第四章：欧几里得和阿波罗尼斯。本篇记录此章的第8、9节。

8、第十篇：不可公度量的分类

德摩根（Augustus De Morgan）用下面的话来描述这一篇的总内容：“欧几里得考察了可能表为[今日代数里的]sqrt(sqrt(a) ± sqrt(b))的所有线段，a与b则为两有理线段。”

第十篇的第一个命题对《原本》其后几篇的讲解是重要的。“命题1、对于两个不相等的量，若从较大量减去一个比它的一半还要大的量，再从所余量减去大于其半的量，并继续重复执行这一步骤，就能使所余的一个量小于原来那个较小的量。”

欧几里得在证明的末了说，若减去的是一半的量，也能证明。他的证明里有一步用了一个没有被他自觉意识到的公理：在两个不等的量中，较小者可自己相加有限倍而使其和超过较大者。据阿基米德所说，欧多克索斯是用过这个公理（严格地说是其等价说法）的，他是把它作为一个引理建立起来的。阿基米德用了这一引理而未加证明，所以他实际上也是把它作为公理来用的。现今把这称为阿基米德—欧多克索斯公理。

第十篇共115个命题，但有些版本有116个或117个命题。后者给出了第三章所述关于sqrt(2)为无理数的证明。

9、第十一、十二、十三篇：立体几何及穷竭法

第十一篇开始讲立体几何，但仍有一些平面几何的重要定理。这一篇开始是定义。

“定义1、立体是有长、宽、高的（那种东西）。”

“定义2、立体的边界之一是一个面。”

“定义3、若一直线垂直于一平面上所有与其相交的直线，则直线与平面相垂直。”

“定义4、两平面相交，若在其中一平面内向交线所作的垂线垂直于另一平面，则两平面垂直。”

“定义6、平面与平面的夹角是每一平面内过公共交线上一点的垂线所交的锐角。”

此外还定义了平行平面、相似立体形、立体角、棱锥、棱柱、球、圆锥、圆柱、立方体、正八面体、正十二面体及其他立体形。除正多面体外，书中立体图形都是从平面图形绕一轴旋转而得出的。

定义都叙述得不严密不清楚并且常常假定一些定理。例如在定义6里假定了两平面交线上任一点处的那个锐角都相等。又如欧几里得打算考察的仅限于凸的立体形，而在定义正多面体时没有特别提出。

这一篇只考虑平面元素所形成的立体形。所含39个定理中的头19个讲直角和平面的性质。本篇中头几个定理的证明是有缺点的，而关于多面体的许多一般性定理只对特殊情形加以证明。按：难道欧几里得也像许多大作家如曹雪芹和托尔斯泰一样，写到后面才气和笔力不继了？

“命题20、若三个平面角夹成一立体角，则其中任何两个平面角之和都大于剩下的一个平面角。”

“命题21、由平面角夹成的任何立体角，其平面角之和小于四直角。”

“命题31、底面相等且高相等的平行六面体彼此（的体积）相等[等价]。”

“命题32、同高的平行六面体（的体积）之比等于其底面（积）之比。”

第十二篇含18个关于面积和体积的定理。本篇的主要思想是得自欧多克索斯的穷竭法，表述在第十篇定理1中。这方法是严格的，它不含明确的极限步骤。它依赖于间接证法，这样就避免了用极限。实际上欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼茨在这方面的工作严密可靠，因后者试图建立代数方法和数系并且想用极限概念。按：太厉害了！刘徽和祖冲之还是远远不如啊。

第十二篇的开头是：“命题1、圆内接相似多边形之比等于圆直径平方之比。”证明没有什么特色。下面是关键的命题。

“命题2、圆与圆之比等于其直径平方之比。”

欧几里得证明的主要精神是，先证明圆可被内接正多边形“穷竭”。从内接正方形开始，它的面积大于圆面积的一半。然后作内接正八边形，可以证明其面积与圆面积的差别小于圆面积与正方形面积之差的一半。如此重复，内接2^(n+1)边形的面积与圆面积之差总是小于圆面积与内接2^n边形面积之差的一半，每一步都把内接多边形与圆的面积差缩小一半以上。根据第十篇命题1，圆和某一边数足够多的正多边形面积之差可以弄得比任何给定的量还要小。按：实质就是极限定义中的ε—N语言，怪不得是精确的，洞察力令人叹服。柯西和维尔斯特拉斯寻找极限定义时，是否曾回头从《几何原本》中吸取智慧？

现设S和S'是两圆面积，d和dˊ是其直径。欧几里得要证S : S' = d^2 : d'^2。假设这等式不成立，而有S : S˝ = d^2 : d'^2，其中S˝是大于或小于S'的某一面积。今设S˝ < S'。我们在S'里作边数愈来愈多的正多边形，直到一个P'，使它和S'的面积差小于S' - S˝。于是有S' > P' > S˝。在S中作相似于P'的内接多边形P。据命题1，有P : P' = d^2 : d'^2。但根据前设S : S˝ = d^2 : d'^2，所以P : P' = S : S˝，或P : S = :P' : S˝。但因P < S，于是P' < S˝，这与S' > P' > S˝矛盾。同样可证S˝ > S'也不能成立，因此S˝ = S'，证毕。

穷竭法用于证明下面这些重要而难证的定理：

“命题5、底为三角形而高相等的棱锥之比等于其底之比。”

“命题10、任一[正]圆锥是与其同底等高圆柱的三分之一。”按：你现在会证明吗？

“命题11、同高的圆锥[与圆锥]以及同高的圆柱[与圆柱]之比等于其底之比。”

“命题12、相似的圆锥之间以及圆柱之间的比，等于其底直径的三次比[立方之比]。”

“命题18、球之比等于其直径的三次比。”

第十三篇讲正多边形本身的性质及其内接在圆内时的性质，并论述怎样把五种正多面体内接于一个球的问题。它又证明（凸的）正多面体不能多于五种。最后这一结果是该篇中最末一个命题（命题18）的推论。

关于正多面体不多于五种的证明依赖于第十一篇命题21，即立体角各面角之和小于360度。因此若把一些等边三角形拼起来，就可在正多面体的每个顶点用三个等边三角形拼合成一个正四面体；用四个等边三角形拼合成一个正八面体；用五个等边三角形拼合成一个正二十面体。六个等边三角形在一个顶点处合成360度，所以不能用。我们可以在每一顶点用三个正方形构成一个立方体；还可以用三个正五边形构成一个正十二面体。此外不能构成别的正多面体了，因为即令只用三个正六边形拼在一顶点就要达到360度。注意非凸的正多面体还是有的。

《原本》十三篇中共含467个命题。有些老版本里还多两篇，其中有关于正多面体的更多结果，但第十五篇写得不清楚不准确。第十四篇是许普西克尔斯（Hypsicles，约公元前150年）写的，而第十五篇的有些部分可能是在公元6世纪这样晚的时候写的。