本文从原子核的单位核子结合能近似是个常量这一简单规律出发，系统讨论原子的壳层结构和原子核配对效应。一方面原子核是复杂的，另一方面原子核也展现出许多简单性。这些简单性是人们研究原子核结构的重要线索。本文是大美原子核科普系列之三。

在前文中我们讨论了原子核的复杂性，我们一个定性的结论说：原子核太复杂了，甚至可能是人类可以想象的最复杂的量子多体系统。原子核如此复杂，我们对核力还没有很好的认识，也没有很好的多体理论，从这个意义上看，我们对原子核的理解是肤浅的。对于很高激发的能区，原子核能级极其密集，而在那种情况下人们关心的是原子核能级的统计性质(称为热力学性质),例如能级密度、角动量-宇称给定状态之间的最小能级间距和谱刚度等，这时统计理论是一个妙招。因此，原子核结构最麻烦的理论部分是原子核低激发态性质。也就是说, 如何求解多体薛定谔方程获得原子核低激发态波函数是原子核结构理论的挑战性问题。

看起来这是山穷水尽了，这么困难的挑战、这么复杂的多体系统，一定是难以解决的。不过，天无绝人之路，在最需要帮助的时刻，有柳暗花明的好事来了。随着实验数据的积累，人们注意到原子核低能量激发态性质往往呈现出自旋-宇称相关的简单结构，邻近原子核的基态和激发态演化也很有规律，例如壳层结构、集体转动、集体振动、配对效应、对称性等, 这些规律是人们研究和深入理解原子核的重要线索。本文从原子核结合能的简单性质出发，把壳层结构和配对效应串起来玩味一番。

                                图 1. 现代科学的主题与挑战：多体系统展现出复杂性与简单性共存, 引自Sherill 和 Casten 的文章.

 关于复杂原子核结构的简单性, 或许应该多说几句。其实不仅仅是原子核结构，自然科学中许多方面都具有类似矛盾的对立与统一，复杂性和简单性是多体系统的不同侧面，就像一个人有天生的善与恶，矛盾在许多系统内部和谐共处。这里我们引述 Sherill 和 Casten 刊登在 Nuclear Physics News (2005年、第15卷第二期，page 13)上的一篇 Feature Article 的一个图, 原文题目是 Frontiers of Nuclear Structure: exotic nuclei. 在这篇文章中, 作者们也特别强调了多体系统中简单性与复杂性是原子核性质的不同侧面(如图1 所示)，即复杂和多样性的自然界是如何从基本组元+相互作用构造出来的？ 复杂的系统又是如何能够展现出各种规则或者简单性？如何理解这些和谐共处的一对看起来矛盾的两个侧面，是研究多体系统的重大挑战。

前面的系列文章中我们已经强调过，原子核是极其复杂的多体系统，这种复杂性与简单性共存自然也是很典型的。在美国2007年12月的核科学长期规划(page 4, 见 arXiV:0809.3137)中，简单性也是被提到了很高的位置。图2是这个长期规划中关于核物理与核天体物理的5个重要问题的截图，其中第二个问题也是关于原子核的简单性, 即复杂原子核的简单性从何而来？

                                     图 2. 核物理与核天文学五个重要问题, 引述自美国2007年12月的核科学长期规划

从以上认识可以知道，简单性其实是核物理的基础性(fundamental)挑战问题，不是字面上的“简单”。对于原子核许多简单性因何而来，我们的理解和认识还有待提高。不过, 我们可以现实一点儿, 先看看这些简单性如何帮助我们深入认识原子核结构的. 这里我只讨论一个简单线索, 看看这个线索如何帮助我们认识原子核的一些细节。

图3是原子核的结合能示意图，横坐标是各种原子核的总核子数，纵坐标是比结合能，即原子核的总结合能除以核子个数，也可以称为单位核子的结合能，这张图在我读高中时的教材里就出现过，所以当然不是什么高等学术基础。从这个图容易看出, 除了质量数很小的情况外，单位核子的结合能近似是个常量；原子核的总结合能近似正比于原子核的核子数(二点说明：简单地说，当核子数很少时，相对而言原子核表面能比较大，核子结合就不太紧；而很重的原子核内质子数比较大，因而重原子核存在很强的静电能，这种静电能大致正比于核子数的平方，这是重原子核的单位核子结合能被压低的主要原因。因此，这两种情况的单位核子结合能低是容易理解的)。这说明原子核内的核子之间一定是短程吸引的；原子核内的核子只与周围核子有相互作用，这种短程相互作用克服了静电排斥力，束缚原子核内的核子。注意这里所谓的短程是在整个原子核的尺度上讲的，研究核力的同行们，很喜欢把这个称为“中程吸引“，这里澄清一下。

                                                   图 3. 原子核内单位核子的结合能随着质量数的变化情况. 质量特别轻的原子核

                                                           有很大的表面能、质量很重的原子核内质子之间有很强的静电排斥能量，这

                                                           两种情况的单位核子结合能小一些；整体上看，单位核子结合能近似是个常量

    我下面就以这个图作为出发点，讨论原子核的两个重要线索，一个是壳层理论，简称壳模型；一个是配对现象，目前有许多配对理论。当然原子核的结构方面还有其它线索，例如集体运动，动力学对称性，这些我会专门讨论。毕竟一篇科普文章，读者的耐心是有限度的，也没有必要面面俱到。

(一)、壳层结构图象

我们前面多次说过了，原子核内核子-核子之间相互作用非常复杂，没有一个完全基于色动力学的、可信的核力。这是核物理学的一个很大的疑惑(见图2中的第一个问题: 核力的本质是什么?)。核子受到周围原子核的作用，那么显而易见地，对于单个核子受到的总相互作用我们的知识和理解也不够。好在我们知道, 核子之间的相互作用是短程吸引为主的。对于处在核内部“深处”的核子来说，它感受的相互作用来自各个方向，基本上相互抵消了，因为核力的短程吸引性质，所以只有当核子处于原子核边缘时，核子才会感受到一个向内的拉力，其它情况下，它的受力基本为零。换句话说: 单个核子的势能随着核子距离原子核中心的距离变化情况，其实和核子分布函数基本同步，如图4 所示。

                                                 图 4.  左图: 铅-208原子核内的质子核中子密度随着半径的变化; 右图为左图的倒像。

                                                          左图是我的朋友(ZHOU SG) 在几年前给我的，我把它放在我写的《电动力学教程》里了。

所以, 依据密度变化，我们可以猜出核子在核内感受的势能变化， 变化趋势是左图的倒像；之所以变成了密度分布的倒像，其原因很简单：核子感受到的势能是吸引的。如果我们要求不太高，可以用一个比较光滑的函数来表示这个变化，就像有限温度的费米气体分布函数随着能量变化类似的变化关系。

确实人们使用了这类光滑的单粒子势函数，称为Woods-Saxon 势；然而这个势不能解析求解，使用起来不方便，人们通常“大胆”地启用一个另一个简单的势形式，三维各项同性的谐振子势(见图4右图中的红线)，它就像咱生活中的摆钟-----现实生活中的摆钟被限定在一个维度左右摇摆，而三维谐振子是在三维空间内运动的。显然，谐振子势与那种Woods-Saxon 势或者左图密度分布那种变化规律是不一致的，那么取这种谐振子势近似的道理何在呢？

我们把视野局限在核内时，如果谐振子势的强度取得合适，那么谐振子与核子密度（的倒影）相差并不大，有些地方有一些细微的差别，例如在核外部分谐振子势给出很强的排斥，但是我们不看那些高的激发状态时就关系不太大了。而且数值实验表明，Woods-Saxon 势与谐振子势低能部分状态的波函数重叠度很大，一般在0.9 以上(等于1 表示精确等价)。因此人们习惯用谐振子势表示单个核子感受的势，这样做的巨大好处是许多计算可以直接解析地做，可以给出公式，大大增加了洞察力；如果使用Woods-Saxon的数值解，就没有这样的好处。

不学习物理专业的朋友们，应该从上面的讨论顺利地理解如下结果: 单位核子结合能近似为常量--à 核力是短程吸引为主 --à 单个核子在核内感受的力有点像生活中的摆钟受到的力。由这个结果能够顺利解释原子核壳层结构的图象，满壳层的原子核不容易被激发，就像原子结构中的惰性气体化学性质不活泼。这是我们讨论的第一个简单性实例。

下面简单讨论一下原子核的壳层结构，不过对于非物理专业的朋友，就可能不太友好了。在初等量子力学中有一个典型练习题，就是三维各向同性的谐振子简并度在考虑自旋后等于 （N+1）(N+2)，N 为非负整数。不同的N 表示不同的本征能量，这些本征能量等于 （N+3/2）hbar * omega， 所以非简并的那些态之间是等间距的，相邻的不同 N 量子数的本征能量之差为 hbar *omega. 本征能量从最低到高，简并度分别为：

N=0， 简并度 (0+1) (0+2) = 2;  满壳数 = 2；

N=1， 简并度 (1+1) (1+2) = 6;  满壳数 = 2+6 = 8；

N=2， 简并度 (2+1) (2+2) = 12; 满壳数 = 8+12 = 20；

N=3， 简并度 (3+1) (3+2) = 20; 满壳数 = 20+20 = 40；

N=4,   简并度 (4+1) (4+2) = 30; 满壳数 = 20+20 = 70；

… …

按照我们前文所述, 这些数字(2、8、20、40、70 … … ) 应该就是原子核的幻数了。

从这里开始一直到 本文（二）配对效应为止，不感兴趣的读者直接跳过去，很抱歉。这些主要是历史发展方面，其实壳模型的发展有一些波折，主要是因为对于慢中子散射数据的理解在观念上不正确以及人为影响。下文是一些简单记录。

    实际情况是怎样的呢？ 我们先看看历史演变。我们知道，1932年查德威克发现中子以后，原子核物理成为物理学一个新的前沿领域，进入第一个黄金时代。同年海森堡提出原子核的组分就是质子核和中子。综合那时有限的实验信息, J. H. Bartlett 在Nature 130, 165 (1932) 一文就提出，”If an analogy with the external electronic system subsists, then the alpha particle may represent a closed s-shell, with two neutrons and two protons, while O-16 is obtained by adding on a closed p-shell, with six neutrons and six protons”, 这就是我们上面刚刚提到的、一模一样的结果和图象！同一年, Bartlett 把这个想法推广到更重的原子核 [见 Physical Review 41, 370 (1932)]。这些研究立即引起了W. M. Elsasser的兴趣[J. de Phys. et Rad. 4, 549 (1933), ibid. 5, 389 (1934); ibid. 5, 635 (1934); ibid. 6, 473 (1935)], 在他的系列文章中指出核子在核内的势也就是我们上面谈的样子，由此给出对应满壳的质子和中子数. 甚至通过某些能级的组合, 给出了50和82 幻数，在1934年第二篇文章里，他提出各种某些可能性，以便获得126的幻数；在1935年的文章中，他总结了82和126幻数的实验证据. 同时期，Lande [Physical Review 44, 148 (1933); ibid. 46, 477 (1934)] 研究了单核子处于给定轨道上的磁矩(现在被称为 Schmidt 线)。

这些结果以及当时的认识被总结在 Bethe 和Sacher 的综述论文[Reviews of Modern Physics 8, 82 (1936)]中，Bethe 和 Sacher 甚至讨论了单核子的谐振子势，明确提出了壳层概念：”Whenever a shell is completed, we should expect a nucleus or particular stability. When a new shell is begun, the binding energy of the newly added particles should be less than that of the preceeding particles which serve to complete the preceding shell. We should thus expect that the 3^rd, 9^th, 21^st, etc. neutron or proton is less strongly bound than the 2^nd, 8^th, 20^th ”当然，Bethe 和 Sacher 还是谨慎的，他们认为50、82、126 对应满壳情况的实验证据还需要完善。

                          图5. 原子核的单粒子能级和幻数

从以上讨论可见，壳层结构是人们一见钟情的、非常自然的想法。可惜，这条康庄大道被意外打断了。被打断的理由是对于一些实验结果的解释、以及对于彼时大人物Bohr的迷信。

事情源于1936年Niels Bohr 的报告。Niels Bohr 当然是那个年月的大人物，他对于核物理做出了重要贡献，他的儿子小玻尔(Aga Bohr) 子承父业，因为对于原子核集体运动的贡献也获得了诺贝尔物理奖的获得者。我们在以后的系列科普文章中还会讲到小玻尔的贡献。

Niels Bohr 1936年在丹麦皇家科学院的报告[Nature 137, 344 (1936)]是关于原子核的复合核概念，他的根据是慢中子对于铅-208的散射，具有非常多的、非常密集的共振峰(大约每隔20 电子伏特出现一个峰，峰的宽度小于1eV)，因为炮弹是慢中子，这些共振峰都对应于 s 波轨道; 这与我们单粒子壳层理论是不相容的，为什么呢? 单核子不同s轨道的能级间距大约在 1 MeV. 现在这个差距就实在太离谱了，物理学是实验科学，而根据这个慢中子散射得到的Bohr 复合核理论就很容易理解和被人接受了。 在这篇文章中，Bohr 写道: “In fact, in these models it is, for the sake fo simplicity, assumed that the sate of motioin of each particle in a conserved field of force, and can therefore be characterized by quantum numbers in a similar way to the motion of an electron in an ordinary atom. In the atom and in the nucleus we have indeed to do with two extremem cases of mechanical many-body problems for which a procedure of approximation resting on a combination of one-body problems, os effective in the former case, loses any validity in the latter. ”

Bohr 的意见立即产生巨大影响， 许多人立即放弃了壳层结构；这样的代表人物是Racah, 就是提出三个角动量耦合系数的那个Racah. 他本意是用他发展的数学工具去研究原子核结构，结果就很快离开这个领域去研究原子光谱了。只有少部分人留下了继续着壳层模型相关的研究。想想看，在那个核物理的黄金岁月里，从1936年到1949年长达十多年的年月里，壳模型一直是丑小鸭的样子。在 Rosenfeld 1948的书中写道: quasi-atomic model plays a minor role, less important than the alpha particle model. It is described only for nuclei up to Ca-40 … … (大家看吧，人家这里甚至避免“壳模型”的忌讳了)。

壳模型的革命发生在1948年，Maria Goeppert-Mayer 收集整理了那时比十年前更丰富的实验数据，指出壳层原子核的证据，受到一些理论家的关注. 可惜这些工作没有给出那些幻数的正确起源. 直到1949年，Maria Goeppert-Mayer 引入轨道自旋耦合相互作用后, 那些幻数很快迎刃而解。关于这些细节，可以参照壳模型的书籍，如 Igal Talmi 的那本厚厚的壳模型与相互作用玻色子模型的专著。

总而言之，基于原子核结合能基本正比于核子数的简单实验现象，我们可以很容易地理解原子核的壳层结构。 不过，我们这里说明：原子核的壳层结构与原子物理中电子的壳层结构很不一样。在原子物理中，壳层结构是真的，即在原子空间的内层，半径小、能量低；随着距离原子核距离的增加，能量逐步增加，即从内到外的轨道能量逐步增加，这是真的壳层结构。原子核的壳层结构，其实是借用了这个名词。在图5中我们有三个s 轨道(轨道角动量等于0), 标记为 1s, 2s, 3s. 这些轨道分别对应能量最低的轨道、幻数20下面紧邻的轨道、幻数82附近的轨道。显然这些轨道的能量相差很大，然而这些轨道与原子核中心之间的距离其实差不多，它们都基本弥散地分布在势阱内，见图5的最左边结果. 它们对应于1s、2s、3s轨道，然而波函数振幅在势阱宽度内差不多, 因此它们距离原子核中心的位置也差不多；实际上, 距离原子核中心位置很大程度上取决于轨道角动量，轨道角动量等效给出一个离心势；轨道角动量大，相应轨道距离中心就远一些。

                                       图6. 不同轨道的波函数振幅。由此看到相同的轨道角动量不同壳层的

                                        轨道（尽管能量差距很大）与核心距离差不多.

    我们之所以不厌其烦地絮叨这些历史发展和理论细节，是因为壳层结构作为模型理论非常重要，壳层模型迄今仍然是核物理前沿领域研究的利器，是很好的出发点。壳层结构对于原子核结构研究的简便之处在于，我们研究原子核的低激发态，一般不需要考虑那么多核子，而只考虑一个没有填满的壳层，填满的壳层我们常常称作 core，可以冻结掉。如果涉及的问题存在跨壳激发，那么再考虑core 内的某些轨道。这样对于原子核就大大简化了，因为我们现在面临的仅仅是那些所谓的“价”核子们了。

(二)、配对效应

     配对现象是人们很熟悉的，图7我下载了几个配对图片。为了说明多数读者的熟悉程度，我讲一个小事情。前几天我在PKU 做报告，做报告之前学院有一个什么活动；所以，我在报告前迎面碰到了我的一位旧友（Mao YJ）, 他客气地跟我说要听我的报告，我当时报告的题目是原子核的配对理论。他说看了海报，感兴趣。我说: 你不要听，听了过两天也就忘了。他说: 他很理解配对效应，为什么呢？因为配对情况下能量低，系统就稳定。你看男男女女、一对一对的，社会结构稳定，其它系统也是如此。我告诉他：那你就更不要听了，你说的就是我的报告在最后想推广后的结论！

                                                                   图 7.  动物配对、DNA 碱基配对、阴阳配对、(超导体)电子库珀对

    当然这是闲话，不过确实，我们许多人对于配对效应一点儿也不陌生，上面提到的这位旧友对于原子核内核子的配对效应理解很到位。不过，这些只是思辨和设想，到了实际情况是很更有意思的。

在前面“(一) 壳层结构图象”里，我的最后结论是：壳模型图象很好，壳模型极大简化了原子核结构的研究。然而，应用壳模型理论研究比较重的原子核时，在技术上存在极大挑战：壳模型是一个很好的模型理论，然而壳模型组态空间随着核子所处的轨道个数增加，极其迅猛增加，原子核低激发组态空间是很大的，特别是比较重的原子核存在跨壳激发时，组态空间是超天文数字(见图1)。

在量子力学中用波函数描写系统状态，波函数

\Psi 等于 c_i \phi_i 对于 i 求和， i = 1, 2, \cdots n.

这里 n 就是组态空间的维数。求解波函数就要对角化一个 n 乘以 n 的矩阵. 一个描写原子核波函数的组态空间太大，对角化就非常困难，而且所有系数 c_i 就非常小, 看不到什么物理了, 就是一堆非常小的数字. 因此对于中重原子核或者比较重的原子核，一定要寻找合适的近似方法，寻找更合适的物理图象.  

                                                            图8. 不同原子核组态的空间维数，横坐标为质子数等于中子数的原子核，纵坐标为

                                                                   这些原子核对应的组态空间的维数，我们看到 在质子数等于中子数在

                                                                   40多的时候，有些跨壳激发的组态可以达到约10的28次方量级，

                                                                   在更重的原子核组态空间的维数则远远大约这个数值。

那怎么找呢？配对！可以证明 (此处略去2万字^-^，也见下面的图10即本文倒数第二个图，下面会简单谈到)，短程吸引的全同费米子在配对时能量最低，如果许多的价核子，它们处于多根轨道上，那么这些核子两两称为角动量等于零或二的情况，能量最低。我们前面讨论过，短程吸引帮助我们构造了单核子势的形式，核子之间相互作用在除去那些平均势场后的剩余部分，短程吸引依然特别重要。所以，如果研究原子核的低激发态，作为一个近似，我们可以只考虑两两核子耦合成角动量为零或二情况，其它情况我们认为不重要而暂且予以忽略。

                              图9.  壳模型一般是由价核子一个一个地耦合构造组态空间；

                                      配对理论是由价核子一对一对地耦合构造组态空间。

毫无疑问，如果考虑了总角动量为任意值、能量为任意值的配对，那么无论是二二耦合构造配对波函数，还是象传统壳模型理论那样一个一个耦合构造波函数，两者都是等价的；计算结果一定精确相同。如果只考虑低能量的少数配对种类，那么就是配对空间就是一个近似。特别重要的是，仅仅考虑少数配对时，可以证明配对空间是非常小的，甚至是个位数！这样，我们就能够用一个非常小的配对空间，取代天文数字的壳模型空间研究原子核结构了。

在配对空间对角化哈密顿量矩阵是非常轻而易举的事情，物理上也变得很直观了，那么是不是就万事大吉、平安无事了呢？其实不是的，这时候出现一个麻烦事情，就是矩阵元的计算有时会变得很困难。这是配对理论的最主要挑战，即如何计算出哈密顿量的矩阵元，这一挑战的困难在于处理多个核子的耦合。少数核子的耦合并不难，粒子数多了就比较难了。

不管如何，配对理论这么大的优越性，确实提供给人们一个基于壳模型理论做实际计算的一个自然的近似途径。自从壳模型理论建立以来，已经70年时间了，在此期间人们一致不懈努力，发展配对理论。因为我的部分工作领域是配对理论，所以我在这里向大家简短介绍一下配对理论的发展历程。

我印象中最早讨论配对的是Maria Goeppert-Mayer 在1950年的文章，这是壳模型建立后的最早期工作之一。她在文中讨论了两个核子在同一个轨道上通过 delta 势的矩阵元，这个矩阵元结果是当两个核子总自旋等于零时能量最低，这个情况与两个核子总自旋等于其它值时的能量低很多，有一个很大的能隙。如图10所示，在j=9/2轨道上两个核子通过吸引的 delta 势相互作用，自旋为零时能量最低，而且核其它能级有一个很大的能隙，由此向上的能级总自旋依次为二、四、六、八。 很有趣的是，零程的 delta 势给出的能级与实际情况很相似。

                                                        图 10. 铅-208外两个价质子、两个价中子的原子核能级结构表明，同类核子耦合为角动量等于零

                                                                  时能量低而且与其它能级存在很大的能隙。两个同类价核子之间作用势也是以短程吸引为主的。

   Mayer 和 Jensen 等人建立壳模型理论以后，配对理论就很快提到日程。前面我们提到的因为Niels Bohr 对于壳模型的反对而把工作重点移到原子光谱的 Racah 很快回归了，发表了原子核单轨道 S 配对理论， 常被称为 seniority 理论(1952年)；大约20年后（1971年），这个理论被 Igal Talmi推广到多轨道情形；此后，配对理论进入了一个大发展时期，出现了许多种配对理论，这些配对理论如此之多，以至于不同研究组使用的词汇都不统一。配对理论的兴旺主要是因为在七十年代原子核结构理论进入了由日本学者有马朗人和意大利学者 Franco Iachello 提出的sd 玻色子模型的黄金时代，sd 玻色子理论的微观基础是核子配对。在国内北京大学的杨立铭、兰州/南京大学的徐躬藕、苏州大学的周孝谦等对于玻色子模型的微观基础做出了贡献。

在配对理论有一个特别的模型，这个模型最初是美籍学者Joe Ginocchio 在1982年发展的，他把核子变换到一个抽象空间内，在这个抽象空间里核子耦合为带有对称性的SD 核子配对，这样简化后哈密顿量就有动力学对称性，甚至可以解析求解，这是很美妙的理论框架。可惜的是因为认识的局限性Ginocchio 人为地丢弃了其中一个重要的群，模型不完整。1984年南京大学陈选根等讨论了这个丢弃的群的重要性（发表在全国核物理会议的论文集上），1986年南京陈金全在Physical Review C和吉林大学吴成礼在Physics Letters B分别发表1篇论文, 1987 年吴成礼等人发表了著名的费米子动力学对称模型理论，此后吴成礼及其合作者(也包括美籍华人冯达旋和美籍学者 Mike Guidry)推动这个理论的发展，所以这个模型曾被戏称为Chinese model。可惜因为各种人事变动(如退休、改行等)，现在这个模型很少被人提及。当然这个模型有一些欠缺，不过这个不重要，任何多体理论都有欠缺。在九十年代，南京大学陈金全提出了一个普适的配对理论，这个理论原则上对于配对结构不做任何限制，他把这个理论称作配对壳模型。这个理论方法此后几经拓展，称为配对理论。2014年有马朗人先生和我本人对于这些配对理论做了全面总结[Physics Reports 545, 1 (2014)].

下面我们讨论一个特别简单的配对情况，在这种情况下，原子核的波函数在配对基矢上竟然是一维的。我们现在通过一些办法，可以不对于哈密顿量对角化就直接给出波函数和能量本征值，这是很出乎意料的。

                                                 图11. 左图： Cd-132 和 Pd-130 原子核偶数自旋的转晕态(给定自旋能量最低的态)随着自旋的变化情况

                                                           其中蓝色虚线是壳模型计算结果，红线虚线是一维配对基矢态计算结果；

                                                           右表：对应状态这两个原子核偶数自旋转晕态的一维配对基矢态波函数

                                                           取自[Y. Y. Cheng et al., Physical Review C100, 024321 (2019)]

    数值计算表明，这些一维配对基矢态与全空间的壳模型波函数重叠一般在0.9左右甚至更大，这无可辩驳地说明这些状态很好地用配对态来近似，对于原子核组态空间来说这些配对基矢态与壳模型空间其它部分很好地脱钩了。注意这些属于开壳原子核，既有价质子、又有价中子。在几年前Y. Y. Cheng 等针对Sn 同位素和 中子数等于82的同中子核素等指出过, 对于单满壳(即只有一种价核子)原子核低激发态，配对态也是很好的近似，不仅最低的几个自旋态可以用多轨道S配对理论解释，许多较高的激发态也是一维基矢态。

   这种配对基矢态结构一直到了近期才被揭示出来，这是因为直到现在我们才完全掌握了如何直接处理配对波函数，有了比过去更好的配对结构系数，当然也因为计算机CPU 的迅速发展可以允许我们计算过去不敢想象的情况。换句话说：我们生活在一个更加幸福的时代、一个先进的时代。毫无疑问，这种配对基矢态图象也许被前辈们猜想过，但是那时最多也只能是猜猜，难以进一步论证。

从上面讨论我们看出，确实在配对空间观察原子核的壳模型波函数简单明了，甚至可以用一维基矢态很好地代表。这不是一个很美妙的事情吗？这些实例令人想到苏轼的一首诗中的两句：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。同一个系统基于不同立足点去探索是应该受到鼓励的。

下面总结一下这篇科普文章，因为写得有点啰嗦了，总结一下就很有必要。在这篇科普文章里，我希望传递的信息是：如此复杂的原子核在低激发态展现了一些简单规律，顺着这条规律，我们可以继续探究原子核结构的许多细节。本文的出发点是原子核内单核子结合能近似不变的规律，得到了核子之间相互作用以短程吸引为主，由此可以构造出原子核内核子感受的势能形式，了解原子核的壳层结构；在一个轨道上核子的短程吸引，导致核内核子之间配对能量最低，由此构造很小的配对空间研究原子核结构的细节。这是原子核的简单性，也是利用简单性深入理解原子核的实例。

简而言之，复杂与简单，是原子核的对立而又和谐统一的二个侧面。