上回说了，CCC是靠Weyl曲率来实现的，Weyl曲率是CCC的数学核心。这回就复习那个著名的张量。

Weyl曲率的故事大概可以从30多年前说起。1979年，剑桥大学出版社出版了一本由霍金等人编辑的纪念爱因斯坦的文集General relativity: An Einstein Centenary Survey（Eds. S W Hawking and W Israel, Cambridge University Press, 1979）。这是一本引人入胜的文集，比很多应酬的纪念文集高明多了。很幸运我曾在旧书摊儿上捡过一本，尽管是影印的，也激起过几分古董家捡漏的愉悦。彭老师为文集写了一篇50多页的长文：“奇点与时间不对称”（“Singularities and time-asymmetry”），将第二定律的起源追溯到宇宙的边界条件，也就是奇点（初始的或终结的）。他指出，从时空曲率说，早期宇宙没有出现物质的聚集，对应于没有Weyl曲率（因为没有聚集意味着空间各向同性，也就意味着没有引力主导的零方向）……

In terms of spacetime curvature, the absence of clumping corresponds, very roughly, to the absence of Weyl conformal curvature (since absence of clumping implies spatial-isotropy, and hence no gravitational principal null-directions).

这个几何约束相当于说，Weyl曲率在任何初始奇点为零。然后，随着引力聚集的发生，其区域的Weyl曲率也不断增大，最后引力坍缩形成黑洞时，曲率在奇点变成无限大。这就是Weyl曲率猜想（WCH）。WCH有不同的形式，“强式”的说初始Weyl曲率为零，“弱式”的说初始时物质（即Ricci张量）起主导作用，而终结时相反。WCH是与奇点和宇宙“命运”联系在一起的，如“各项同性（isotropic）奇点”、“宁静（quiescent）宇宙学”等，都与它有关。

Weyl曲率是什么呢？我以前说过一段感想（http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=279992&do=blog&id=273432），现在偷懒也引用几行：

Weyl张量……具有曲率张量的所有性质，而且对任意两个指标的缩并等于零，因而是“无迹”的。Hawking说它是“曲率张量里所有缩并为零的那一部分”，更重要的是，它满足类似Maxwell那样的方程。Penrose更直截了当地将曲率写成：Riemann = Weyl + Ricci，一个度量潮汐畸变，一个度量体积变化。Einstein方程本来没有Weyl张量，但在虚空感觉的潮汐，就纯粹来自Weyl。Einstein方程意味着，存在将Weyl与能量联系起来的方程，就像Maxwell方程。Weinberg还说过，弯曲空间的不变量需要Riemann张量和度规张量构造的标量来描述，“曲率不变量是由Weyl张量的全部分量加上N个R(μ, ν)的特征值所构成。”

我们知道，广义相对论是用时空的曲率（Riemann曲率）来描述引力场，爱因斯坦的场方程的实质就是时空曲率张量等于物质的能量动量张量。因为场方程是缩并（即对角元素求和）之后的结果，所以没有“无迹可求”的Weyl张量。但Weyl曲率在无引力源的“虚空”仍然会有“潮汐”效应，而且在非完全各项同性的条件下不为零。

也可以通过电磁场的类比来说明Weyl张量。描述电磁系统（Maxwell方程）有两个张量：一个是电磁场的Maxwell张量，一个是场源（电荷或电流）。Riemann张量也是两部分，一个是Ricci曲率，描述引力源（相当于电磁场的电荷-电流源），引力效应表现为物质对时空的扭曲（如经过引力源附近的光线偏折，行星轨道的进动），另一个就是Weyl曲率，度量无源引力场的时空曲率（类似无源的Maxwell张量）。正如Maxwell张量可以分解为电（E）、磁（B）两个部分（具体的分解依赖于观测者的状态），Weyl曲率也能分解为电、磁两个部分，这个特点对CCC的观测证据有很大影响（附录B最后用了这个划分）。Weyl张量的一个好品质是“共形不变”，即不随尺度大小变化，只与形状有关（其实，所谓“共形”，就是初等几何里所说的“相似”或复函数论里常说的“保角”）。关于Weyl曲率，彭老师在《通向实在之路》（第28章）里有更详细的解说，我就不抄了。

彭老师想起用Weyl张量来刻画宇宙初始和终结的状态，是因为两个态都不需要考虑物质源（这里面涉及的问题就多了，暂且不提），只有纯粹的时空几何效应。WCH说，Weyl曲率初时为零终结时最大，这恰好与熵的变化“平行”。所以直观说来，Weyl曲率刻画了引力的熵。但WCH与第二定律的熵增只是形式上的呼应，并不是严格的熵定义。一个自然的想法是，用Weyl曲率张量（或者结合Ricci张量）来构造某个不变量（例如，其缩并就是一个标量），要求其行为满足熵的特征（如非负的、连续的、单调递增的，等等），那就有可能作为引力熵的定义。遗憾的是，虽然有过一些尝试，但还没有令人满意的结果。