第4章：欧几里得和阿波罗尼斯。本篇记录此章的第10、11节。

10、《原本》的优缺点

因《原本》是最早一本内容丰富的数学书，而且为所有后代人所使用，所以它对数学发展的影响超过任何别的书。读了这本书之后，可以对数学本身的看法、对证明的想法、对定理按逻辑次序的排法，都学到一些东西，而且它的内容也决定了其后的思想发展。

整部书的陈述方式——一开头就摆出所有的公理，明确提出所有的定义，和有条不紊的一系列定理——这是欧几里得所独创的。此外，定理的编排也是从简单的到愈来愈复杂的。

欧几里得把他认为是头等重要的定理选入这本书里。例如他没有在书中列入三角形三个高交于一点的定理。还有欧几里得其他著作中的定理，他也认为是不值得包括在《原本》中的。

虽然在欧几里得以前就有人提出要先证明图形存在才能把这图形作为逻辑对象来处理，但在他手里终于把这一步工作做得巧妙周密。根据公设1、2和3，作图只许作出直线和圆。这实际就是只许用直尺和圆规。正由于欧几里得不能作出角的三等分线，所以他没有证明关于三等分角的定理。

欧几里得对公理的选择很出色。他能用一小批公理证出几百个定理，其中好多是深奥的。其次，他的选择是费了心机的。他对平行公理的选择显得特别聪明。他无疑知道，任何这样的公理都不免或明或暗地要提到在无限远空间所必然出现的事，而关于在无限远空间所必然成立的事项的任何说法，它的具体意义总是含糊不清的，因为人的经验是有限的。然而他也认识到这样的公理不能省掉。于是就采取了这样一种说法，提出二直线能交于有限远处的条件。更有甚者，他在求助于这一公理以前先证明了所以无需它来证的定理。按：洞察力和拳拳之心都令人感动，殆近于神！

欧几里得虽用图形的重合来证全等（这是根据公理4的一个方法），但他显然对这方法是否完善无缺有点不放心。这方法有两点值得怀疑：第一，它用了运动的概念，而这是没有逻辑依据的；第二，重合法默认图形从一处移动到另一处时所有性质保持不变。欧几里得对这方法不甚放心的证据是：凡他能用其他方法来证的地方，他总不用这方法，即使是重合法能给出更简单的证明。

直到19世纪大半段时间以前，数学家一般都把欧几里得的著作看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看出了其中的严重缺点并设法纠正。第一是用了重合法。第二是有些定义含糊其词而另一些无关宏旨。

欧几里得用了数十个他从未提出而且无疑并未发觉的假定。欧几里得和后代上百个最优秀的数学家所犯的错误，是利用了从图形看来是显然的事实，或在直观上是那么显然因而无意中用上了的事实。例如关于直线和圆的连续性的假定。按照《原本》里的逻辑基础来说，两直线可能相交而没有一个公共点。按：即直线可能是开的点集，如复平面的实轴和虚轴在原点处相交，但原点不属于虚轴。

全书十三篇并非呵成一气，而在某种程度上是前人著作的堆砌。第七、八、九篇对整数重复证明了先前对量所给出的许多结果。第十三篇的第一部分重复了第二和第四篇中的结果。第十、第十三篇可能在欧几里得以前是单独的一本著作，而且是属于特埃特图斯的。

11、欧几里得的其他数学著作

欧几里得写了一些别的数学和物理著作，好些是对数学发展有重要意义的。他的主要物理著作《光学》（Optics）和《镜面反射》（Catoptrica）我们留待后一章讨论。

《数据》（Data）被帕普斯收入他的《分析集锦》，可能是打算作为供复习《原本》用的一批练习题，它的全部内容保存至今。

欧几里得著作中仅次于《原本》的是《二次曲线》（Conics）。据帕普斯说这共含四篇的失传著作其后成为阿波罗尼斯《圆锥曲线》中头三篇的主体内容。

《辨伪术》（Pseudaria）含有正确和错误的几何证明，目的是训练学生之用，但已失传。

普罗克洛斯提到的欧几里得著作《论[图形的]剖分》（On Divisions [offigures]）是论述把所给图形分为其他图形的，例如把一个三角形剖分为一些较小的三角形或三角形和四边形。

另一部失传的著作是《衍论》（Porisms）。此书的大部分内容甚至性质也无人知道。帕普斯在他的《数学汇编》中说《衍论》共三篇。

帕普斯在《汇编》中还提到《曲面—轨迹》（Surface - Loci）一书。此书现已无存，可能是讲形成曲面的一些轨迹的。

《现象》（Phaenomena）虽是天文学教本，但其中有关于球面几何的18个命题以及关于匀速旋转球的其他命题。他把地球看作旋转的球。按：中国谁最先意识到这一点？