决定连续系统能控丰富性大小(能控性强否)的主要因素(整理中)

      在本人博文“线性连续系统的无限时间能控丰富性的逼近计算”(http://blog.sciencenet.cn/blog-3343777-1066456.html)中,给出了SISO线性连续系统,当系统矩阵A为对角线矩阵,且特征值 $\lambda_{i}(i=1,2,\cdots,n)" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lambda_{i}(i=1,2,\cdots,n)" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;$ 均为单根且满足 $\lambda_{i}>0" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lambda_{i}>0" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;$ ,则无限时间的能控丰富性 $v_{c,\infty}" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_{c,\infty}" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;$ 可由下式解析计算

$v_{c,\infty}=\lim_{N\rightarrow\infty}V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\left|\left(\prod_{1\leq j_{1}

其中 $[b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}]^{T}=b" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?[b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}]^{T}=b" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;$ 。对任意只要其特征值 $\lambda_{i}(i=1,2,\cdots,n)" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lambda_{i}(i=1,2,\cdots,n)" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;$ 满足为单根且 $\lambda_{i}>0" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lambda_{i}>0" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;$ 的系统矩阵 $A" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;$ ,则无限时间的能控丰富性 $v_{c,\infty}" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_{c,\infty}" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;$ 可由下式解析计算

$v_{c,\infty}=\lim_{N\rightarrow\infty}V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\left|\det(P)\right|\left|\left(\prod_{1\leq j_{1}

其中矩阵 $P" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?P" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;display:inline;$ 为系统矩阵 $A" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;display:inline;$ 的所有右特征向量组成的矩阵,行向量 $q_{i}" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?q_{i}" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;display:inline;$ 为矩阵A对应特征值 $\lambda_{i}" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lambda_{i}" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;display:inline;$ 的左特征向量。

  基于上述结果,可以总结出决定系统能控丰富性大小(能控性强否)的主要因素为：

  1. 特征值的大小

  2. 特征值的分布(特征值有一定的差异,分布均匀)

  3. 约旦规范型下输入矩阵 $" style="font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;word-wrap:break-word;max-width:620px;$ $B" style="font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;word-wrap:break-word;max-width:620px;$ 的各列的元素的乘积

  4.多输入系统输入矩阵 $" style="font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;word-wrap:break-word;max-width:620px;$ $B" style="font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;word-wrap:break-word;max-width:620px;$ 的各列间的角度(矩阵 $B^{T}B$ 的行列式)

  5. 矩阵 $A" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A" style="font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;display:inline;$ 的各左特征向量与矩阵 $" style="font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;word-wrap:break-word;max-width:620px;$ $B" style="font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;word-wrap:break-word;max-width:620px;$ 的各列的角度

  6. 矩阵 $A" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A" style="font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;display:inline;$ 的特征向量之间的角度