前面我们说了（见“数学的美”：http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=269614），数学美与艺术美是“感觉的相似”。二者还有一点相似，即“自由创造”。Hermann Hankel说，“数学本来就具有一种由其本性决定的与其存在相适应的自由。”而Cantor干脆说，“数学的本质就在于它的自由。”爱因斯坦在1933年的一个演讲里，也大谈思想的自由，特别说“经验可能提示某些适当的数学概念，但可以非常肯定地说，这些概念不可能由经验演绎出来……在某种意义上我认为，单纯的思考能够把握现实。”

 

然而，自由与实在似乎很矛盾。如果承认了自由，实在又如何呢？如果承认数学的实在，那么我们认识之前它就存在了，因而我们是去发现它，而且必须沿着一定的路线。这正是埃尔米特（Charles Hermite, 1822 ~ 1901）所说的，“我们是数学的奴仆，而不是主人。”可是，我们对艺术似乎可以追问同样的问题：莎士比亚的十四行诗是他“发现”的还是他“发明”的？显然，那些诗的所有单词和它们的组合都是“存在”的，莎翁只不过选出了一点儿他喜欢的。如果谁有兴趣，也可以让一只猴子在计算机键盘上从“存在的”字母中“挑选出”一部《哈姆雷特》来，尽管它成功的几率很小（有人算过，大约是10^(335 937)分之一；后来又看到一篇台湾学者的文章，结论是猴子不时敲打出莎翁全集的概率为1!两个结论并不矛盾，只要生命无涯，什么奇迹都会发生。）（巧得很，我在柏辽兹的回忆录中看到，伏尔泰把莎翁比作猴子：“这只天才的猴子，被魔鬼差遣，化作人形，讲经布道。”）

 

这样看来，我们似乎可以说数学也是发明的。从欧几里得几何到各种非欧几何的出现，令很多人相信几个公理就生成一个数学体系，而公理是可以自由选择的。奇怪的是，并没有那么完全自由的数学。Michael Atiyah（1966年获菲尔兹奖，他认为这个奖的好处就在不同于诺贝尔奖，它“没有任何影响，因而也没有负作用”）在接受一个采访时，专门谈了这个问题：  

这呼应了“计算机之父”冯诺伊曼在1947年的忧虑：  

庞加勒在《科学的价值》中说过意思相同的话：“如果允许我继续拿这些优美艺术来比，那么把外部世界置诸脑后的纯数学家，就好比是懂得和谐地结合色彩与形态却没有模特儿的画家。他的创造力很快就会枯竭。”然而就在这话说过不久，抽象绘画的先驱康定斯基就把“色彩与形态”独立出来，他在《论艺术里的精神》中指出，绘画不应当完全遵循物质规律……而应当遵循内在需要的规律，这样的规律也就是精神规律。其实，远在我们的唐代，大诗人王维就凭他的“雪中芭蕉”，引出了类似的问题——沈括在《梦溪笔谈》里评论说： 

所谓“神会”，就是“形为心役”，大概也是禅宗所谓“妙悟”（数学与禅的话题，以后说），我们当然也不妨这样来说数学：纯数学在一定意义上就是脱离了外在世界的“抽象画”，是它的“内在需要”决定了它的形式和发展。绕了一圈儿，数学又回到艺术的路上来了！

 

按照教科书的说法，数学是研究自然和空间关系的学问。这是一个索然无味的界定，相当于把绘画（或其他艺术形式）说成丹纳在《艺术哲学》里所谓的“模仿”的艺术，顶多有一半的正确；我们已经看到，数学还有一半并不“模仿”，它能自我生成；而那些从内在生成的东西，在不久的未来又与外在的世界“共鸣”了——又显现了它的“实在”。我们不知道这是人与自然的“神会”还是人类理性的“还原”。这大概才是数学不同于艺术的地方，也是更有趣的地方。