第四章：欧几里得和阿波罗尼斯。本篇记录此章的第6、7节。

6、第六篇：相似形

第六篇里利用第五篇的比例理论讨论相似形。它是从定义开始的，我们只举出几个：

“定义1、相似直线图形是对应角相等且对应边成比例的那些图形。”

“定义3、当一线段被分成两段，且整段与较大分段之比等于较大段与较小段之比时，就说此直线被分为外项与中项比。”

“定义4、任一图形之高是从其顶点到底边的垂线。”这定义肯定是含糊的，但欧几里得没有用它。按：哈哈哈……

我们只打算从33个定理中举出几个来。

“命题1、等高的三角形和等高的平行四边形[的面积]之比等于它们的底边之比。”

“命题4、在各角对应相等的两个三角形里，夹等角的边以及等角所对的相应边都成比例。”

“命题5、若两三角形的边成比例，则两三角形有同样的角且此两三角形对应边所对之角相等。”

“命题12、从三根已知直线求其比例第四项。”

“命题13、求两根已给直线的比例中项。”

“命题19、相似三角形[面积]之比等于其对应边的二次比。”

“命题27、同一直线[一分段]上所作的所有平行四边形，其[在整个直线段上平行四边形所余部分形成的]亏形与与半直线段上一平行四边形相似者，以该半直线段上所作且相似于亏形的那个平行四边形（的面积）为最大。”若所给平行四边形是两边之比为c /b的矩形，实际说的就是S = x (a - bx/c) ≤ a^2 c /4b，在x = ac/2b时取到极大值。若所给平行四边形是个正方形，结论就是有相同周长的矩形中以正方形面积最大。

“命题28、在所给直线[一部分]上作一平行四边形与所给直边形[S]等面积，且使其[不足于整段直线上的平行四边形的]亏形相似于所给平行四边形[D]。因此[根据命题27]所给直边形[S的面积]必不能大于半段直线上相似于亏形的那个平行四边形。”等价于解一个二次方程ax - (b /c) x^2 = S。

“命题29、在一所给直线上作一平行四边形，使其面积等于所给一直边形[S]（的面积），并使其超出整段直线上的那部分平行四边形与一给定的平行四边形[D]相等。”即解ax + (b /c) x^2 = S。欧几里得用命题28及29指出了怎样求解任一二次方程。

未占满和超出给定线段的平行四边形在希腊文里分别叫elleipsis和hyperbolè（亏的和超的）。在整个线段上所作具有规定面积的平行四边形叫parablolè（平的）。这些名词以后就移用到圆锥曲线上去。

“命题31、直角三角形斜边上的一直边形，其面积为两直角边上两个与之相应的直边形面积之和。”这是毕达哥拉斯定理的一个推广。

7、第七、八、九篇：数论

这三篇讲述关于整数和整数之比的性质，是《原本》中讨论纯粹算术的唯一篇章。

“许多定义和定理，特别是关于比例的那些，重复了第五篇中的内容。因此数学史家考虑了这样的问题：为什么欧几里得要把关于数的命题都重新证一遍，而不让读者参阅第五篇中所已证明了的那些命题。”按：显然，欧几里得是在努力把数的理论跟量的理论分开。

“也如在其他各篇中一样，欧几里得在这三篇中假定了他未曾明白说出的一些事实。例如他未经声明就假定若A除尽B而B除尽C，则A除尽C。又，若A除尽B且除尽C，则A除尽B + C及B - C。”按：这是公理体系推演中一种容易犯的错误，虽然欧几里得非常细心，也难免百密一疏。

“定义3、一较小数为一较大数的一部分，若它能量尽较大者。[一数除尽另一数时为另一数的若干分之一。]”

“定义5、较大数若能为较小数量尽，则它为较小数的倍数。”

“定义11、质数是只能为单位所量尽者。”

“定义12、互质之数是只能为单位所公共量尽的数。”

“定义13、复合数是能为[异于1的]某数所量尽者。”

“定义16、两数相乘得出之数称为面，其两边即相乘之两数。”按：还是想把代数几何化。

“定义17、三数相乘得出之数称为体，其三边即相乘之三数。”

“定义20、若第一数为第二数的某个倍数、某个部分或若干个部分，与第三数为第四数的某个倍数、某个部分或若干个部分者相同，则此四数成比例。”

“定义22、完全数等于其因数[之和]。”按：完全数的定义如此简单而迷人，我们却连它是否有无限多个都不知道！

命题1与2给出了求两数最大公度（公因子）的步骤，即辗转相除法。这种步骤现今称作欧几里得算法。

接着是关于数的一些简单定理。例如若a = b /n，c = d /n，则a ± c = (b ± d) /n。若a /b = c /d，则(a - c) /(b -d) = a /b。又，在定义15里定义a·b为b自身相加a次，因此欧几里得证明ab = ba。

“命题30、若两数相乘得一乘积，并有一质数量尽该乘积，则此质数也量尽两数之一。”

“命题31、任一复合数能为某质数量尽。”欧几里得在证明中提出了[正]整数的任何集合都有最小数这一假定。按：用现代的术语说，自然数集是一个良序集。

第八篇讨论几何数列，即成连比例a /b = b /c = c /d = d /e = …的一组数。

第九篇有关于平方数和立方数、平面数和立体数的问题，还有另外一些关于连比例的问题。

“命题14、若一数是能为一些质数所量尽的最小的数，则除了原来能量尽它的这些质数以外不能再为别的质数所量尽。”意思是说，若a是质数p，q，…的乘积，则a分解为质数乘积的形式是唯一的。

“命题20、质数的数目比任何指定数目都要多。”欧几里得的证法是经典的。假定只有有限个质数p1，p2，…，pn。然后他做出p1·p2·…·pn + 1。如果这新的数是个质数，它就大于所设n个质数中的任何一个，这就有了多于n个的质数，矛盾。如果这新数是个复合数，它必能被一质数整除。但此质因数不能是p1，p2，…，或pn，因为新复合数被这些质数除会有余数1。于是就必然又有另一个质数，还是矛盾。按：欧几里得凭借辗转相除法和质数无穷的证明，已经足以不朽了！

命题35给出了对几何数列之和的一个漂亮的证明。命题36给出了关于完全数的一个著名定理，即若几何级数（从1开始的）一些项之和1 + 2 + 2^2 + … + 2^(n-1) = 2^n - 1是质数，那么这个和同最末一项的乘积是完全数，就是说(2^n - 1) 2^(n-1)是完全数。头四个完全数6、28、496和8128，也许还有第五个完全数是希腊人已经知道了的。按：(2^n - 1) 2^(n-1)的小于自身的因子分为两类。一类是2^(n-1)的因子，即1、2、…、2^(n-1)，它们的和是2^n - 1。另一类是前一类中的每一个（除最大的2^(n-1)之外）乘以2^n - 1，它们的和是(2^n - 1) (2^(n-1) - 1)。两类因子的和相加，正得到(2^n - 1) 2^(n-1)。