冷却的水不停地震荡，使一部分过冷却水凝固为冰，结果温度上升了；当过冷却水完全凝固时，温度上升到摄氏零度，表明水在凝固时确实放出了热量。进一步的大量实验使布莱克发现，各种物质在发生物态变化 (熔解、凝固、汽化、凝结)时，都有这种效应。布莱克基于这些实验事实认识到，温度和热量应该是两个不同的概念，进而在1761年引入“潜热”的概念。

而人们迟迟不能认识到自然界中普遍的能量守恒规律，是因为一大拦路虎——热质说。热质说认为热是一种没有质量的物质，其数量是一定的，不能凭空产生和消失，物体含有的热质越多则温度越高。热传导是热质的流动，物体受热膨胀是因为流入了热质，太阳光经凸透镜聚焦能点燃纸片是因为透镜聚集了热质。热质从高温处流向低温处时可以对外做功而不改变其数量，就像水从高处流向低处对外做功一样。而由于热质说的一系列成功，人们对这一理论深信不疑。而如果不扫除这一观点，人们就不可能意识到机械运动与热的相互转换，也就不能发现更普遍的能量守恒定律。1798年，伦福德伯爵在用钻头钻炮筒的过程中发现，钻头、炮筒、铁屑的温度均升高了，并且只要钻头不停止，炮筒温度会持续升高，甚至高到能融化金属，这与热质说的观点矛盾。伦福德伯爵认识到了这其中的矛盾，因此提出是机械运动转化成了热，因此热也是一种机械运动。1799年，戴维在零度的真空中用钟表的零件使两块冰块摩擦，观察到了冰块的持续融化，这一实验有力的证明了热可以由机械运动转化而来。

在前面这些科学研究的基础上，能量守恒定律被发现的条件逐渐成熟，最终由迈尔（1814~1878）开启了这一项研究。迈尔大学读的是医学，在早期做过随船医生。西方从公元四世纪开始就有一种大量放血的治疗方法，因为古代西方有一种所谓的“液体理论”，认为人体内多余的液体会导致疾病，需要通过放血来治疗，迈尔作为医生，自然也经常给病人放血。1840年左右，迈尔在前往热带爪哇的航行中，在给水手放血时发现他们的静脉血非常鲜亮，甚至一度以为错放了动脉血。于是他思考，血液在热带比较红是因为热带温度高，人体不需要燃烧大量的氧来保持体温，进一步联想到身体产生的热量可能由食物转化而来1841年初, 迈尔结束了海轮上的行医生活, 他对自己在轮船上的发现继续进行研究, 写成了一篇题为《论力的量和质的测定》的论文, 投给德国当时的权威性刊物《物理学和化学年鉴》。 但是, 该杂志的主编波根道夫以迈尔的文章有过多的思辨的内容而缺少精确的实验为由拒绝发表迈尔的论文。 迈尔在初次受挫之后, 并没有放弃自己的观点,而是继续完成了《论无机界的力》一文并于1842年发表。在这篇文章中, 在这篇文章中，迈尔第一次提出热功当量的概念，也就是获得单位热量所做的功。他也是最早进行热功当量测量的学者，他用马拉机械的装置搅拌纸浆，对比马做的功与纸浆的升温，给出了热功当量的值，尽管这一实验结果与现在的值偏差较大。1845年, 迈尔发表了第二篇论文——《与有机运动相联系的新陈代谢》，文章阐述了有关能量相互转换的关系。他指出,机械能的消耗可以产生热的、磁的、电的、化学的效应。他深深认识到了这其中深刻的认识到了这个问题重大的意义，并最早表述了能量守恒定律。他在给友人的信写道：“如果有人否定我的定律，他必然能造出永动机。”然而迈尔的论文并没有在社会上引起广泛的重视，甚至被嘲讽为“肤浅的局外人”，再加上他的两个孩子早夭，弟弟又因为革命活动被牵连，迈尔受不了如此沉重的打击，在1849年跳楼自杀并留下终身残疾。而后又被诊断为精神分裂而被送入疯人院，医生们认为他经常谈论的新发现，是自大的精神病症状的一种体现。直到1871年, 迈尔的成就才得到了认可, 获得了英国皇家学会的科普利奖章。

焦耳（1818~1889）是第一个针对能量守恒定律在实验上做出精确测量的人。他首先研究了电流的热效应，1840年他写在论文 《论伏打电所产生的热》中提出通电导体在一定时间内放出的热量与电路的电阻和电流强度平方的乘积成正比。不久又写了《电解时在金属导体和电池组中放出的热》一文, 得出结论: 电路所放出的全部热量正好等于电池中物质化学变化所产生的热量; 电流的机械动力和加热能力都和电流强度有同样的比例关系, 所以电流的机械动力和加热能力成正比。1843年的《论电磁的热效应和热的机械值》发表，焦耳在英国学术会议上宣称：“自然界的能是不能毁灭的，哪里消耗了机械能，总能得到相当的热热只是能的一种形式。”1849年 6月, 他将论文 《论热的机械当量》经法拉第送交皇家学会,被皇家学会刊印。在这篇论文中, 焦耳总结: “要产生一磅水(在真空中称量, 温度在55华氏度到60华氏度之间)升高1华氏度的热量,需要花费相当于 772磅重物下降 1英尺所作的机械功”。这个值即 424. 3千克·米 /千卡，而现在测得的热功当量值是418.4千克·米 /千卡，由此可见焦尔的测量结果已经非常精确。此后, 焦耳还继续进行他的实验测量, 一直到 1878年。他前后用了将近四十年的时间,做了四百余次实验, 得到了热功当量的精确数值,为能量守恒原理的建立提供了严格可靠的实验根据。

亥姆霍兹（1821~1894）发展和继承了迈尔的思想和焦耳的实验，最终从物理上论证了能量守恒定律。1847年亥姆霍兹在德国物理学会发表了著名的“关于力的守恒”的演讲，主要论点是：1、一切科学都可以归结到力学; 2、证明了牛顿力学和拉格朗日力学在数学上是等价的, 因而可以用拉格朗日的方法以力所传递的能量或它所作的功来量度力;3、所有这些能量是守恒的。他讨论了当时已知的力学、热学、电学 、化学的各科学成果, 严谨地论证了各种运动中能量的守恒定律，并得出结论能量在各种物理现象中守恒，但可以通过做功从一种形式转化为另一种形式。亥姆霍兹后来将这些内容写成专著《力的守恒》,于1853年发表。至此，能量守恒定律作为一条严格的物理定律被物理学界广泛接受。除他们之外, 从 1832年到1854年之间,还有几位不同国家的科学家, 如法国工程师卡诺、德国化学家莫尔、英国电化学家格罗夫、丹麦工程师柯尔丁也分别从各自的研究中,彼此独立地得出了能量守恒的思想。现在人们常将能量守恒定律的发现归功于焦耳与亥姆霍兹，但是事实上迈尔在他们之前就系统且详细的提出了这种思想，但是命运却截然不同。

二、能量守恒定律背后的逻辑根源

能量守恒定律又称为热力学第一定律，可以被表述为“不可能制造第一类永动机”，其背后蕴含的更深层的思想出现的时间，远远早于我们的想象。在能量守恒定律诞生的两百多年前，斯蒂文（Stevinus）和伽利略（Galileo）都或多或少的在研究中运用了一部分这种观念。虽然这一原理是从力学中诞生，但我们绝不能认为这一观念仅仅属于力学世界观，它的逻辑根源在我们对力学进行深入研究之前，就已扎根于我们的思想。这一原理源自于科学家对自然界稳定性的一种更本质的思考，马赫将其总结于对永恒运动的排斥，并认为这一原理持续影响了物理学的发展。自古以来，科学家的使命就是探索自然界运作的规律和探讨自然界是由什么构成的。这之中有一个前提，我们所处的世界是一个稳定存在的世界，物体运动的规律在不同时间是一样的。这与我们日常的认知相符，因为我们没有发现今天水往下流，明天就往上流了，人们日复一日的生活也并没有什么不同。通过更深入的思考，我们认为不能凭空创造运动，否则整个世界的运动会趋向无穷并发散，是不能稳定存在的。斯蒂文将其总结为“永恒运动不可能存在”，并成功用这一原理解释了许多力学问题。在这里我们将其理解成物体不可能自发的产生运动，否则物体就会在不和任何物体作用的情况下，凭空开始运动并永远持续下去，这种情况是与现实违背的。

图2  斯蒂文的流体模型        图3  斯蒂文的斜面模型（均来自《历史和根源》）.

我们先来看看斯蒂文是如何用这一原理取得成功的。西蒙·斯蒂文在他1605年的著作《数学札记》³第四卷的《论静力学》中，用这一思想得到了物体在斜面上的平衡的条件，论述过程是这样的：在一边AC水平的三棱柱ABC上，悬挂等间隔等质量小球的链子，这样小球的质量将与绳长成正比，如图所示，这种情况下体系应该保持静止，因为一旦体系向右边下沉（左边同理），之前的球会再次处于初始位置，而右边的球会再次重于左边并引起第二次下沉，于是体系将自动保持无休止的运动，而这种运动是虚假的。而由于下端悬挂的小球是对称的，将其去除后斜面上的小球仍将保持静止。于是我们得到了小球在斜面上保持平衡的条件：斜面两边自身的质量与斜边长之比相同，而斜边长为高度除以倾角的正弦（$\frac{m_1}{h/\sin(\theta_1)}$ = $\frac{m_2}{h/\sin(\theta_2)}$）。这一结果与我们现在用平行四边形法则与力的分解得到的“沿斜面方向的力正比于质量乘以倾角的正弦值（$m_1 g\sin(\theta_1)=m_2g\sin(\theta_2)$）”是一致的。在同一本著作的“流体静力学”一章中，斯蒂文提出“水的特定质量在水里保持它的位置”。在书中他是这样论证的：我们假定在流体中A没有保持原有的位置而下沉到D,出于同样的原因，填补A位置的水也将流向D，A将被迫离开D,于是引起荒谬的永恒运动。这些成功的例子使我们重新认真审视这一原理的重要性。现在如果我们重新思考斯蒂文的论证，我们应该发现，假如去掉所有阻力，我们应当反对的是凭空产生的加速度。斯蒂文通过对永恒运动不可能这一简明深刻的原理的反复应用，推导出了许多有价值的结论。事实上，这一思想在物理学史上有重要的价值，后世的科学家在研究经典力学时或多或少都用到了相同的思想。

16世纪末，伽利略在研究物体下落获得的速度时发现，物体由于下落而获得的速度，正好能够上升到与下落的高度一样的高度，这一原理我们可以将它认为是排斥永恒运动原理的另一种形式，因为如果小球能上升到更高的高度，我们能认为小球在底部能达到更大的速度，也就是凭空获得了新的运动。它反复多次清晰地出现于伽利略的思想中。伽利略在实验的基础上加以推广，得到物体在水平地面上将一直匀速运动下去的结论，也就是惯性定律。

图四  伽利略的理想实验（来自网络）

惠更斯一定程度上继承了伽利略的思想，并形成了更加清晰的惯性定律的概念。他指出关于上升高度的原理与排斥永恒运动原理是等价的。他在《时钟震荡中心》⁴一书中写道：“如果任何数目的重物由于引力开始运动，重物共同的引力中心总体上不可能上升得比它开始运动时占据的位置更高。”惠更斯提出的关于上升高度的原理成为了“活力守恒定律”的基础，这个定律由约翰·伯努利和达尼埃尔·伯努利阐明，在流体的伯努利方程中得以体现。

图5  热力学第二定律的克劳修斯表述（来自网络）.

对永恒运动的排斥不只出现于力学中，也出现于热学。卡诺在他的《关于火机车动力的思考》⁵中有如下描述：“无论何时借助热做功，热的某一量从较热的物体转移到较冷的物体。热的传递对应于功的完成。反过来利用所得到的相同量的功，人们能够再次使热从较冷的物体传递到较热的物体。”卡诺定理表述为工作物质在$T_1$和$T_2$间工作的效率（吸收热量与对外做功的比值）仅与高低温热源的温度有关，而与工作物质的化学性质无关。因为如果不同化学性质的物质在相同高低温热源间工作做的功与转移的热量关系不一定，则我们能想象这么一种过程：物质A从高温热源$T_1$处搬运$Q$的热量到$T_2$处，并对外做功$W_1$，再由物质B从$T_2$搬运$Q$的热量到$T_1$处，并使外界对他做功$W_2$，于是在热量没有传递的情况下，我们凭空得到了对外$W_1-W_2$的功，这将导致永恒的运动。这与热力学第二定律的克劳修斯表述不谋而合，之后再基于对永恒运动的排斥，我们得到了卡诺定理。当然，上述表述是在热质说的基础上完成的，由于卡诺是热质说的支持者，其理论有一定的局限性。卡诺认为Q在传递的过程中数量不变，而克劳修斯发现，其中的Q1损失了而变成了对外做的功，伴随功的完成，热$Q$从$T_1$流向$T_2$并且失去了一部分，并且失去的这部分与所做的功成正比。通过对排斥永恒运动原理的进一步应用，克劳修斯得到了在高低温热源吸放热与热源温度的关系$-\frac{Q}{T}+Q_1(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T})=0$。

在电磁学的研究中，也有排斥永恒运动原理的身影。1834年，楞次在大量实验的基础上提出了对法拉第电磁感应定律产生的电流方向的判断方法，也就是楞次定律，表述为：“感应电流的效果总是反抗引起它的原因。”我们可以看到，如果不是这样，感应电流会进一步导致更大的促使感应电流产生的运动，从而实现永恒的运动。通过对这种现象的否定，我们可以得到楞次定律的类似表述。

我们在近代物理的研究中看到，能量守恒原理作为研究工具起到了巨大的作用。而排斥永恒运动定理总是导致力学真理的发现，同时也帮助发现其他的物理学真理。但我们要在清楚一点，排斥永恒运动原理绝不是建立在力学的基础上的，因为人们在完备的经典力学理论建立前就已经意识到了这一原理的正确性。

(二) 《能量守恒原理的历史和根源》中的物理思想

一、看待物质的观点——对“热质说”的讨论

看到“热质说”三字，我们会自然而然地把它归类为那类过时的、错误的观点，就像“以太”、“原子的葡萄干布丁模型”一样应该淹没在历史的故纸堆中。它主张热是一种无形的无质量的物质，可以渗透在一切物体中，而物体的冷热取决于所含热质的多少，它可以从较热的物体流向较冷的物体，而总量保持不变。

一系列的实验否定了这个观点。1798年，欧洲的美籍科学家伦福德伯爵发现摩擦生热现象，使他认为“热是由运动产生的而不是物质”的想法。1799年，英国的汉弗里·戴维在真空中、冰点下摩擦了两块冰，体系热容上升而温度不变，这同样与热质的守恒违背，他由此断言热现象的直接原因是运动。后来，我们熟知的焦耳花了40年的时间所做的一系列实验，表明一定热量的产生，总是伴随着等量的其他能量的消失，反之亦然，彻底地否定了“热质说”。

《历史与根源》的第一版出版于焦耳最后一次测得热功当量之前的六年，第二版则出版于1909年，在书中，马赫却“冒天下之大不韪”，宣称“热是否是物质”这个问题实质上是“约定的、无关紧要的”，这是为何？

马赫以电学中的现象类比，论述了这个问题。要理解这个论述，我们需要了解当时常见的仪器——莱顿瓶。从现在看来可以把它理解为电容器，它可以储存净电荷，或将它放出，用以做功或发热，其发热量可以用温差静电计测量。在做功的过程中，“我们没有想象做功时电量消失了，我们只是设想电进入不同的位置”，这样看来，对电现象和热现象的处理存在着差异。那我们凭什么说能做功的“电”是物质，而“热”不是物质呢？

图6  库仑和他的扭称.         图7  莱顿瓶(均来自网络).

马赫说，这是历史的原因，可以追溯到库仑的扭称实验。库仑测量了带电小球之间的作用力，假定在距离为$r$时，A和B之间的作用力大小为$F$，再令B和一不带电的小球C接触（我们知道，一部分电荷会从B转移到C，当然，假定现在我们没有电荷的概念），这时分别测量B、C在距离为$r$处和A的相互作用力，实验上得到它们的总和为$F$不变。马赫说：“如果我们将这个结果归因于实物，那么我们自然地推断出它的恒定性。但是，这个阐述的要点是电力$F$的可分性，而不是实物的明喻”。也就是讲，在这个实验中，是静电力的可加性引导我们认为，静电力产生的原因满足可加性，而这正是物质的性质。所以我们有一种自然的想法，认为电现象源于一种物质，力提供了度量这种物质的方式，这种物质自然就是电荷。

之后，马赫假设说，如果莱顿瓶和温差静电计出现在库仑的实验之前，那么我们看待电现象的观点会有所不同。一个自然的想法是，认为莱顿瓶所含的能量来源于“电荷”。现在，假设有一个电量为$q$的莱顿瓶A，和一个不带电的瓶B，在A和B导通的过程中，有热量放出，说明体系的能量减少了。但是如果我们提取这两个瓶子中的净电量，可以发现总和为$q$不变。因此在这里，作为能量来源的“电荷”的量，会因为体系放热或做功而减少，那么这个“电荷”一定不是一种物质。在今天的我们看来，显然它是另一种形式的能量——电荷携带的电势能。

图8:   莱顿瓶的两种放电方式(黄冬郁画).

因此，马赫认为，现象的原因是否是物质，取决于我们对现象的测量，而在热现象这个例子中，历史上的人们偶然地首先使用做功来度量热，因而了解到，热的性质与物质的可加、守恒相违背。热质说的支持者们很不幸没有找到这样一个概念与对应的测量手段，来证明热的物质性。但是在今天的我们看来，这样一个和物质一样可加、守恒的物理量不是别的，正是包含内能在内的各种形式的能量的总和，它们相互转化而总量守恒。马赫也说：“今天，如果任何人还愿意认为热是实物，那么我们会毫不费力地容许这个人这一自由。他只需要假定，我们称之为热量的那种东西是实物的能量，它的量仍然保持不变，但是它的能量（的形式）改变了。事实上，在与物理学的其他术语类比时，我们说热的能量而非热的量也许更好一些。”这实际上把能量与实物等同，马赫所支持的是一种被称为“唯能论”的思想，这里不多做讨论。

尽管上面举的例子只限于热现象和电现象的一个小小概念，但其中的内涵对于物理理论的建立有着深远的意义。从上面的讨论中可以归纳出这样的基本观点：对于一个物理概念，测量方式才是至关重要的，我们甚至可以跳过“这个概念的本质是什么”这样的问题，而直接问“如何测量它”，后一个问题才是物理学所关心的。一个简单的例子就是“时间是什么”。许多人孜孜不倦地探求时间的本质，甚至将这个问题上升到很高的哲学高度。但在建立物理理论的过程中，我们可以简单地把时间作为系统演化的一个参数，系统随着这个参数的增加而发生变化。而如何测量这个参数的变化量呢？我们可以选取一些重复发生的事件，认为它们具有时间上的周期性，比如寒来暑往、日月盈昃，又比如单摆往复、原子状态在两个能级间的振荡，用我们经历这些事件的数目，来度量经历的时间。这些事件成为了我们度量时间的尺子，这把尺子可能不够精确，我们甚至不太清楚它所测量的对象的本质，更严重的是，我们可能由于缺乏对概念本质的认知，而无法质疑当前使用的尺子的精确性（因为我们不知道如何衡量这个概念的精确性），但是早期的物理学可以只处理现象之间的关联，而不去关心现象的本质是什么，物理学只要求理论严谨自洽，理论做出的预言在误差允许的范围内也是准确的。例如，关于万有引力的理论可以做出这样的预言：“哈雷彗星每隔76年经过近日点”，这句话实际上表明的信息是：地球每绕太阳公转76次，哈雷彗星会到达它的轨道上的同一位置。这句话的内容仅仅关乎现象，而不涉及现象的本质，我们可能不知道时间的本质，不知道引力从何而来，但我们依然能做出这样的预言。

图9:   原子钟原理（来自网络）即使精密如原子钟，它也只是时间流逝现象的度量，而非时间本身。

正如马赫在这一章强调的，“我们坚持一件事情，这就是在自然研究中，我们仅仅处理外观（现象）相互关联的知识。我们想象外观背后的东西，只不过存在于我们的理解中，对我们来说仅仅具有记忆技巧或公式的价值，其形式很容易随我们文化的立场而变化，因为它是任意的和不相干的。”

二、关于科学理论的观点

马赫在他的书中提到了科学理论的价值所在，他说：“假如所有个别事实——我们希望的所有个别事实、知识——是我们直接可接受的，那么从来也不会出现科学。”因此科学的价值在于对我们观察到的现象进行处理，使它们成为我们可以接受的形式。

其一是科学理论的建立，可以简化对现象的描述，由此收集尽可能多的现象，这种简化是由于理论对现象的总结、归纳作用。他举了一个描述自由落体现象的例子，假设我们让一个物体从静止自由下落，我们可以有两种方法，来描述它何时落到何处。一种是直接测量时间和它下落的距离，将所有数据列成一个表格，这样物体何时在何处就一目了然了（但必须指出这种方法是不现实的，首先我们不能把时间和长度测得足够精确，更严重的是，一个区间内的实数比全体自然数还要多，这意味着即使是一个无限长的表格也无法穷尽所有的数据点。但我们暂时忽略这些困难）。另一种方法，就是使用自由落体的运动规律写出这个公式：$h=\frac{1}{2}gt^2$，其中$h$是下落的距离，$g$是重力加速度常数。这样，想要知道物体的位置，只需把时间的值代入公式计算，便可以知道结果。与第一种方法的数据表，也就是事实的直接描述相比，这个公式显然更加简洁而优美，它作为事实的归纳而存在，并且具有一定的普适性，也就是说在面临其他的自由落体问题时，我们可以直接调用这个结论。

马赫随后说：“这个导出法则，这个公式，这个‘定律’，现在一点也不比个别事实的集合具有更真实的价值。它对我们的价值仅仅在于使用它方便：它具有经济的价值。”不过值得注意的是，理论本质上基于一个虚构的模型，是描述现象的手段而非现象本身，在一定的精度范围内，它与现象的直接描述（也即数据表）确实是等价的。但这种手段与直接描述存在着差别，它们包含的信息实际上并非等同。以上面的落体为例，公式$h=\frac{1}{2}gt^2$的导出基于“物体只受重力”的假设，是一个理想的模型，然而在现实中，空气阻力等因素的影响会被反映在数据表中，这是我们的理论没有考虑到的。一个十分典型的例子就是玻尔的原子模型，它用了少量的假设便解释了氢原子光谱中一系列主要的谱线，然而和一张足够清晰的光谱照片相比，玻尔的模型遗漏了一些信息，那就是他无法解释的精细、超精细光谱结构。因此判断一个理论能否替代对事实的直接描述，精确性也是需要考虑的。

图10:   玻尔的氢原子模型（来自网络）. 图中的长度量代表原子在两能级间跃迁放出或吸收光的波长。但仅仅考虑电子的相对论效应与自旋-轨道耦合，图中的656nm谱线实际上就劈裂成了五条靠得很近的谱线，这是玻尔理论无法解释的。

要使现象可以被接受，理解它们当然是必要的。科学理论的另一个作用，便在于简化对现象的理解，这也是经济性的一种体现。对现象理解的简化，在于把一个复杂的不可理解的现象分解成多个简单的现象。比方说，继续以上面自由落体的现象为例，如果直接给出用公式表达的距离-时间关系，在缺乏必要的知识的情况下，这其实是难以理解的，然而理论（也就是“必要的知识”）可以将这个规律简化，它只需要我们承认以下的事实：

1. 惯性系中，物体速度对时间的变化率正比于受力大小与质量之比；

2. 一定范围内，地球可看成惯性系，地球表面附近的物体受竖直向下的重力，其值正比于物体的质量。

在以上前提下，加上一些简单的数学手段，可以很方便地导出我们得到的运动规律。这样的过程，是一个将复杂现象还原、分解，得到简单、基本的规律的过程，这被称为“解释”。但马赫同时指出，我们不应该自大地认为我们可以由此完全地理解各种现象。复杂现象的不可理解性，在于它看起来包含了太多的信息，与经验相差甚远，我们可以把这种不可理解性称为“异常的不可理解”，然而简化它们所得到的基本事实就可以理解了吗？答案依然是否定的。一个事实不会因为它看起来简单就可以理解，但我们常常允许甚至忽视这种不可理解性的存在，这是一种“寻常的不可理解”。

回到自由落体的例子，我们所承认的那两条基本事实便带有“寻常的不可理解性”。寻常是因为我们对它们如此地熟悉，而不会去质疑它们的正确性。不可理解是因为在这个力学体系内，它们不能被更基本的理论导出，都是从实验当中总结的规律。它们的地位就相当于“两点确定一条直线”在欧氏几何中的地位，这些基本事实是容易被接受的，但并不比冗长的数据表或是不知所云的公式更加容易理解。

马赫指出，基本事实的选取依赖于习惯、历史。一个例子就是万有引力的作用方式。如果不是生活在地球上，对引力的影响司空见惯，那么万有引力看起来是不可理解的。因为牛顿的万有引力定律表明，两个相隔一段距离的物体，不需要接触便可以发生相互作用，这被称为“超距作用”。这种相互作用具有一种“异常的不可理解性”，因为我们所熟悉的相互作用，比如弹力和摩擦，都需要两个物体相互接触才能发生，我们承认的基本事实是：“物体在存在之处作用”。为了解释万有引力的不可理解性，我们不妨把上面的基本事实倒过来讲：“物体在作用之处存在。”这样，看似超距的万有引力实际上指出了物体并非只存在于我们接触到的地方，或者相互作用的物体之间，并不是完全的虚空，这是一种朴素的“以太”或者“力场”的概念，理解万有引力的障碍，只剩下了“寻常的不可理解”。

选取基本事实的过程，实际上也是理论建立的过程。从上面的讨论我们知道，一个理论的建立总是不可避免地需要承认一些不可理解的命题。而马赫指出，科学所立足的最终的不可理解，必须是事实，或者是能被实验验证的假设，这种假设需要满足的要求是：假设中的所有细节，必须与现象中的所有细节相对应，假设中的事物的所有特点必须能传递到实验现象中。相反，“若如此选择假设，以致于它们所主张的东西从来也不能诉诸感觉，从来也不能受到检验，那么研究者便做了超越了以事实为目的的科学所要求的事情，这种职责之外的工作是一种祸害。”

三、关于因果律与实证经验

在马赫的书中，因果律作为能量守恒的逻辑基础而存在，然而从因果律导出能量守恒定律的论证过程却并不是十分清晰，因此这里只解读马赫关于因果律本身的讨论。

对于因果律的具体表述，书中引用了费希纳的说法：“处处和时时：若相同的环境再次发生，则相同的结果再次发生”，其中“处处和时时”表明，原因和结果相联系的规律是普遍的，它不会因为空间的移动或时间的推移而消失。用更简单的形式来讲，可以说“结果由原因决定”。这样的道理是妇孺皆知的，即使在文化程度非常低的阶段也能够明白因果律的具体形式。但是真正需要知识与经验的地方，在于对因果律的运用上。

因果律的一种误用，在于把各种现象复杂化，给事物强加一些难以验证的关联。这种误用常常在一些所谓的超自然的叙述，或是封建迷信的传统中出现。马赫在书中举了一个颇有中世纪风格的例子，那就是当时的炼金术士相信，他们的水银炼金工艺必须在“一英里的半径内无人咳嗽”的条件下才能成功，在今天看来，且不论由水银炼金在化学上的可行性，炼金术需要这个条件显然是荒谬的。从事物相互联系的角度看，这样的条件与水银的化学环境并无关联，是强加因果关系的表现。对于童年时期对因果律的正确认识，马赫有一段精彩的叙述：“后来，有一天我看见风车。我看到轴上的轮齿如何与驱动磨盘的轮齿啮合，一个齿如何推动另一个齿；从那时起，对我来说，情况变得很清楚，一切并非与一切关联，而是凭借环境有所选择。”而判断事物间“有选择”的联系，则需要实证经验的帮助。

有一个关于杠杆的经典例子。阿基米德在论述杠杆原理时运用了这样一个大前提：两边悬挂等重量重物的静止等臂杠杆将保持平衡。其原因可以用因果律来解释：假如杠杆有理由向左倾斜，那么由于整个系统关于支点左右对称，相同的理由也会导致杠杆向右倾斜，而杠杆的这两种运动显然是相互矛盾的，因而杠杆将保持平衡。但是，在运用因果律进行推理的过程中，我们必须意识到哪些因素是与杠杆的运动直接相关的。，些因素只能是杠杆与重物的力学特征，具体地讲，是重物所受的重力、悬点到支点的距离以及杠杆的质量分布。然而在没有实证经验的人看来，一切的因素都可能与杠杆的倾斜相关，假如把其中一个重物形状改变，而保持其重量，或者给杠杆的两臂涂上不同的颜色，上面“对称”的条件都会被破坏，他便无法做出这样的论证，但我们知道，形状、颜色在我们的论证中是无关紧要的。

图11:   杠杆原理的经典证明方法（来自《历史和根源》）. 通过将重柱体不同长度的两段(2m,2n）等效地替代成两个悬挂在不同悬点的重物(r, s)，证明了力与力臂的反比关系。其中关键的论证前提就是等臂杠杆的平衡。

在这里马赫总结道：“科学几乎更多地是通过它学会不理睬的东西而成长的，而不是通过它不得不考虑的东西而成长的。”换句话说，科学很多时候是在做减法，把事物之间多余的联系剔除，从而揭示现象的固有特征、事物之间最深层次的关联，以及相互作用的一般规律。

参考文献

[1]  马赫，《能量守恒原理的历史和根源》，李醒民译，商务印书馆

[2]  武际可，《力学史》，重庆出版社

[3]  朱晓东，《热学》，中国科学技术大学出版社

[4]  徐克尊等，《近代物理学》，中国科学技术大学出版社  

注释

1《自然哲学的数学原理》：Mathematical Principles of Natural Philosophy，1687

2《论无机自然界的力》：Bemerkungen uberdie krfte der unbelebten natur，1842

3《数学札记》：Hypomnemata mathematica，1605

4《时钟震荡中心》：Horologium de centro oscillationis

5《关于火机车动力的思考》：Réflexxions sur la puissance motrice du feu,1824