《Galois theory》

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In his proof of (A), and in several later proofs, Galois makes use of a simple and very basic lemma:

---- (A) 的证明及其它证明中，Galois 使用了一个简单且非常基本的引理:

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Lemma 1. If g(X) and h(X) are polynomials with coefficients in a given field K, if g(X) is irreducible, and if g(X) and h(X) have a common root, then g(X) divides h(X).

---- 考虑域 K 上的两个多项式，其一不可约，两者有公共的根，整除其二.

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问题：这个引理是怎么想出来的？

---- 两个多项式之间考察整除关系是自然的.

---- 引理给了个 充分条件.

---- 先来看下反过来会得到什么...

---| 假定 g(X) 整除 h(X)，则 h(X) = d(X)g(X). 

---| 此时 g(X) 的根也是 h(X) 的根.

---| 反之 h(X) 至少有一个根也是 g(X) 的根.

(假使 h(X)的每个根都不是g(X)的根，则 g(X) 只能是常数)

---|由此，若 g(X) 整除 h(X)，二者至少有一个公共的根.

---|换句话说，二者有公共根是其一整除其二的必要条件.

---|此处不要求 g(X) 不可约.

(注：以上论证均不考虑平凡情形)

---- 现在的问题是，引理中 g(X) 干嘛非得不可约？

---- g(X) 不可约应该是 “事后” 加上的.

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评论：A ==> B 意味着：非B ==> 非A. 于是，要想 A 成立，B 的成立是必要的。换句话说：寻找充分条件时，先要把必要条件找出来，然后检验它的充分性，在这个过程中添加需要的条件。

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以上算是关于引理1的 “哲学讨论”...在阅读书上的证明之前，自己试着写一个证明。

---- 令 h(X) = d(X)g(X) + r(X).

---- 其中 r(X) 的次数小于 g(X) 的次数.

---- 现在希望 r(X) 恒为零. 

---- 用反正法：设 r(X) 不是恒为零.

---- 设 X0 是 h(X) 和 g(X) 的公共根.

---- 则有 r(X0) = 0.

---- 这意味着 r(X) 的次数大于 1.

---- 现在用 r(X) 除 g(X)，设：

---- g(X) = d1(X)r(X) + r1(X).

---- 其中 r1(X) 的次数小于 r(X) 的次数.

---- 将 X0 代入上式得 r1(X0) =0.

---- 若 r1(X) 不恒为零，则 r1(X) 的次数大于1.

---- 至此 deg r(X) > deg r1(X) > 1

---- 现在用 r1(X) 除 r(X)，设：

---- r(X) = d2(X)r1(X) + r2(X).

---- 其中 r2(X) 的次数小于 r1(X) 的次数.

---- 将 X0 代入上式得 r2(X0) = 0.

---- 若 r2(X) 不恒为零，则 r2(X) 的次数大于1.

---- 按上述办法运算，经过有限次之后，必然有 rk(X) 恒为零.

---- 即 rk-2(X) = dk(X)rk-1(X)  [+ rk(X) ≡ 0]

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对绿色公式 检查 k = 2 的情形（即假设 r2(X) 恒为零）。

---- 此时 r(X) = d2(X)r1(X). 代入黄色的式子.

---- 得到 g(X) = d1(X)d2(X)r1(X) + r1(X).

---- 意味着 r1(X) 是 g(X) 的因式且次数大于1.

---- 若 g(X) 不可约，即可得到矛盾.

---- 将上面的 r(X) 代入红色的式子.

---- 得到 h(X) = d(X)g(X) + d2(X)r1(X).

---- 当k=3时由上式及绿色的式子得到：

---- h(X) = d(X)g(X) + d2(X)d3(X)r2(X).

---- 一般地有 h(X) = d(X)g(X) + d2(X)...dk(X)rk-1(X).

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评论：期待以上演算可以帮助理解书中证明 (下回分解).

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回到引理1的 “哲学讨论”.

h(X)      g(X)

  |      /      |         

 根          质

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评论：此引理的内涵是 用一个多项式 “度量” 另一个多项式.

---- g(X) 作为衡量标准须有 “不可分性”.

---- 或曰 “非复合”、 “简单性”、“不可约” 等等.

---- 此处用 “质” 简记之.

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再思考：“方” 的起点是 “两物并立”。于是拿出两个多项式 h(X) 和 g(X)。要想往前走就得有个 “法”。最直接地，令二者有公共的根（这个条件很硬）。此时让 g(X) 不可约，就能整除 h(X)。此处，“不可约” 有“无冗余”之意（这个条件很软），可视为 “方”。最后 g(X) 整除 h(X)，意味着没有余式这种“疙疙瘩瘩”的东西(即 “去除不直” )，谓之 “法”。整个地可表示为 方 ~> 法 ~> 方 ~> 法。

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小结：就引理1做了若干 “哲学思考” 和相关推导.

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