数学危机与数学的发展

中国科学技术大学物理系，张志晗，物理学思想史作业

第一次数学危机

这是名画《雅典学堂》的左下角(见图1)。正在一本厚书上写字的老者，是古希腊著名的哲学家和数学家——毕达哥拉斯。他面前还有一块黑板，记录了毕达哥拉斯关于琴弦音高的研究成果——“五度相生律”。而这场始于琴弦的研究，却意外引发了“第一次数学危机”。

图1. 来自名画“雅典学院”。

毕达哥拉斯（Pythagoras，约前580年－前500年）是哲学史上第一个至关重要的人物，他大约生活在公元前580年到500年，是一个哲学家、数学家，以及音乐家。但是如果你因此认为他会谱曲或者演算等式，那就未免太天真了。从古希腊的方言上看，他是一个爱奥尼亚口音的人，出生在萨摩斯岛，父亲可能是珠宝匠、商人或者不足为信的阿波罗。萨摩斯与米利都只隔着一道几公里宽狭窄的海峡，在商业上是竞争的关系，但青年时代的毕达哥拉斯并没有牵涉其中，反而投身于东方世界的游历中去，据说埃及人传授给他测地术，腓尼基人传授给他算术，迦勒底人传授给他天文，波斯的麦琪向他传授人生的箴言，他或许在某一次游历中拜访过米利都的泰勒斯，接触了“泰勒斯定理”（Thales'theorem），据说锡罗斯岛的菲瑞塞德斯[1]还向他讲授了轮回转世。今天的我们当然没有毕达哥拉斯的肖像，他最著名的形象出现在拉斐尔那幅著名的《雅典学堂》里，毕达哥拉斯正带领众人钻研着什么，面前还有一块黑板。这块黑板分上下两半，下面的部分与本文的内容无关，不讨论它；上面的一半是用曲线和比例演示的“五度相生律”，一种乐理上确定音高的方法。简单地说，琴弦的频率反比于琴弦的长度，当两个乐音的频率为简单整数比的时候，能给人带来和谐的感觉。最简单的是取频率相差2倍的两个乐音，但它给人的感觉太过和谐，缺乏变化。为了表达丰富的情感，人们还想获得更加精细的变化，找到其它比值简单的频率。

因此，毕达哥拉斯考虑了2:3和3:4这样的简单整数比，先取某个长度的琴弦当作C，然后缩短为2/3，升高纯五度，得到G；然后延长为4/3，降低纯四度，得D；再缩短为2/3，得到A；延长为4/3，得到E；再缩短为3/2，得到B；最后由C直接缩短为3/4，得到中间的F——当然，那个时代还没有这些音名。但是比起五度相生律的具体做法，毕达哥拉斯这样做的动机可要有趣得多：我们总说他是个哲学家，其实他就是个教派头目，崇拜古希腊的酒神狄俄尼索斯——尼采挂在嘴边的那个酒神。他这个教派又改革自俄耳甫斯，就是那个琴技高超、从地狱里救回妻子、最后得意忘形一回头前功尽弃的俄耳甫斯。所以，音乐就在毕达哥拉斯的宗教仪式上占据了重要的地位，而当时最重要的乐器就是里拉琴（Lyre）。这是一种相当简单的弦乐器，截取几根长度不同的绳子绷紧了就成，毕达哥拉斯就是因为这个才去钻研琴弦长度和音高的关系。但是毕达哥拉斯还没有清晰的除法概念，甚至没有带刻度的尺子，他要求取两个绳长的比例需要一种相当麻烦的办法，称作“辗转相减”：设两根绳子的长度a和c，令，再比较c和a，用大的减去小的，不断重复这一过程，最后如果得到两根等长的绳子，就是和的最大公约数。讲道理，绳子的长度哪能比较得那么精确？所以毕达哥拉斯总能剪出长度相同的绳子，这给他带来一种坚定的神学信念：一切都能化成整数和整数的比例，这能带来和谐的美感，这种美感可以通神——结果就惹祸了。毕达哥拉斯有个门徒名叫希帕索斯（Hippasus），他从正五边形里发现了一个辗转相减的反例：

求取BC和A1C的最大公约数，首先求两者之差，有：所以下一步是求A1C和CE1的差，有：那么再下一步是求CE1和A2E1的差，而CE1=B1E1，由于相似性，B1E1和A2E1的关系完全等同于BC与A1C的关系，所以如果在图中央继续嵌套更多更小的五角星，辗转相减将会无穷无尽，绝不会出现一个最大公约数——这对毕达哥拉斯的教义是个沉重的打击。希帕索斯不久之后就死于海难，很可能就是毕达哥拉斯教派的荣誉谋杀。这个故事今天被称为“第一次数学危机”。我们现在知道，西帕索思发现的就是黄金分割这个无理数。然而古希腊的神学却为此憎恨上了“无限”这个概念，将算术和几何割裂成了两个不相关的学科，令西方算数的发展严重滞后于同时代的东方算术，直到文艺复兴才奋起追赶。

第二次数学危机

古希腊的智者时代，有一个著名的前苏格拉底哲学家，芝诺，他提出了一个最经典的佯谬，“追着乌龟的阿基里斯”：阿基里斯的速度是乌龟速度的100倍，但乌龟先走了99个单位。阿基里斯要追上乌龟，就要先走完这个99个单位，但乌龟将在同样的时间内再走0.99个单位，阿基里斯于是还早再追0.99个单位，然而乌龟已经又走了0.0099个单位，阿基里斯还得再追0.0099个单位……以此类推，尽管阿基里斯与乌龟的差距将成为无穷小量，但无穷小量毕竟不是0，芝诺认为这证明了快的永远追不上慢的，也就证明了速度不存在，运动也不存在。与此同时，就以圆周率计算来说，早期的割圆法暗示了这样一种思想：两个量虽然有差距，但只要能使这个差距无限缩小，就可以认为两个量最终将会相等。接着在计算圆形的面积时，沿着半径将圆拆分成无穷多个扇形，然后认为这个直与弯之间的无穷小量就是0，由此得出了圆形面积的精确公式——这些微妙的矛盾在西方的阿基米德时代和东方的九章算术时代就埋伏确立下来了。
南北朝时，祖冲之的孙子，祖暅在计算球体体积时提出了祖暅原理：对于平面上的任意两个形状，如果它们等高，且在相同高度上等宽，那么这两个形状面积相等；同样，空间中任意两个形体，如果它们等高，且在相同高度上横截面积也相等，那么，这两个形体体积相等。这看起来非常显然，但是暗含了了不得想法：线本来没有面积，但是无穷多条线加起来就有面积；面本来没有体积，但是无穷多个面加起来就有体积。但在历史上的大多数时间里，数学都不是什么严谨论证的学问，正如我们在第一次数学危机中看到的，数学家往往首先是哲学家，它们更关心如何从数学现象中提炼出自己喜欢的结论——所以无穷小量继续潜藏了1200多年，才缓缓走了出来。1635年到1647年之间，意大利几何学家博纳文图拉·卡瓦列里（BonaventuraFrancescoCavalieri，1598－1647）重新发现了祖暅原理，他的论文很快受到了英国教会数学家约翰·沃利斯的重视，后者奠定了幂的表示法，给非正整数次幂赋予了意义——1656，沃利斯利用祖暅原理考虑了的图象从0点开始对X轴投影围成的面积，算出那刚好是将投影补完成一个矩形，再除以m+1。学过高等数学的人都会注意到这个结论稍加变化就是一次完好的定积分计算——的确，17世纪正是海外殖民地的建设高潮，远洋航线的测绘涉及了大量的曲线计算，莱布尼兹在1686发表论文创立了现代微积分——他将曲线下方的面积分割成无穷窄的矩形，用离散的级数运算代替了连续的函数计算，解决了各种复杂的问题，牛顿也在1704年也独立创建了英国版本的微积分，将无穷小量称为“最终会消失的量”。无穷小量究竟是不是0的问题终于彻底爆发了出来。微分讨论了函数的自变量改变一点的时候，函数的值会相应地改变多少一点。莱布尼兹的d就表示这一点无穷小量。在一元函数中，两者的商即微商，他也认为这等于导数，也就是微分关系最常见的表示的由来。但导数是一条切线的斜率，而微商描述了一段割线的斜率，同时，割线的端点如果重合就不再能确定一条直线，谈不上斜率。更尖锐的矛盾是，利用微分推算X2的导数，x的无穷小量既然出现在分母上，后来还当作公因数约了分，就不是0；但是到头来又把它省略了，显然是认为它是0——无穷小量一会儿是0，一会儿不是0，彻底违反了实数的“阿基米德公理”，几乎动摇了数学的根基——贝克莱主教抓住这个把柄，强烈地抨击了当时的微积分学，但微积分的研究早已经硕果累累，成为数学分析的利器——在严谨与成就之间的取舍，就是第二次数学危机。最终解决问题的是柯西，他在1821年明确了无穷小量不是一个不确定的量，更不是一个实数，而是一个以0为极限的变量，并且严格地定义了序列的极限：对于一个实数序列，如果无论给定多么小的数字，都能确定该序列在某一项之后的所有元素都更小，那么这个序列的极限就是0，它在项数趋于无穷大时就是无穷小量。就这样，微积分重新建立在了明确的极限概念上，19世纪后的数学家据此重新推导出了所有的微积分结论，也消除了无穷小量是不是0的疑惑：无穷小量是个变小的过程，可能是序列，也可能是函数，而不能直接视作0，但反过来，0作为一个常函数或者常序列却满足无穷小的定义，是无穷小量的一个特例。

第三次数学危机

数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，直到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托尔的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成为了数学的基础，因此集合论中悖论的发现也自然地引起了对数学整个基本结构的有效性怀疑。

罗素悖论有许多通俗化的版本，其中最著名的，便是罗素在1919年给出的理发师悖论： 如果一个理发师只给所有不给自己理发的人理发，那么他是否给自己理发？ 

显而易见，无论他是否给自己理发，都会造成矛盾，悖论就产生了。

如果我们用集合的语言去描述它，那就是： 如果一个集合的元素是所有不属于自身的集合，那么这个集合是否属于自身？

为了排除集合论悖论，罗素提出了类型论，策梅罗提出了第一个集合论公理系统，后经弗伦克尔加以修改和补充，得到常用的策梅罗——弗伦克尔集合论公理体系（Z-F集合论公理体系），在这个公理体系下，无法构造出罗素悖论中的集合。
作为对集合论悖论研究的直接成果是哥德尔不完全性定理。
哥德尔（第一）不完备性定理
内容：任何表达力足够强的系统中不可能同时满足一致性和完备性。
一致性：不存在矛盾的系统，就是完备的，矛盾就是A︿￢A。
完备性：如果一个系统中所有可以被表述的命题，其真值都能被确定，那么这个系统是完备的。比如，在算术系统中：6>5是真的，3<2是假的。
为什么这个定理没有叫「哥德尓不一致定理」呢？
因为「一致性」实在是一个系统起码的标准。以至于数学家们愿意为了一致放弃完备。
我们在中学数学学过一套“如果、那么”、“非、且、或”的形式系统，叫做命题逻辑。比如说，小明是男孩是真的，男孩不穿裙子也是真的，那么小明不穿裙子也是真的。令p表示“一个人是男孩”，q表示“一个人穿裙子”，则命题形式化为：p∧(p→q)→q
但命题逻辑是一个很弱小的演算系统，连加法都不能计算，为了让它足以支撑绝大多数的数学研究，我们给它加入两类符号，构成了关键的强化：一类是量化符号和，“”表示“对于所有的”，“”表示“存在这样的”；另一类是非逻辑符号，其实就是引入了函数和常数等概念。比如“每个自然数都有后继”，就可以形式化为：x(x∈N→sx∈N)任取x，如果x是自然数，那么x的后继是自然数。这正是算术公理的一部分——像这样强化过的命题逻辑，就是一阶谓词逻辑，也是数学上最重要最广泛采用的形式化逻辑系统。
而哥德尔不完备性定理，就证明了一阶谓词逻辑系统是不完备的。
他在1931年的论文《关于数学原理和相关系统的不确定命题》中给出了相当精彩的证明，但这个证明也非常复杂，仅事先构造的定义和概念就多达46个，我们会规避所有可能规避的难题。
这个证明的核心思路并不复杂：
首先，我们需要在一阶谓词逻辑系统中构造一个公式G，并找到他的否定非G。
同时，我们的构造还要费些心机，使得G一旦在系统内得到证明，非G也同时会被证明，反之亦然。
所以显然的，如何构造公式G就是哥德尔证明的精髓所在，他为此首先发明了一种编码方案，能给所有可能的语句赋予唯一的自然数编号，这个编号称为对应语句的“哥德尔数”。
接下来，哥德尔构造了一个哥德尔数为g的公式G1：
~（x）Dem（x，g）
它的直接意思是：
不存在x，使得哥德尔数为x的证明过程能够证明哥德尔数为g的公式
更简练地说，就是：
“具有哥德尔数g的公式不可证”，或者“公式G1不可证”
接着，为了求出“g”究竟是多少，他构造了一个关键的函数：
Sub（y，17）
表示对于哥德尔数为y的公式，将其中所有的变量y，都用这个哥德尔数y赋值，再求取新公式的哥德尔数。
但我们先不关心这个自指函数的y究竟是什么，只需把它赋给公式G1中的变量g，得到一个新的公式G2：
~（x）Dem（x，Sub（y，17））
最后一步构造，是继续求出公式G2的哥德尔数n，并将这个n赋给公式G2中的y——这也就是我们最终的公式G了：
~（x）Dem（x，Sub（n，17））
哥德尔成功构造出了公式G，公式G的意思“公式G不可证”——这就麻烦了。
如果这个系统具有完备性，那么G可证，与G本身产生矛盾，这个系统便不具有一致性了。
哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性，从数学上证明了企图以形式主义的技术方法一劳永逸地解决 悖论问题的不可能性。它实际上告诉人们，任何想要为数学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的，哥德尔定理是 数理逻辑、人工智能、 集合论的基石，是数学史上的一个里程碑。美国著名数学家冯·诺伊曼说过：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪念碑”。
时至今日， 第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为 数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近。可以预料，在这个过程中还将产生许多新的重要成果。



参考文献
《数学文化》 顾沛  2013
《哥德尔、埃舍尔、巴赫——永恒的金带》 道格拉斯·霍夫斯塔德 1979
《哥德尔证明》 欧内斯特·内格尔，詹姆斯·R·纽曼 2008