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世界数学难题: 纳维-斯托克斯方程会得到解决吗? 精选

已有 8666 次阅读 2023-10-1 09:03 |系统分类:科普集锦

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图 1 纳维-斯托克斯 (Navier-Stokes)方程(1821-1845)

2005年曾经是世界爱因斯坦科学年,是为了纪念爱因斯坦1905年发表的那三篇划时代的学术论文100周年(布朗运动,狭义相对论,光电效应)。

2005年,也是美国Science杂志创刊100周年。在庆祝创刊125周年之际,Science公布了125个最具挑战性的科学问题,作为下个世纪的奋斗目标。其中之第122问题为:纳维-斯托克斯问题会得到解决吗?(Will the Navier-Stokes problem ever be solved?)

在16年之后的2021年,随着科学的不断突破,许多问题得到一定程度的解答,一些问题也更加深入,上海交通大学携手Science杂志发布了“新125个科学问题”。 Navier-Stokes (NS)方程问题位列第二(数学类)。

图 2 法国科学家及工程师纳维和英国物理学家数学家斯托克斯

Navier-Stokes(NS)方程是法国科学家纳维和英国科学家斯托克斯建立的,是支配流体运动的方程,至今已有200年的历史 (图1和图2)。人们认为NS方程是描述湍流的正确方程,现实工程实践已经证明了这个看法基本是对的。可是,对于NS方程的数学和物理学特性,科学家对它了解甚少,尽管在工程中已经获得了广泛应用。另外,自从雷诺1883年在曼彻斯特做了那个著名的层流-湍流转捩的圆管流动实验以来,也已经过去了140年了,湍流的机理仍不清楚。

纳维-斯托克斯问题会得到解决吗?这个问题并不是要求去对NS方程进行数值求解,而是确定NS方程的性质,即Navier-Stokes方程是否存在光滑解的问题。换句话说,对一给定的起始点流动条件,可以准确预测随时间变化后面发展的任意时刻的流动状况。或者对湍流流动中的任何一点任意时刻的流动,可以精确追溯到它的起始点的流动的起始条件 (即时空上没有遇到奇异点)。

Navier-Stokes方程是否存在光滑解的问题已经在2000年被美国Clay数学研究所确定为数学方面的7个千禧年大奖难题之一, 至今没有答案。

Dou(2021,2022)的文章分别用能量梯度理论和泊松方程分析方法,对Navier-Stokes方程问题进行了精确的证明,首次发现了NS方程的奇点(速度间断),奇点引发了湍流。研究结论是对转捩流动和湍流,NS方程不存在全局域上的光滑解。这些理论结果,与各种流动的大量实验数据和数值模拟结果获得了一致 [1-3]。没有找到任何反例。

因此,对“纳维-斯托克斯问题会得到解决吗?”这个问题已经有了答案。或者说,实际上这个问题已经解决了 [1-3]。

同时,湍流产生的百年物理学难题也解决了,作者得到的湍流产生的准则是:湍流产生/湍流转捩的必要充分条件是流场中出现NS方程的奇点(速度间断)。

因此,对湍流产生的问题,NS方程的光滑解问题,作者确信地说,这2个问题都已经精确地解决了。

许多读者认为,作者的文章发表后2-3年以来[2-3],没有人出来公开肯定,也没有人公开否定。网友留言认为,就这2个科学问题的难度及重大科学意义,应该可以引起科学界非常大的反响甚至引起轰动。为什么没有?

那么,既然解决了这么重大的世界级科学难题,而且是2个问题同时解决,一个是数学问题(NS方程光滑解问题),一个是物理学问题(湍流产生之谜)为什么没有引起国内外学术界的轰动?因可能比较复杂。作者认为:

(1)第一主要是因为论文没有发表在顶级期刊上而是发在了2个SCI三档和四档的期刊上[2-3],所以不会引起那么大的轰动。现在,大家看看,只要发表在Nature和Science上的文章,是多么风光。作者也投到了流体力学专业的最好的国际期刊上,被拒稿了。评审人和编辑没有指出论文中的任何错误,只是不建议接受。

(2)第二是作者采用的2个理论分析方法比较另类能量梯度理论(物理学泊松方程分析方法(数学,都是不同于目前各个学科大家通常所采用的方法,很另类,人家不了解,是作者独创的2个方法。那么,为什么不用大家通用的方法?原因是,所有现有的方法也都用过,用这些方法解决不了,作者才创立了这么2个方法。不管采用什么方法,从数学和物理上解决了问题才是目的。需要强调的是,针对平面Poiseuille流动,2种方法的结果相同,均严格精确地证明了Laplace为零的点是NS方程的奇点。而奇点引发速度涨落,导致湍流。

有没有人认真思考过,为什么湍流这个问题100多年都没有解决了?为什么湍流转捩/湍流产生的原因都不知道?到底是不是思路错了?

著名科学家,普朗特、泰勒、冯卡门、Kolmogorov、林家翘、Bachelor、Orszag,包括诺贝尔奖获得者海森堡、费曼、朗道、Chandrasekhar、Onsager,为什么没有解决湍流,为什么有的人后来放弃了?他们的思路和方法都是正确的吗?(改行的有:海森堡:量子力学;Chandrasekhar:天体物理;Onsager:非平衡态热力学;林家翘:天体物理;Bachelor:悬浮流动。前三人改了行,人家才拿了诺贝尔奖。后2人,改行后在新领域取得的成就也是非常巨大的)。不可否认的是,这些专家人人都是百年一遇的天才。

(3)第三是人们的判断能力问题所提的问题关乎到数学,物理,流体力学及工程,这样几个学科。哪一位读者或者大牛,如果不去阅读大量文献,就具有这样的判断能力? 国际国内大牛从事NS方程光滑解这个方向的,都是数学家,他们用的是数学不等式的函数分析方法,对湍流了解不一定很多。而研究湍流的人都是流体力学和CFD的人(APS,AIAA,ASME相关),都不怎么关注NS方程光滑解的问题。而且这2个领域都几乎没有交集,发表论文的期刊和参加的学术会议也都是不一样的。因此,对于作者的研究成果,就目前知识,做出这个判断的难度比较大,如果反对错了,或者支持错了,哪一位大牛也不想将来去承受这样的尴尬。湍流这个古老的学科,短期判断看来很难;并不像超导,基因编辑,一出成果,那么容易引起轰动。

作者认为,科学研究的目的是追求真理,正确的科学发现(discovery),终究会得到承认,就像哥白尼的太阳中心学说一样。科学研究不能追求暂时的风光和轰动,如果对科学发展没有实质性的创新性的贡献,风光之后会是一地鸡毛。翻看一下科学史,历史总是公正的。

关于能量梯度理论方法,以前曾做了介绍 [4-5]。今天以更通俗的语言,完全自信的态度,介绍利用泊松方程分析的方法,证明奇点是否存在的思路和概念(Dou 2022), 也即主要讨论泊松方程(NS方程)的奇点问题 [3, 6]

(一)数学上奇点的定义

英文维基百科数学上奇点的定义如下:

Singularity or singular point may refer to: Mathematical singularity, a point at which a given mathematical object is not defined or not "well-behaved", for example infinite or not differentiable.

奇点一般指的是这样的点,在这样的点上,一个给定的数学概念(变量或者函数)未被定义,或者特性异常,例如无穷大或者不可微分。

(二)NS方程的奇点的定义

根据数学的定义,NS方程的奇点应该是这样的点,在这样的点的位置,变量(u, v, w, p, 其中一个或几个)趋于无穷大,或者不可求导。

Leray (1934) 给出的定义是,NS方程的奇点为速度或动能为无穷大(blowing up)。数学家研究了近100年,到现在也没有人发现这类奇点是否存在。即没有肯定也没有否定。需要明确指出的是,现今对湍流的大量的DNS数值计算结果,从没有发现NS方程的速度或动能为无穷大。作者认为,NS方程发生blowing up的可能性非常小。

Leray(1906-1998)是著名的法国数学家,1979年Wolf数学奖获得者,比前苏联著名数学家Kolmogorov(1903-1987)获得Wolf奖早了一年(图3)。

Dou (2021,2022) 所发现的NS方程的奇点,必须是在非定常流动中,此点位置速度发生瞬时间断(不连续),在此位置速度不可求导。两篇文章分别采用了2种不同的方法进行证明,结果相同 [1-6]。

图 3 法国数学家J. Leray (1906-1998)和 前苏联数学家A. N. Kolmogorov (1903-1987)

(三)判定NS方程的光滑解就是寻找NS方程的奇点

确定NS方程的光滑解的问题,实际上就是寻找NS方程的奇点的问题,也就是原先给定的没有奇点的初始流场,随着时间增长,会不会演化出来奇点。或者说,也就是证明一下,NS方程里的求解变量,在给定问题的定义域里,随着时间变化(有扰动影响),是不是处处连续光滑、可微分的。

如果严格精确地证明了NS方程不存在奇点,那么变量都是处处可微分的,方程可以积分,那么NS方程就有光滑解。

如果严格精确地证明了NS方程存在奇点,奇点处不可微分,方程就不能积分,那么NS方程就没有光滑解。

在上述两种情况下,对千禧年难题给出的问题,NS方程是否可以求解,答案已经清楚,就没有必要进行偏微分方程的复杂的数学不等式的函数证明了。

图 4 泊松 S-D Poisson (1781-1840)and 拉普拉斯 P-S M de Laplace (1749-1827)。他们都是法国数学家。

(四)泊松方程方法确定NS方程的奇点

NS方程的数学问题与两位著名的法国数学家有关(图4),泊松和拉普拉斯。

NS方程可以写为泊松方程的形式,Nabla^2 u(x,y,z)=Fx(x,y,z,t),这里是针对不可压缩流体的三维非定常流动。如果源项为零,则泊松方程就变为Laplace方程。对于NS方程来说,对平面Poiseuille层流流动,为了问题的适定性(well-posedness),必须定义源项Fx(x,y,z,t)不为零(这样也就是Laplace算子不为零,实际上是小于零)。

在时间起始后,在扰动作用下,如果流场里存在Laplace算子为零的点,这个点就成为了泊松方程的奇点。

研究从层流,到转捩流动,到湍流。我们发现在转捩流动中,流场中存在Laplace算子为零的点(在拐点附近),此点的变量值跑出了原先的定义域之外,此即奇点。所以研究结论是对转捩流动和湍流,不存在NS方程的全局域上的光滑解。

为什么Laplace算子为零的点就成了泊松方程的奇点呢?这是由NS方程的特性和平面Poiseuille流动的边界条件所决定的。对平面Poiseuille层流流动,我们已经定义了Laplace算子不为零。在转捩流动中,在扰动作用下(此时仍是层流),流场里突然出现了变异的点,Laplace算子为零了。那么这个点就成了没有定义的点,成了奇点了,它跑到了原来的定义域之外去了 [3, 6]

Laplace算子为零时泊松方程的解是什么呢?对两个平行平板间的压力驱动流动,在边界无滑移条件下, 是速度u=0。因此,NS方程奇点的意义,已经非常明确了,流场出现了“洞”,速度分布出现了间断。在实际的流体的流动中,由于流体粘性,此点速度不是严格地u=0,而是表现为速度负的spike。比如来流速度为u=1.0,在奇点位置,速度突变发生后为大约u=0.3~0.7,这个结果已经得到了所有获得的大量实验数据和DNS模拟结果的验证(图5)。

图 5 流场中奇点产生,理论预测与实验结果对比。上面是特殊位置点(拐点附近)的瞬时速度分布。下面是上游扰动的信号记录。(a)理论预测结果(Dou 2021, 2022)。(b)实验测量结果(日本,西岗通男等1981)。

(五)数学奇点的类似概念的比较容易理解的例子

(1)举一个例子,一个栏里,圈了100只山羊。记住,这都是山羊。突然一天,养羊的人发现其中有一只羊变异了,不是山羊了,变成绵羊了(可能吃了什么食物或药物,可以理解为物理学上的扰动),那么这只羊就是奇点。它跑出了原来的定义域(100只山羊),跑到定义域外边去了,成为了没有定义的点。

(2)再举一个例子,有一缸水,定义它的组分为q(x,y,z)=1,在定义域内,函数q处处光滑连续,处处可以求导。经过日晒风吹(这起到了扰动的作用),突然有一天,水里面出现了一个气泡,这样水的组分q就不全部是1了。里面有一点,组分变成了q(x,y,z)=0。就这样,这一点就变成了奇点。这一点跑出了原来的定义域,成为了没有定义的点,此处水的组分函数q已不再连续,因此也不是处处可以求导。如果用数值方法来求解,函数q(x,y,z)就没有连续的光滑解了。

(六)对热传导问题,Laplace算子为零的点不是泊松方程的奇点

论文审稿人(第4位)提出,“Laplace算子为零的点是泊松方程的奇点”是错误的,没有科学依据。作者进行了回答,这个结论是有条件的是不是奇点取决于对具体物理问题的定义,还有边界条件对不同的物理问题,结果是不同的。对平面Poiseuille流动是奇点,而对同样的泊松方程,同样的物理几何,对热传导问题就不是奇点。

对热传导问题的控制方程可以写为泊松方程的形式,Nabla^2 T(x,y,z)=S(x,y,z,t),这里T是温度。如果源项S(x,y,z,t)为零,则泊松方程就变为Laplace方程。给定两个平行平板间的流体,对于热传导方程来说,对源项的数值大小没有限制,S(x,y,z,t)可以大于零、小于零或者等于零,方程都是适定的,都有物理意义;在这些情况下,解的结果都符合物理学原理。

即使温度场初始源项不为零,在时间起始后,在源项随时间变化或扰动作用下,如果温度场里出现Laplace算子为零的点,这仍然在原来的定义域内,泊松方程仍有意义,Laplace为零的点不是泊松方程的奇点。

另外,对平面Couette流动和平板上的边界层流动,Laplace算子为零的点也不是泊松方程(NS方程)的奇点,这是由各自的边界条件所决定的。这里不再讲解了,可参考文献 [1-3]。对这些流动,引起湍流产生的奇点,不是不存在的,只是由于边界条件的原因,泊松方程方法证明不了。奇点的产生仍然可以用能量梯度理论,进行精确的证明 [1]

对于偏微分方程写成泊松方程的形式,如果定义域内出现了Laplace为零的点,这个点是不是奇点,取决于对所给的问题的物理定义,以及边界条件。

(七)流场中的奇点(Laplace算子为零的点)是怎么产生的

最后,对·平面·Poiseuille流动,在层流到湍流的转捩过程中,流场中的奇点(Laplace算子为零的点)是怎么产生的呢?

奇点产生是非线性项随时间发展与粘性项相互作用的结果。具体地说是扰动与机械能的梯度相互作用的结果。它们的相互作用,导致了速度剖面发生畸变,出现了奇点。在奇点处,流体粒子消耗的机械能为零(Dou 2011, 2021, 2022,有推导过程),从而此点流体速度停止,理论上瞬时u=0 [1-5]。实际上是,速度分布出现负的spike。注意,一个扰动周期内,只有一个瞬时发生u=0 (图5)。

导致奇点出现的条件是基本流场的机械能梯度分布,已经基本接近奇点出现 [7], 然后扰动起的作用是促使或者刺激瞬时的机械能分布,出现奇点。就像一个人站在河边上,风一吹,他就掉到河里去了。如果你站的地方离河边还有几十米远,扰动是不会导致掉到河里的。所以对牛顿流体圆管流动,Re很小时(比如 Re < 1750 ~ 2000),扰动怎么大,也不会导致湍流。

Dou(2021,2022)证明显示,导致湍流发生的泊松方程的奇点是在非定常流动中才能产生的,定常流动中,不能产生这类奇点,所以定常流动中不能产生湍流。因此,大家看到的,雷诺平均方程方法(RANS),尽管也可以计算非定常流动,已舍去了湍流的太多信息。

例如锥形扩压器内的定常分离流动,在逆压梯度作用下,产生边界层分离,速度剖面存在拐点(图6,沿着S-I线,在此线上,因为Laplace=0,所以x方向速度分量u=0),此线上的点处处是Laplace算子为零的点,处处u=0。拐点此处速度是连续的,光滑可导的,不是奇点,是有定义的点。这个流动里,只会产生分离,不会产生湍流。

图 6 逆压梯度下的边界层分离流动的流场流线分布

那么这个流动里,如果对以施加非定常的扰动影响,奇点会产生吗?产生时奇点会在何处?如果对流场输入非定常的扰动,奇点有可能会产生。奇点如果产生,它不会在图中的拐点之处,这个拐点与槽道流动或者圆管流动里的非定常拐点是不一样的。在扰动作用下,此拐点位置的平均速度仍几乎为零,它不会引起速度的间断。奇点出现的位置应该是,此处平均速度较大,在扰动作用下,通过粘性作用形成低速层,导致新的拐点出现。这样才会出现速度间断,产生负的spike,引起速度涨落。

上面讨论的这个定常分离流动的例子(图6),向我们展示了为什么在机翼绕流的流场中,有时出现了层流分离泡,而分离泡是稳定的,分离泡具有带拐点的速度剖面,而它不会诱导边界层湍流转捩。

多年以前,有人问过我,粘性流体力学书上讲,具有拐点的速度剖面是不稳定的,层流分离泡有拐点为什么不会诱导湍流转捩?我说,原因是分离泡在边界层内部,扰动很小,这种依据唯象理论的说法是需要验证的。按上面的解释分离泡更为合理,以可靠的理论为指导。书上讲的“具有拐点的速度剖面是不稳定的”是对无粘流动讲的,是指的线性不稳定性。

(八)泊松方程方法的论文免费下载

泊松方程方法确定奇点(Dou 2022)的论文是开源的,可以免费下载:Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339. https://doi.org/10.3390/e24030339泊松方程方法证明奇点,是基于数学概念。这里期刊网站公开了4位匿名审稿人的评审意见,作者的答复,共2轮,可以阅读、下载。评审意见是否公开,编辑需要征求作者意见,作者选择了公开,这样也让读者了解评审专家是什么看法。注意:这个期刊不允许作者推荐审稿人,所以所有匿名审稿人都是作者不认识的人。作者也十分感谢所有的评审专家对论文提出的正面和反面意见,这些评审意见让作者学习了很多,同时提高了论文质量,也有益于读者。

如果读者也去读一下这4位评审专家的评审意见,包括肯定意见和反对意见,一定会收益匪浅。

参考文献

1.Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer. https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7 (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553. https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063 (AAMM);

https://arxiv.org/abs/1805.12053v10 (Arxiv) (通过物理学推导出奇点

3. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339. https://doi.org/10.3390/e24030339 通过数学推导出奇点

4.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展,浙江理工大学官网新闻, 2021。

https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm (此学校网页白天能打开,晚上打不开)

或者 https://mp.weixin.qq.com/s/8letL1Z5XiFf-6Lw4GLe5Q   或者   https://mp.weixin.qq.com/s/mnkwE67OPbGwHccqrePRrQ

5. 窦华书,一个力学公理的建立揭开了湍流的秘密, https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1383011.html

6. 窦华书,千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明, 科学网博文,2022年5月。

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1337452

7. 窦华书,我是怎样创立能量梯度理论的?

https://mp.weixin.qq.com/s/tujupDNxbClLCFXGBKJVIA




https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1404365.html

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