本文是中国科学技术大学龚明老师物理学思想史课程的作业，讲述的是从古希腊到牛顿时代一些先哲对宇宙是否无穷这一问题的观点和他们的思想。本文作者水平有限，如有纰漏或错误烦请您指出，您可以发至邮箱：1404907645@qq.com。感谢您的阅读！

宇宙，有穷还是无穷

——从古希腊到牛顿时代西方人的宇宙观

作者：荘

摘要

  当我们仰望夜空，感慨星空的璀璨，宇宙的浩渺时，是否想过这广阔的宇宙有无尽头，我们是生活在一片无穷无尽的时空中，还是生活在虽然无比广阔但其实封闭的世界里？似乎是本能里就有着对远方的好奇、憧憬，自古以来一直有无数人在探索我们生活的这一宇宙究竟是有穷还是无穷的。这篇文章介绍了从古希腊到牛顿的时代一些西方先哲对宇宙是有穷还是无穷这一问题的看法和他们的思想。

古典时代

  我们的故事从古希腊时期开始说起。在古希腊，人们就宇宙是否有限分成了两派，展开了长久而激烈的争辩。

巴门尼德

  第一位支持宇宙有穷的代表人物是生活于公元前5世纪的巴门尼德。他认为世界这个“存在”在各方面都是受限的，很像一个滚圆的球体，从中心到边界上每一处的距离都相等^[1]。

柏拉图

  在他之后的另一位“宇宙有穷论”的支持者是柏拉图。出于“宇宙必定和谐”的直觉，柏拉图认为宇宙是一个圆球，因为球体是对称和完善的。同时他也认为宇宙的运动是一种圆周运动，因为圆周运动被视为最完善的运动^[2]。

亚里士多德

  柏拉图的学生亚里士多德继承了他的学说，并且使之更有说服力。亚里士多德是历史上第一位明确区分“实无限”与“潜无限”的人。什么是实无限，什么又是潜无限？潜无限指的是一种无终止的过程。一位步行者可以无限地向前行走（不考虑实际情况），一步又一步……他总能再多走出一步，这种永远能向前再多走一步的特性就是潜无限。再举一个例子，我们先取走一条有限长线段的1/3，然后再在剩余部分中按同样的比例取走一部分，不停地重复这样的操作，我们会发现永远都会有一部分剩下来，这种永远都能再取走1/3的特性也是潜无穷。而当我们使用实无限时，我们指的则是已经形成了的对象的属性。我们可以说自然界中的某样存在物是无限的比如宇宙，这里指的就是实无限，因为这些存在物就是早已存在了的。我们可以从两个角度来看实无限和潜无限的差异：一是从生成的角度看，实无穷是肯定完成时（gone），而潜无限则永远是进行时（forever going），二是从存在的角度看，实无限是静态和实在的，潜无限则是动态的和潜在的。^[3]亚里士多德宣称在现实世界中只有潜能的无穷存在而没有现实的无限存在，因此他的宇宙是有限的。^[4]

  另外一派赞成宇宙无穷的学者中比较著名的有米利都学派的阿那克西曼德、毕达哥拉斯学派的阿尔库塔斯以及原子论的支持者伊壁鸠鲁、卢克莱修等人。

阿那克西曼德

  出生于约公元前610年的阿那克西曼德师从泰勒斯。很多前苏格拉底派都致力于寻找万物的本源，比如泰勒斯宣称水是万物的始基，世间一切都浮在水上。而他的继承者阿那克西曼德本人则认为“阿派朗”（ἄπειρον）是一切存在物的本源。阿派朗这个词是古希腊语的英译，这个词本身涵盖了无限、无定的意思^[5]。他之所以以阿派朗为始基是由于他观察土、水、气、火四种元素相互转换的途径，想到不以其中某一元素，而以另一种高于这一切的东西为本源才更合适。他认为“阿派朗”在永恒运动中分离出热和冷，干和湿等对立物，从而产生了世间万物^[1]。阿那克西曼德是第一位尝试构造一个机械宇宙模型的古希腊自然哲学家^[2]，图1为他构造的宇宙。尽管他认为一切都源自阿派朗，但他构造的宇宙更像是迷失在无尽空间里的孤岛。在这样的宇宙里，大地是一个悬在空中，没有任何支撑物的圆柱体，人类生活在其中一个表面上。在最外面是包围世界的火，星辰则是从这些火中分离出的火圈，火又被空气包裹着，有一些通气的洞，一些管状的开口，我们所看到的星辰其实是从这些洞投射出的火光。而这些洞有时会关闭，于是就有了月的盈亏。^[1]这样的宇宙在今天看来无疑是荒诞不经的，但如果我们考虑一下他所处的时代，就会发现这一想法其实是非常进步的：宇宙不再是神灵和非自然力量的舞台，阿那克西曼德以自然的法则代替了神灵，标志着人类从蒙昧走向文明。

边缘悖论

  当我们想象一个有限的宇宙时，脑海中会出现怎样的图景？无论我们想象出来的宇宙是怎样奇形怪状，它总有一个中心和一个边界是不是？那么中心和边界那里又会有什么？中心和边界的存在又是否真的合理？中心的问题很好解决，完全可以将地球或是太阳当做中心，而这正是人们多少个世纪以来都在做的事。而边缘呢？大多数人想象的出来的有限宇宙图景可能都是这样的：一个有限封闭的宇宙沉浸在一片黑暗虚空里。但这样的宇宙图景其实是有问题的。“四方上下为宇，古往今来曰宙”，我们所说的宇宙指的是一个包含了世界一切的东西，在他之外应该是什么都没有的，连虚空都不会有。那么这就有一个问题了，在我们之前想象的图景中，边界是很显然的一种东西，它划分了黑暗虚空和我们的宇宙。但实际上我们的宇宙之外什么都没有，这样边界的存在似乎就不那么显然了。边界是用来划分两件不同的东西的，边界内和边界外都有东西存在，它们相互对照，才会显示出边界，可宇宙之外是什么都没有，我们又要怎样分辨出边界？因此原子论的支持者伊壁鸠鲁会在《致赫罗多得的信》中写道：“宇宙是无限的，因为有限的东西必定有一个边界，而边界总要靠比照着另外的东西才能看出来。因此由于宇宙没有边界，也就没有限制，所以它必然是无限的”^[1]。

  毕达哥拉斯学派的阿尔库塔斯又提出了另外一种关于世界边缘的悖论。他说，如果有一个人站在宇宙的边缘，那么他是否可以伸直自己的手臂，或是一根木棍？答案显然是肯定的，可如果他真这样做了，那么他的手臂或木棍所延伸的地方将是新的空间，也就是说他的手臂或木棍会突破边缘的极限，使空间被扩展。在这之后，他还可以自由地进入新创造的空间并再次伸出手臂或木棍，一直重复这样的操作，空间可以无限地扩展。因此从逻辑上来说，宇宙应该是没有边界^[7]。后来卢克莱修在长诗《物性论》中描述了一幅更生动的图像：在天的尽头向前投出一支飞矛，飞矛无论是向着被投去的目的地远远飞去还是被某一物阻挡，都将违反站在天的尽头投矛这一前提^[8]。

  这两个关于边缘的悖论看上去的确让人头疼，在历史上也的的确确困扰了人们两千多年。当我们仔仔细细分析这两种关于边缘的悖论时可以发现，其实问题的真正核心就是有限必定有界，无限必定无界这个论点是否正确。这个论点如果就我们的日常经验来看似乎是不证自明的。可事实果真如此吗？不，其实这一点必须在欧几里得空间的假设下才成立。因此直到18世纪，人们修改欧几里得几何的奠基石之一——第5条公理即平行公理并创造了崭新的非欧几何时，这一悖论才得到完美的解决。这一新派几何学看上去是如此怪异：三角形的内角和不是180°，过直线外一点不止有一条直线与已知直线平行……最重要的是在这种几何中空间可以是有限而无界的。这样诡异的性质不禁让人怀疑它的正确性，毕竟这可是我们的日常经验完全相背的呀。但数学家们认为这套几何体系的逻辑和传统的欧式几何的逻辑是完全相同的，唯一的差别只在一条公理上。只要我们认为欧式几何是自洽的，那么非欧几何就也是自洽的。随后经过了一系列实验，物理学家发现非欧几何更能呈现出世界的正式面貌。于是在非欧几何被应用到宇宙学中之后人们再也不必被边界的问题所困扰了，无论宇宙是无限还是有限的都不需要边界的存在，边界被彻底地驱逐出去了。

托勒密

  生活在公元2世纪的托勒密是古代天文学的集大成者，图3是一幅15世纪绘制的图形，展现了托勒密的宇宙：地球位于宇宙的中心，最外层是恒星天球，从中心向外依次是地球、月亮、水星、金星、太阳、火星、木星、木星以及最外层的恒星天球。

托勒密还尝试计算了这个有限宇宙的大小。如图4他假定天空中所有可能的高度都被行星占满，每个行星都有自己时刻占据的高度带，这些高度带相互之间无缝密接。他已知月亮的最大高度是64个地球半径，月球所在的高度带与被水星占据的高度带是相毗邻的，由此推测水星的最小高度是64个地球半径。然后他利用已知的水星本轮与均轮之比推算出水星的最大高度，而这个值又等于金星的最小高度。不断重复这样的操作直到算出恒星天球的高度，最终托勒密算出整个宇宙的半径是地球半径的19865倍。尽管这个距离甚至小于地球与太阳的真实距离，但对于那个时代而言这个距离已是无比的巨大，正是托勒密的工作使宇宙尺度第一次显得如此巨大。^[9]

中世纪

  到了中世纪，由于神学的影响，西方的各种宇宙模型都回归到米利都学派一个有限的宇宙沉浸在一片虚空中的形象。在恒星天球外的地方被最终被视为“空间”， 这个空间可能是物理的，也可能是神或精神的。在这“九霄云外”，是上帝、众天使与诸神的领地^[6]。图5展现了中世纪基督教化了的宇宙图景。这个宇宙和托勒密宇宙很像，中心是四元素区，环绕中心的是七颗行星，行星之外是恒星天球。但在恒星天球之外还有别的东西。亚里士多德曾由凡运动着的事物必然都有推动者在推动着它运动这个错误前提推导出第一推动力的存在^[4]。我们可以看到在最外面的就是正在加冕的上帝，他旁边的是九个等级的天使。

近代

哥白尼

  托勒密的地心说深入人心，统治了人们一千多年，直到1543年它的地位才被尼古拉斯·哥白尼重新引入的日心说所撼动。如图6，在哥白尼的宇宙中，宇宙的中心不再是地球，而是让位于太阳。不过哥白尼仍然保留了传统的“被恒星天球包围的有限宇宙”的观点，他只是扩大了中世纪的宇宙模型，使其比托勒密的大了约2000倍^[11]。尽管哥白尼的日心说是“宇宙有穷论”的支持者，但它本身却孕育着从封闭世界到无限宇宙的革命：过去的人们认为地球是固定不动的，宇宙中的一切都围绕着地球旋转，所以很难想象一个无穷宇宙的图像；但当人们承认地球是一个在不停运动的天体，用肉眼观察到的其他天体的运动是受地球运动的影响，那么之前的困惑就不复存在了。

托马斯·迪格斯

  1572年，第谷发现了超新星爆炸，为彻底动摇恒星天球模型提供了第一个可观测的证据。被发现的超新星爆炸出现在仙后座的位置上，也就是恒星天球中。但在此前的模型中只有中心的四元素区是可变的，而月球之外的行星和恒星天区是永恒不变的，^[9]于是一场革命蓄势待发。

  1576年，英国哥白尼学派的领袖托马斯·迪格斯在第谷的观测结果的影响下打破了恒星天球，让世界从封闭转向开放。他在《对天球的完美描述，根据近年来由哥白尼所复兴并为几何学所证明的最古老的毕达哥拉斯学说所作》一文中给出了一幅崭新的宇宙图（图7）。图中无数星体不再固定在一层薄薄的恒星天球上，而是零星分布在无限空间之中。不过，尽管迪格斯的宇宙是无限大的，但由于受到宗教概念和形象的束缚，他并没有将他的星体置于一个天文学的天空中，而是放置在一个神学的天国里。他说：“恒星天球自身沿着球形的高度向上无限延伸，因此保持不动。”他又说：“这个天球是幸福的宫殿，由无数盏永远闪亮的、荣耀的灯装饰，它们在量和质上远远超过了我们的太阳，它是伟大上帝的贵苑、选民的居所、天使的家园”^[11]。不过无论如何，他都在科学的道路上迈出了重要的一步。

布鲁诺

  同时代的乔尔丹诺·布鲁诺则在宇宙无限这条路上走得远得多。作为“宇宙无穷论”的狂热信徒，他认为宇宙是物质的、无限的，是无限空间中的无限物体，向任何方向无穷无尽地延伸。在《论无限、宇宙和诸世界》一书中，布鲁诺批评了亚里士多德的理论体系，否定了亚里士多德对地点的定义和虚空观，并以承自卢克莱修的关于宇宙边界的悖论为依据反驳有限宇宙。^[6,13]

开普勒

  布鲁诺的观点在他所属的时代几乎没有什么科学上的影响，这是因为他无限宇宙的观点只是形而上学的，并没有任何天文学上的证据可以支撑他的论点。因此稍晚于他的开普勒会出于这样纯科学的理由拒斥他这种纯粹形而上学的而无法建立于经验科学之上的学说。而另一方面的原因则是出于开普勒的宗教信仰。他那个时代基督教仍有着巨大的影响力，他本人是一名一位虔诚但不乏异端的基督徒，在他眼中，世界是上帝的表达，象征着三位一体（太阳代表、象征甚至体现着圣父，天穹象征着圣子，它们之间的空间象征着圣灵）。开普勒继承了自古希腊以来对数学秩序与和谐的追崇，在他看来，这样的结构正体现了数学的秩序和和谐，但在布鲁诺那个因无限而完全均一、无形式的宇宙里这种秩序和和谐却是无处可寻的。^[11]为了证明自己的观点，开普勒提出了一个天文学佯谬——黑夜佯谬，这个佯谬更广为人知的名字——奥伯斯佯谬，因为奥伯斯的描述使它更广为流传。

奥伯斯佯谬

  夜晚是黑的，只有月亮和有限的星星散发出微弱的光芒，这是我们的常识。而现在我们来设想一个无限的宇宙，其中布满了无数的星体，那么无论望向哪个方向都会看到一个或近或远的星体。星体的光芒理应使整片天空像白天一样明亮，甚至更亮。有人可能会觉得天空中星星有的离我们近，有的离我们远，那么离我们远的星星是不是会暗一点，以使天空并不那么明亮？但如果我们假设宇宙各处星星的亮度平均而言近似相同，以地球为中心，将周围的太空依不同半径向外等距划分为若干同心球壳，就是一层又一层洋葱，直到无穷远处。那么虽然位于最内层球壳的星星由于离我们近而最亮，但这个球层里的星星数目也是最少的，而外层的星星单独一个并不亮，但是由于数量更多，总的视觉亮度其实是与内层相同的。图8展现了奥伯斯佯谬的图景，假设无限的宇宙中有无限的星体，图中从近到远星体依次出现。^[15]

  光速是一个非常大的值，约每秒钟30万公里，但它和宇宙尺度相比较，就算不上什么了，在银河系中离我们最近的恒星发出的光到达地球都需要数年时间，我们现在看到的光线其实都是很久以前由恒星发出，它们经过漫长的旅程才到达地球。在大爆炸宇宙模型中，宇宙诞生于距今约138^[16]亿年的一次大爆炸，随后开始膨胀至今天这个状态。因此宇宙在时间上有一个开端，我们不可能接受到来自大爆炸之前时刻的光。另一方面光速是一个有限的值，所以我们最多只能接受来自距离我们约138亿光年外的光。

  那么要如何解决这个悖论？奥伯斯本人曾提出假说：宇宙中可能充满星际灰尘和气体，它们挡住了遥远星体的光芒。但这个假说却是站不住脚的。这些微粒不可能只吸收光而不发射出光或别的粒子，而且当到达稳定态后由能量守恒可知，这些星际灰尘和气体的亮度会与它们挡住的星体相同。这里有在两个在今天被广为接受的解释：过去时间的有限性和红移现象。

  另一个解释的事实基础则是“宇宙在膨胀”。时空的膨胀会改变光的频率，发生红移现象。光的能量与波长有关，波长越大能量越低，即红光会比蓝光的能量更小。由于宇宙在膨胀，远离地球的光会发生非常大的红移，能量也随之锐减，甚至可以忽略不计，所以宇宙的总视光度是一个有限值。无限远处的星星可能发出可见光、紫外光，但当它们到达地球时已经变成红外光，因此我们看到的夜空是黑的。这样奥伯斯佯谬就得到了解决。^[15,17]

伽利略

  1609年，伽利略用望远镜开始观察宇宙，人类的视野得到空前的扩大，不过在“无穷空间”这个问题上，伽利略则采取了非常谨慎的态度。他在《给英格里的信》中写道：“宇宙是有限的还是无限的？这仍是悬而未决的（而且我认为，对于人类的认知而言，这一点恐怕永远也不会有定论），难道你不知道吗？”^[11]

牛顿

  著名的物理学家艾萨克·牛顿以万有引力解释天体的运动。如图9，牛顿的宇宙空间由笔直的光线编织而成，彗星、行星和恒星沿着万有引力规定好的精确轨道上运行，图中还汇集了在牛顿理论体系下太阳系不同彗星的轨道。

   由于引力的范围是无限的，因此牛顿宇宙学主张空间也是无限的，但若在无限的空间里遍布无穷的星体，那么力也将是无穷大的。这一点我们可以通过简单的计算得到。首先由于宇宙的尺度是无限大的，我们完全可以假设宇宙中的星体是均匀分布的，然后取宇宙中任意一点为中心，考虑一个球体模型。牛顿的引力公式是:F=GMm/r²，其中G是一个常数，M, m是两个发生相互作用的物体的质量，r是两个物体间的距离。由于万有引力是平方反比力，所以我们可以通过简单的计算得出一个球壳对内部物体的力为零（读者可以自己尝试着计算下），于是我们可以只考虑球体内部的星体对球边缘处星体的力的作用而不必考虑球体外的星体的作用。由于我们已经假设星体是均匀分布在整个宇宙中的，所以对这个球体而言质量M与半径r的三次方成正比。于是球面处质量为m的星体受到的力F∝M/r²∝r，那么距离我们所选择的空间点处无限远的星体受到的引力也是无限的，而我们所选取的空间点是在无限的空间里任意选取的，所以在空间每一处的星体受到的引力都是无穷的。一个每一物体都受到无穷大作用力的宇宙无疑是不合理的。为了解决引力无穷这个问题，牛顿假设星体呈均一分布，并构成一个有尽的集合体，即牛顿的宇宙是一片虚空和迷失在虚空中的一个岛屿群。不过这样的一个宇宙依然是很不稳定的，每个星体彼此吸引，只要有最微小的扰动，平衡就会被打破，所有的天体都会向同一个中心坠落，宇宙会因此坍塌。^[6,18]

莱布尼茨

  与牛顿同时代的大哲学家、数学家，牛顿的老对头莱布尼茨则对他的观点表示坚决反对。尽管他也认为宇宙是无穷的，但在别的方面他与牛顿的观点则大相径庭。他认为空间并没有任何绝对属性，并不是客观存在的实体，而是实体之间的一种理想关系。在这种观点下，他自然不会认为一个所有物质都分布在有限空间里而整体却是无穷大的宇宙是合理的。在他看来，天体是均匀分布在整个无穷空间中。^[6,11]

结语

  这篇文章介绍的是从古希腊到牛顿时代的宇宙观，到这里关于这一个问题的故事还远远没有结束，后世的学者们创造了更多更符合现实世界的模型，但篇幅所限只能写到这里。关于宇宙是有穷还是无穷这个问题直到今日还没有得出最终的结论，不过我们一直都未曾停止过向星辰深处的探索……

参考文献

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