shannon指数可以回答样本各物种均一性如何。

它的计算公式如下：

公式中s即OTU数目，pi即第i个OTU的占比。

例如有三组样本：

A组：OTU1, OTU2, OTU3, OTU4分别有3, 4, 6, 7条序列

B组：OTUa, OTUb, OTUc, OTUd均有5条序列

C组：OTUm, OTUn， OTUx, OTUy, OTUz分别有2， 3， 4， 5条序列

[注意] 各组OTU相互独立，即A组的OTU1与B组的OTUa是否相同，无关紧要。因此可以略写为

A组：3, 4, 6, 7

B组：5, 5, 5, 5

C组：2, 3, 4, 5

AB两组数均值都是5，总数均为20，C组的均值，总数均为最小

那么按照公式：

A组的shannon熵值为:

H_A = - (3/20*log2(3/20)+4/20*log2(4/20)+6/20*log2(6/20)+7/20*log2(7/20)) = 1.93 (保留两位小数，下同)

B组的shannon熵值为：

H_B = - (5/20×log2(5/20) × 4) = 2.00

C组的shannon熵值为：

H_C = - (2/14*log2(2/14)+3/14*log2(3/14)+4/14*log2(4/14)+5/14*log2(5/14)) = 1.92

样本中各OTU数越均一，shannon指数越大。 当样本中所有OTU数相同时，达到极值。

注意：shannon指数与OTU总数无关，从B组和C组可以看出来。它只和OTU数目的均一性有关！

带入公式，可以算出其极值:

其中，u是均值，即每个OTU都相同时的数目，N是总的数目，如上例B组

H= - log2(5/20) = 2 ，可以快速算出

当然，以上还只能算是猜测，仅靠举例只能打开思路，并不严谨。 为了验证上面这个猜测，我们可以从公式入手。 使用R画出一条y= - x*log2(x)函数图如下，看样子很可能是个递增的函数，事实也是如此。 如果不信可以自行求导，结果应该是：

因为x是OTU数目，为大于1的整数，因此函数单调递减，且斜率越来越小

注意：以上函数并不是shannon指数函数，它只是其中一部分。因此，需回到shannon指数函数，可以根据 (y(a) + y(b) + y(c) ...y(i) )/(a+b+c+...i)< y((a+b+c+...k)/2)， 其中y = - x*log2(x)，i与k可以不相等。可以看出shannon指数在各OTU数目均一时达到最大。

综上，shannon指数越大，反映出样本均一性越好。

参考材料：

http://scikit-bio.org/docs/latest/generated/generated/skbio.diversity.alpha.shannon.html#skbio.diversity.alpha.shannon