1.6.  加减法运算器设计

机器能够代替我们进行运算是其最神奇的部分之一，下面我们就来设计加减法运算器。

我们知道用限位数，可以将减法变成加法计算，方法是将减数用它对应的对称码代替，然后与被减数做加法即可。还知道：一个限位数的对称码等于其反码加一。为此，我们可以将全加器改造成既能够做加法，又能够做减法的一位加减运算器件。

1.6.1. 设计加减运算单元

我们先从最简单的一位数加减法考虑，我们称之为加减单元。它的设计如图1-19所示。

图1-19  加减单元电路设计

我们在全加器的B端连接一个异或门，一个输入端仍然用B来记，另一个输入端我们用J来记。在原理图设计中，要对输入输出线加上双箭头表示的引脚。写着input的是输入引脚，写着output的是输出引脚。引脚上标注的名称就是连接导线的名称。

输入端增加的J线是加减法运算控制端。当J=1时，连接B、J端的异或门的输出值就是B的反码。这一点可以从下面异或门的真值表看出。

表 1-9   J、B异或真值表

把J看成控制端，容易看出J=0时，异或门输出B的值，而当J=1时，异或门输出的是B的反码。

1.6.2. 加减单元的解释

从图1－9我们看到：当J=0时，输出端得到的就是A+B+C，若C=0，则输出是A+B的运算结果。但J=1时，原来全加器的B输入端现在变成了B的反码。全加器实际做的是A与B的反码相加，即是A+B'+C。如果此时让C=1，则图1－9的电路就是在做A+B'+1，也就是在做A-B运算。

象J这样的能够控制器件状态变化的导线，我们叫“控制线”。

加减单元内部结构固定之后，可以用图1-20的矩形框图简化表示。图中左面的短线是输入端，右面的短线是输出端。

图1-20 加减单元简图

1.6.3. 加减法运算器设计

将4个加减单元如图1-21那样连接起来，就组成了一个4位二进制数的加减法运算器。

图1-21  4位加减法运算器

今后我们用向量的形式记录多位输入输出。这里向量A[3..0]、B[3..0]、S[3..0]都表示4位二进制数，其余J、C、D都是一位数。

由于电信号传输速度极快，输入端的信号一旦加上，各全加器就会立即得到本位和及向上的进位，故瞬间就会得到运算的结果。至于信号传输过程的延时，我们在此暂不讨论。我们认为，只要在输入端加入A[3..0]、B[3..0]和C的数，马上就会得到S[3..0]和D的值。

总结加减法运算器的工作：

（1）让J=C=0，那么做A+B;

（2）让J=C=1，那么做A-B。

1.6.4. 超长数计算

图1-21的加减法运算器是4位的，因而能够直接计算加减法的范围是[-8,7]。能够用它计算8位数或16位数吗？回答是肯定的。

例如，计算10010101+01011101，我们将数按4位分段，先做低4位0101+1101，将结果0010放在一旁，记住进位C=1；接下来再做1001+0101+C=1001+0101+1=1111，这次进位C=0；那么最终的结果是11110010。这个结果是-14。由于结果的符号与第一个数符号相同，因而不溢出。

通过此例，我们看到机器计算的实际范围并不取决于位数，不是说“位数越多，越精确”。实际上我们可以依据机器运算器的位数进行分段计算，这里设计的加减法运算器，使用时只要将进位考虑到分段计算中，就能够计算任何长度的二进制数加减法。

1.6.5. 溢出判断设计

由于限位数计算总是在一定范围内进行的，当计算发生溢出，结果就是错误的。避免错误，就要知道何时产生溢出。限位数加减法运算，异号两数相加，或者同号两数相减都不会溢出。溢出只发生在同号两数相加和异号两数相减的情况下。根据前面介绍的判断溢出：结果与第一个数符号不同，则溢出。可以设计溢出判断电路（见图1-22）。注意：图中导线标注相同，则表示它们是同一条导线，我们可以将图1-22和图1-21放在一起。

图 1-22  溢出判断电路

只要OUT=1，则四位运算结果溢出。

如果是超长数的多段计算，溢出判断只在最高段有用。为了不出现溢出情况，多段计算时，将原数都扩展一段，就不用再考虑是否溢出了。为什么？

1.6.6. 超长数减法讨论

分段计算超长数减法，要注意低段计算时J=C=1，而其他段要令J=1，C_i=D_i-1，也就是要将前次的进位加上。这其中的道理，请读者用10010101-01011101为例分段计算，分析一下吧。

1.6.7. 小结

运算器的设计完全在运用限位数的理论。我们用4位加减法运算器来说明一般加减法运算器的设计，它给出了机器计算的基本原理的最核心部分。象图1-21那样，相信你会设计出8位、16位、32位或64位的加减法运算器。但是，我们已经见到数值计算的精确度不是靠机器的位数决定的，在机器基本条件具备的情况下，通过分段、小数点移位等方法，就是用4位的加减法运算器，也可以完成实数计算。

读者也许会问：“数怎么输入？”“前次运算的进位怎么保持？”这些问题需要用到寄存器的知识，以后再逐渐分解。